Exercice 1 5139

Pour $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ .

(a)

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ définit un produit scalaire sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Montrer que la famille constituée des matrices élémentaires de $ℳ_{n} (ℝ)$ est une base orthonormale pour le produit scalaire précédent.
(c)

Montrer que la norme euclidienne associée à ce produit scalaire vérifie:

$∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ pour tous A et B de ℳ_{n} (ℝ) .$

Exercice 2 1580

Pour $P$ et $Q$ dans $ℝ [X]$ , on pose

φ (P, Q) = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} P (e^{i θ}) Q (e^{- i θ}) d θ .

(a)

Montrer que $φ$ définit un produit scalaire sur l’espace $ℝ [X]$ .
(b)

Montrer que ${(X^{n})}_{n \in ℕ}$ est une base orthonormale pour ce produit scalaire.

Exercice 3 521 ENSIIE (MP)

Soient $E$ un espace euclidien de produit scalaire $(\cdot ∣ \cdot)$ et $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ vérifiant

\sum_{k = 1}^{n} {(e_{k} ∣ x)}^{2} = {∥ x ∥}^{2} pour tout x \in E .

Montrer que $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est une base orthonormée de $E$ .

Exercice 4 4495

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ . Déterminer une base orthonormale de $ℝ^{3}$ dont les deux premiers vecteurs appartiennent au plan

P = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - z = 0} .

Exercice 5 5178

On munit $E = ℳ_{2} (ℝ)$ du produit scalaire¹¹ 1 On vérifie aisément que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $ℳ_{2} (ℝ)$ , celui-ci est d’ailleurs analogue au produit scalaire canonique sur $ℝ^{4}$ . donné par

⟨ A, B ⟩ = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} + d d^{'} pour tous A = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) de E .

Soit $F$ le sous-ensemble de $E$ constitué des matrices de la forme

(\begin{matrix} a & b \\ b & a + b \end{matrix}) avec (a, b) \in ℝ^{2} .

(a)

Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et donner une base orthonormale de $F$ .
(b)

Déterminer une base orthonormale de $F^{⊥}$ .

Exercice 6 5564 Correction

Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille de $p$ vecteurs d’un espace euclidien $E$ muni d’une base orthonormée $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . On pose $A = {Mat}_{e} (x_{1}, \dots, x_{p})$ . Justifier

A^{⊤} A = {(⟨ x_{i}, x_{j} ⟩)}_{1 \leq i, j \leq p} .

Solution

Le coefficient d’indice $(i, j)$ de la matrice $A$ est la $i$ -ème coordonnée dans la base orthonormée $e$ du $j$ -ème vecteur $x_{j}$

a_{i, j} = (e_{i} ∣ x_{j}) .

Pour tous $1 \leq i, j \leq n$ ,

{[A^{⊤} A]}_{i, j} = \sum_{k = 1}^{n} {[A^{⊤}]}_{i, k} {[A]}_{k, j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k, i} a_{k, j} .

On reconnaît la formule permettant de calculer le produit scalaire de deux vecteurs dont on connaît les coordonnées dans une base orthonormée

{[A^{⊤} A]}_{i, j} = ⟨ x_{i}, x_{j} ⟩ .

Exercice 7 4496

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ dont le produit scalaire est noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Soient $f$ un endomorphisme de $E$ et $A = (a_{i, j})$ sa matrice dans une base orthonormale $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ . Justifier

a_{i, j} = (e_{i} ∣ f (e_{j})) pour tous i et j dans ⟦ 1; n ⟧ .

Exercice 8 5180

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ et de produit scalaire noté $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

On dit qu’un endomorphisme $f$ de $E$ est antisymétrique s’il vérifie

⟨ f (x), x ⟩ = 0 pour tout x \in E .

(a)

Soit $f$ un endomorphisme antisymétrique de $E$ . Établir

$⟨ f (x), y ⟩ = - ⟨ x, f (y) ⟩ pour tous x, y \in E .$
(b)

Montrer que l’image et le noyau d’un endomorphisme antisymétrique sont l’orthogonal l’un de l’autre.
(c)

Montrer qu’un endomorphisme de $E$ est antisymétrique si, et seulement si, sa matrice dans n’importe quelle base orthonormale est antisymétrique.

Exercice 9 4247

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq 1$ et de produit scalaire noté $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Montrer que si $f$ est un endomorphisme de $E$ , alors pour toute base orthonormale $ℬ = (e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ ,

tr (f) = \sum_{k = 1}^{n} (e_{k} ∣ f (e_{k})) .

Exercice 10 4153 CCINP (MP)Correction

Soit $v$ un endomorphisme d’un espace euclidien de de dimension $n$ .

(a)

Montrer que la quantité

$S = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩$

ne dépend pas de la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ de $E$ choisie.
(b)

Montrer que la quantité

$T = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} {⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩}^{2}$

ne dépend pas des bases orthonormées $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $(f_{1}, \dots, f_{n})$ de $E$ choisies.
(c)

Que vaut $T$ lorsque $v$ est un projecteur orthogonal de rang $r$ ?

