[>] Calcul dans un espace préhilbertien

 
Exercice 1  4492  

Pour P et Q éléments de [X], on pose

(PQ)=01P(t)Q(t)dt.

Montrer que () définit un produit scalaire sur [X].

 
Exercice 2  1568  Correction  

Soit n. Montrer que

φ(P,Q)=k=0nP(k)Q(k)

définit un produit scalaire sur n[X]

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si φ(P,P)=0 alors

k=0nP(k)2=0

donc

k{0,1,,n},P(k)=0.

Ainsi P admet au moins n+1 racines, or deg(P)n donc P=0.

 
Exercice 3  1570   Correction  

Soit E=𝒞1([0;1],). Pour f,gE, on pose

φ(f,g)=f(0)g(0)+01f(t)g(t)dt.

Montrer que φ est un produit scalaire sur E.

Solution

φ est clairement une forme bilinéaire symétrique.
On a aussi φ(f,f)0 et

φ(f,f)=0f(0)=0 et f=0

car f2 est continue, positive et d’intégrale nulle. On en déduit

φ(f,f)=0f=0.
 
Exercice 4  1569   Correction  

Montrer que

φ(f,g)=-11f(t)g(t)(1-t2)dt

définit un produit scalaire sur l’espace E=𝒞([-1;1],).

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si φ(f,f)=0 alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive, on a pour tout t[-1;1], f(t)2(1-t2)=0 et donc pour tout t]-1;1[, f(t)=0.
Par continuité de f en 1 et -1, on obtient f(t)=0 sur [-1;1].
On peut alors conclure que φ est un produit scalaire.

 
Exercice 5  1571    

Soient a,b,c,d. Pour u=(x,y)2 et v=(x,y)2, on pose

φ(u,v)=axx+bxy+cxy+dyy.

À quelles conditions sur a,b,c,d, l’application φ est-elle un produit scalaire sur 2?

 [>] Calcul dans un espace préhilbertien



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax