[<] Algorithme de Gram-Schmidt [>] Projections et symétries orthogonales

 
Exercice 1  5139   

Pour A,Bn(), on pose A,B=tr(AtB).

  • (a)

    Montrer que , définit un produit scalaire sur n().

  • (b)

    Montrer que la famille constituée des matrices élémentaires de n() est une base orthonormale pour le produit scalaire précédent.

  • (c)

    Montrer que la norme euclidienne associée à ce produit scalaire vérifie:

    ABABpour tous A et B de n().
 
Exercice 2  1580   

Pour P et Q dans [X], on pose

φ(P,Q)=12π-ππP(eiθ)Q(e-iθ)dθ.
  • (a)

    Montrer que φ définit un produit scalaire sur [X].

  • (b)

    Montrer que (Xn)n est une base orthonormale pour ce produit scalaire.

 
Exercice 3  521     ENSIIE

Soient E un espace euclidien de produit scalaire () et (e1,,en) une famille de vecteurs unitaires de E vérifiant

k=1n(ekx)2=x2pour tout xE.

Montrer que (e1,,en) est une base orthonormale de E.

 
Exercice 4  4495  

On munit 3 de son produit scalaire canonique. Déterminer une base orthonormale de 3 dont les deux premiers vecteurs appartiennent au plan

P={(x,y,z)3|x-z=0}.
 
Exercice 5  5178  

On munit E=2() du produit scalaire11 1 On vérifie aisément que , est un produit scalaire sur 2(), celui-ci est d’ailleurs analogue au produit scalaire canonique sur 4. donné par

A,B=aa+bb+cc+ddpour tous A=(abcd) et B=(abcd) de E.

Soit F le sous-ensemble de E constitué des matrices de la forme

(abba+b) avec (a,b)2.
  • (a)

    Montrer que F est un sous-espace vectoriel de E et donner une base orthonormale de F.

  • (b)

    Déterminer une base orthonormale de F.

 
Exercice 6  4496  

Soit E un espace euclidien de dimension n1 dont le produit scalaire est noté ().

Soient f un endomorphisme de E et A=(ai,j) sa matrice dans une base orthonormale =(e1,,en). Justifier

ai,j=(eif(ej))pour tous i et j dans 1;n.
 
Exercice 7  5180   

Soit E un espace euclidien de dimension n1 et de produit scalaire noté ,.

On dit qu’un endomorphisme f de E est antisymétrique s’il vérifie

f(x),x=0pour tout xE.
  • (a)

    Soit f un endomorphisme antisymétrique de E. Établir

    f(x),y=-x,f(y)pour tous x,yE.
  • (b)

    Montrer que l’image et le noyau d’un endomorphisme antisymétrique sont l’orthogonal l’un de l’autre.

  • (c)

    Montrer qu’un endomorphisme de E est antisymétrique si, et seulement si, sa matrice dans n’importe quelle base orthonormale est antisymétrique.

 
Exercice 8  4247  

Soit E un espace euclidien de dimension n1 et de produit scalaire noté ().

Montrer que si f est un endomorphisme de E, alors pour toute base orthonormale =(e1,,en) de E,

tr(f)=k=1n(ekf(ek)).
 
Exercice 9  4153     CCP (MP)Correction  

Soit v un endomorphisme d’un espace euclidien de de dimension n.

  • (a)

    Montrer que la quantité

    S=i=1nv(ei),ei

    ne dépend pas de la base orthonormée (e1,,en) de E choisie.

  • (b)

    Montrer que la quantité

    T=i=1nj=1nv(ei),fj2

    ne dépend pas des bases orthonormées (e1,,en) et (f1,,fn) de E choisies.

  • (c)

    Que vaut T lorsque v est un projecteur orthogonal de rang r?

Solution

  • (a)

    v(ei),ei est le coefficient diagonal d’indice i de la matrice figurant v dans la base orthonormée (e1,,en). La quantité S correspond à la trace de v.

  • (b)

    La somme

    jnv(ei),fj2

    correspond à la norme au carrée du vecteur v(ei) et donc

    T=i=1nv(ei)2.

    Notons A la matrice figurant l’endomorphisme v dans la base (e1,,en) et w l’endomorphisme figuré dans cette base par la matrice AtA. On remarque, pour x vecteur de E de colonne coordonnées X,

    v(x)2=(AX)tAX=XtAtAX=x,w(x).

    On en déduit

    T=i=1nw(ei),ei=tr(w).
  • (c)

    Si v est un projecteur orthogonal, il existe une base orthonormée (e1,,en) dans lequel il est figuré par une matrice diagonale avec r coefficients 1 et le reste de 0. On a alors

    T=i=1nv(ei)2=r.

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Édité le 08-11-2019

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