Solution

(a)

$⟨ v (e_{i}), e_{i} ⟩$ est le coefficient diagonal d’indice $i$ de la matrice figurant $v$ dans la base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ . La quantité $S$ correspond à la trace de $v$ .
(b)

La somme

$\sum_{j}^{n} {⟨ v (e_{i}), f_{j} ⟩}^{2}$

correspond à la norme au carrée du vecteur $v (e_{i})$ et donc

$T = \sum_{i = 1}^{n} {∥ v (e_{i}) ∥}^{2} .$

Notons $A$ la matrice figurant l’endomorphisme $v$ dans la base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ et $w$ l’endomorphisme figuré dans cette base par la matrice $A^{⊤} A$ . On remarque, pour $x$ vecteur de $E$ de colonne coordonnées $X$ ,

${∥ v (x) ∥}^{2} = {(A X)}^{⊤} A X = X^{⊤} A^{⊤} A X = ⟨ x, w (x) ⟩ .$

On en déduit

$T = \sum_{i = 1}^{n} ⟨ w (e_{i}), e_{i} ⟩ = tr (w) .$
(c)

Si $v$ est un projecteur orthogonal, il existe une base orthonormée $(e_{1}, \dots, e_{n})$ dans lequel il est figuré par une matrice diagonale avec $r$ coefficients $1$ et le reste de $0$ . On a alors

$T = \sum_{i = 1}^{n} {∥ v (e_{i}) ∥}^{2} = r .$

Exercice 11 6154 CENTRALE (MP)Correction

Soit

φ : {\begin{matrix} ℝ [X] \times ℝ [X] & \to & ℝ \\ (P, Q) & \mapsto & \int_{- 1}^{1} | t | P (t) Q (t) d t . \end{matrix}

(a)

Montrer que $φ$ est un produit scalaire.
(b)

Programmer une fonction phi(P, Q) renvoyant $φ (P, Q)$ .
(c)

Montrer qu’il existe une unique suite orthonormale ${(P_{n})}_{n \in ℕ}$ telle que, pour tout $n$ , $P_{n}$ soit de degré $n$ et à coefficient dominant positif.
(d)

Programme une fonction P(n) renvoyant $P_{n}$ .

Déterminer $P_{0}, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}$ . Tracer les graphes des fonctions polynomiales associées sur $[- 1; 1]$ .
(e)

Soit $n \in ℕ^{*}$ . Montrer que $P_{n}$ est scindé à racines simples et que ses racines sont dans $] - 1; 1 [$ .
(f)

Montrer que, pour tout $n \in ℕ^{*}$ , les racines de $P_{n}$ séparent celles de $P_{n + 1}$ .

Solution

(a)

L’application $φ$ est clairement une forme bilinéaire symétrique sur $ℝ [X]$ . Pour tout $P \in ℝ [X]$ ,

$φ (P, P) = \int_{- 1}^{1} | t | P {(t)}^{2} d t ⩾ 0 .$

De plus, si $φ (P, P) = 0$ , alors, par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive, on a $| t | P {(t)}^{2} = 0$ pour tout $t \in [- 1; 1]$ . On en déduit que le polynôme $P$ admet une infinité de racines et c’est donc le polynôme nul.

Ainsi, $φ$ est un produit scalaire.

(b)

On emploie le module numpy.polynomial.

from numpy.polynomial import Polynomial

def phi(p, q):
    I0 = (Polynomial([0, 1]) * p * q).integ()(1)
    I1 = (Polynomial([0, -1]) * p * q).integ()(-1)
    return I0 - I1

(c)

Raisonnons par récurrence sur $n \in ℕ$ .

Pour $n = 0$ , il existe un seul polynôme constant positif de norme $1$ , c’est $P_{0} = 1$ .

Supposons la propriété établie au rang $n \in ℕ$ .

Analyse: Soit $P_{n + 1}$ convenable. Le polynôme $P_{n + 1}$ est de degré $n + 1$ et orthogonal à $ℝ_{n} [X] = Vect (P_{0}, \dots, P_{n})$ . Il appartient donc à la droite $ℝ_{n + 1} [X] \cap ℝ_{n} {[X]}^{⊥}$ . Il est de plus de norme $1$ , il existe donc deux polynômes opposés possibles. La positivité du coefficient dominant détermine celui des deux polynômes solution.

Synthèse: L’espace $ℝ_{n + 1} [X] \cap ℝ_{n} {[X]}^{⊥}$ est de dimension $1$ donc engendré par un certain polynôme $P$ . Le polynôme $P_{n + 1} = P / ∥ P ∥$ est unitaire, de degré $n + 1$ et orthogonal aux polynômes $P_{0}, \dots, P_{n}$ . S’il n’est pas de coefficient dominant positif, on considère $- P_{n + 1}$ . On obtient ainsi un polynôme solution.

La récurrence est établie.

