Exercice 1 4492

Pour $P$ et $Q$ éléments de $ℝ [X]$ , on pose

(P ∣ Q) = \int_{0}^{1} P (t) Q (t) d t .

Montrer que $(\cdot ∣ \cdot)$ définit un produit scalaire sur $ℝ [X]$ .

Exercice 2 1568 Correction

Soit $n \in ℕ$ . Montrer que

φ (P, Q) = \sum_{k = 0}^{n} P (k) Q (k)

définit un produit scalaire sur $ℝ_{n} [X]$

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si $φ (P, P) = 0$ alors

\sum_{k = 0}^{n} P {(k)}^{2} = 0

donc

\forall k \in {0,1, \dots, n}, P (k) = 0 .

Ainsi $P$ admet au moins $n + 1$ racines, or $\deg (P) \leq n$ donc $P = 0$ .

Exercice 3 1570 Correction

Soit $E = 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ)$ . Pour $f, g \in E$ , on pose

φ (f, g) = f (0) g (0) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t .

Montrer que $φ$ est un produit scalaire sur $E$ .

Solution

$φ$ est clairement une forme bilinéaire symétrique.
On a aussi $φ (f, f) \geq 0$ et

φ (f, f) = 0 ⟹ f (0) = 0 et f^{'} = 0

car $f^{', 2}$ est continue, positive et d’intégrale nulle. On en déduit

φ (f, f) = 0 ⟹ f = 0 .

Exercice 4 1569 Correction

Montrer que

φ (f, g) = \int_{- 1}^{1} f (t) g (t) (1 - t^{2}) d t

définit un produit scalaire sur l’espace $E = 𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ .

Solution

Symétrie, bilinéarité et positivité: claires.
Si $φ (f, f) = 0$ alors par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive, on a pour tout $t \in [- 1; 1]$ , $f {(t)}^{2} (1 - t^{2}) = 0$ et donc pour tout $t \in] - 1; 1 [$ , $f (t) = 0$ .
Par continuité de $f$ en 1 et $- 1$ , on obtient $f (t) = 0$ sur $[- 1; 1]$ .
On peut alors conclure que $φ$ est un produit scalaire.

Exercice 5 1571

Soient $a, b, c, d \in ℝ$ . Pour $u = (x, y) \in ℝ^{2}$ et $v = (x^{'}, y^{'}) \in ℝ^{2}$ , on pose

φ (u, v) = a x x^{'} + b x y^{'} + c x^{'} y + d y y^{'} .

À quelles conditions sur $a, b, c, d$ , l’application $φ$ est-elle un produit scalaire sur $ℝ^{2}$ ?

[>] Calcul dans un espace préhilbertien

Édité le 29-08-2023

Produit scalaire