Exercice 1 5139

Pour $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ .

(a)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définit un produit scalaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Montrer que la famille constituée des matrices élémentaires de $ℳ_{n} (ℝ)$ est une base orthonormale pour le produit scalaire précédent.
(c)

Montrer que la norme euclidienne associée à ce produit scalaire vérifie:

$∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ pour tous A et B de ℳ_{n} (ℝ) .$

Exercice 2 1580

Pour $P$ et $Q$ dans $ℝ [X]$ , on pose

φ (P, Q) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} P (e^{i θ}) Q (e^{- i θ}) d θ .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur l’espace $ℝ [X]$ .
(b)

Montrer que ${(X^{n})}_{n \in ℕ}$ est une base orthonormale pour ce produit scalaire.

Exercice 3 521 ENSIIE (MP)

Soient $E$ un espace euclidien de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ et $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ vérifiant

\sum_{k = 1}^{n} {(e_{k} ∣ x)}^{2} = {∥ x ∥}^{2} pour tout x \in E .

Montrer que $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base orthonormée de $E$ .

Exercice 4 4495

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . Déterminer une base orthonormale de $ℝ^{3}$ dont les deux premiers vecteurs appartiennent au plan

P = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - z = 0} .

Exercice 5 5178

On munit $E = ℳ_{2} (ℝ)$ du produit scalaire¹¹ 1 On vérifie aisément que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $ℳ_{2} (ℝ)$ , celui-ci est d’ailleurs analogue au produit scalaire canonique sur $ℝ^{4}$ . donné par

⟨ A, B ⟩ = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} + d d^{'} pour tous A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) de E .

Soit $F$ le sous-ensemble de $E$ constitué des matrices de la forme

(\begin{matrix} a & b \\ b & a + b \end{matrix}) avec (a, b) \in ℝ^{2} .

(a)

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et donner une base orthonormale de $F$ .
(b)

Déterminer une base orthonormale de $F^{⊥}$ .

Exercice 6 5564 Correction

Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille de $p$ vecteurs d’un espace euclidien $E$ muni d’une base orthonormée $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . On pose $A = {Mat}_{e} (x_{1}, \dots, x_{p})$ . Justifier

A^{⊤} A = {(⟨ x_{i}, x_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq p} .

Solution

Le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $A$ est la $i$ -ème coordonnée dans la base orthonormée $e$ du $j$ -ème vecteur $x_{j}$

a_{i, j} = (e_{i} ∣ x_{j}) .

Pour tous $1 \leq i, j \leq n$ ,

{[A^{⊤} A]}_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} {[A^{⊤}]}_{i, k} {[A]}_{k, j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k, i} a_{k, j} .

On reconnaît la formule permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dont on connaît les coordonnées dans une base orthonormée

{[A^{⊤} A]}_{i, j} = ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .

Exercice 7 4496

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ dont le produit scalaire est noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Soient $f$ un endomorphisme de $E$ et $A = (a_{i, j})$ sa matrice dans une base orthonormale $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . Justifier

a_{i, j} = (e_{i} ∣ f (e_{j})) pour tous i et j dans ⟦ 1; n ⟧ .

Exercice 8 5180

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ et de produit scalaire noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

On dit qu’un endomorphisme $f$ de $E$ est antisymétrique s’il vérifie

⟨ f (x), x ⟩ = 0 pour tout x \in E .

(a)

Soit $f$ un endomorphisme antisymétrique de $E$ . Établir

$⟨ f (x), y ⟩ = - ⟨ x, f (y) ⟩ pour tous x, y \in E .$
(b)

Montrer que l’image et le noyau d’un endomorphisme antisymétrique sont l’orthogonal l’un de l’autre.
(c)

Montrer qu’un endomorphisme de $E$ est antisymétrique si, et seulement si, sa matrice dans n’importe quelle base orthonormale est antisymétrique.

Exercice 9 4247

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ et de produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Montrer que si $f$ est un endomorphisme de $E$ , alors pour toute base orthonormale $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ ,

tr (f) = \sum_{k = 1}^{n} (e_{k} ∣ f (e_{k})) .

Exercice 10 4153 CCINP (MP)Correction

Soit $v$ un endomorphisme d’un espace euclidien de de dimension $n$ .

(a)

Montrer que la quantité

$S = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩$

ne dépend pas de la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ choisie.
(b)

Montrer que la quantité

$T = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩}^{2}$

ne dépend pas des bases orthonormées $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $(f_{1}, \dots, f_{n})$ de $E$ choisies.
(c)

Que vaut $T$ lorsque $v$ est un projecteur orthogonal de rang $r$ ?

Solution

(a)

$⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩$ est le coefficient diagonal d’indice $i$ de la matrice figurant $v$ dans la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ . La quantité $S$ correspond à la trace de $v$ .
(b)

La somme

$\sum_{j}^{n} {⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩}^{2}$

correspond à la norme au carrée du vecteur $v (e_{i})$ et donc

$T = \sum_{i = 1}^{n} {∥ v (e_{i}) ∥}^{2} .$

Notons $A$ la matrice figurant l’endomorphisme $v$ dans la base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $w$ l’endomorphisme figuré dans cette base par la matrice $A^{⊤} A$ . On remarque, pour $x$ vecteur de $E$ de colonne coordonnées $X$ ,

${∥ v (x) ∥}^{2} = {(A X)}^{⊤} A X = X^{⊤} A^{⊤} A X = ⟨ x, w (x) ⟩ .$

On en déduit

$T = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ w (e_{i}), e_{i} ⟩ = tr (w) .$
(c)

Si $v$ est un projecteur orthogonal, il existe une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ dans lequel il est figuré par une matrice diagonale avec $r$ coefficients $1$ et le reste de $0$ . On a alors

$T = \sum_{i = 1}^{n} {∥ v (e_{i}) ∥}^{2} = r .$

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Édité le 29-08-2023

Base orthonormale