(d)

On calcule $P$ par programmation dynamique selon une démarche bottom-up.

def P(n):
    P = []
    for k in range(0, n + 1):
        Xk = Polynomial([0, 1])**k
        ProjXk = 0
        for i in range(k):
            ProjXk += phi(Xk, P[i]) * P[i]
        Q = Xk - ProjXk
        if Q.coef[Q.degree()] < 0:
            Q = -Q
        P.append(Q/phi(Q, Q)**0.5)
    return P[n]

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-1, 1)

for k in range(5):
    print(f"P_{k} = {P(k)}")
    plt.plot(x, P(k)(x))
plt.show()

(e)

Soient $x_{1}, \dots, x_{p}$ les racines de multiplicité impaires de $P_{n}$ contenues dans $] - 1; 1 [$ (s’il y en a) et $Q = (X - x_{1}) \dots (X - x_{p})$ .

Le polynôme $P_{n} Q$ est de signe constant sur $[- 1; 1]$ . Si $p < n$ alors $φ (P_{n}, Q) = 0$ ce qui est absurde. On en déduit $p = n$ . Les racines $x_{1}, \dots, x_{n}$ sont alors simples et il ne peut y en avoir d’autres.
(f)

On raisonne par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ .

Pour $n = 1$ , la propriété est satisfaite puisque

$P_{1} = \sqrt{2} X et P_{2} = \sqrt{3} (2 X^{2} - 1) .$

Supposons la propriété vraie au rang $n - 1$ avec $n ⩾ 2$ .

La division euclidienne de $P_{n + 1}$ par $P_{n}$ conduit à l’écriture

$P_{n + 1} = (a X + b) P_{n} + R avec \deg (R) < n .$

Pour tout $k < n - 1$ ,

$φ (P_{n + 1}, P_{k}) = 0 et φ ((a X + b) P_{n}, P_{k}) = φ (P_{n}, (a X + b) P_{k}) = 0$

donc $R = P_{n + 1} - (a X + b) P_{n}$ est orthogonal aux polynômes $P_{0}, \dots, P_{n - 2}$ . Puisque $R$ est de degré au plus $n - 1$ , $R$ est colinéaire au polynôme $P_{n - 1}$ . On a donc une relation

$P_{n + 1} = (a X + b) P_{n} + c P_{n - 1} avec a, b, c \in ℝ .$

Notons $λ_{n}$ le coefficient dominant de $P_{n}$ . On sait $λ_{n} > 0$

On a $λ_{n + 1} = a λ_{n}$ et donc $a > 0$ . Aussi,

$\underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{φ (P_{n - 1}, P_{n + 1})}} = a φ (P_{n - 1}, X P_{n}) + b \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{φ (P_{n - 1}, P_{n})}} + c \underset{\begin{matrix} = 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{φ (P_{n - 1}, P_{n - 1})}}$

et donc

$c = - a φ (P_{n - 1}, X P_{n}) = - a φ (X P_{n - 1}, P_{n}) .$

Puisque

$X P_{n - 1} = \frac{λ_{n - 1}}{λ_{n}} P_{n} + Q$

avec $Q \in ℝ_{n - 1} [X]$ , on a $φ (X P_{n - 1}, P_{n}) = λ_{n - 1} / λ_{n} > 0$ et donc $c < 0$ .

Notons $x_{1} < \dots < x_{n}$ les racines de $P_{n}$ .

Pour tout $k \in ⟦ 1; n ⟧$ , $P_{n + 1} (x_{k}) = c P_{n - 1} (x_{k})$ .

Pour $k \in ⟦ 1; n - 1 ⟧$ , $P_{n - 1}$ possède une racine simple dans $] x_{k}; x_{k + 1} [$ . Les nombres $P_{n - 1} (x_{k})$ et $P_{n - 1} (x_{k + 1})$ sont donc opposés. Il en est donc de même pour $P_{n + 1} (x_{k})$ et $P_{n + 1} (x_{k + 1})$ . Le polynôme $P_{n + 1}$ possède alors au moins une racine dans chaque intervalle $] x_{k}; x_{k + 1} [$ . De plus, $P_{n - 1} (x_{n}) > 0$ car le coefficient dominant de $P_{n - 1}$ est strictement positif et que la plus grande racine de $P_{n - 1}$ est inférieure à $x_{n}$ . On en déduit $P_{n + 1} (x_{n}) < 0$ et le polynôme $P_{n + 1}$ admet nécessairement une racine dans $] x_{n}; + \infty [$ (mais en fait dans $] x_{n}; 1 [$ ). Un raisonnement symétrique employant ${(- 1)}^{n - 1} P_{n - 1} (x_{1}) > 0$ assure l’existence d’une racine à $P_{n + 1}$ dans $] - 1; x_{1} [$ .

Finalement les racines de $P_{n}$ séparent celles de $P_{n + 1}$ .

La récurrence est établie.

[<] Algorithme de Gram-Schmidt [>] Projections et symétries orthogonales

Édité le 06-05-2026

Base orthonormale