Exercice 1 4494

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ .

Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille de vecteurs $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ avec

u_{1} = (1,1,0), u_{2} = (1,0,1) et u_{3} = (1,1,1) .

Exercice 2 1581 Correction

On munit $ℝ^{3}$ de son produit scalaire canonique $(\cdot ∣ \cdot)$ .

Orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille de vecteurs $(u, v, w)$ avec

u = (1,0,1), v = (1,1,1), w = (- 1,1,0) .

Solution

On obtient la famille $(e_{1}, e_{2}, e_{3})$ avec

e_{1} = (\frac{1}{\sqrt{2}},0, \frac{1}{\sqrt{2}}), e_{2} = (0,1,0) et e_{3} = (- \frac{1}{\sqrt{2}},0, \frac{1}{\sqrt{2}}) .

Exercice 3 3805 CCINP (MP)Correction

(a)

Énoncer le procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt.
(b)

Orthonormaliser la base canonique de $ℝ_{2} [X]$ pour le produit scalaire

$(P, Q) \mapsto \int_{- 1}^{1} P (t) Q (t) d t .$

Solution

(a)

cf. cours!
(b)

Au terme des calculs, on obtient la base $(P_{0}, P_{1}, P_{2})$ avec

$P_{0} = \frac{1}{\sqrt{2}}, P_{1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} X et P_{2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} (X^{2} - \frac{1}{3}) .$

Exercice 4 5565 Correction

Dans $ℳ_{2} (ℝ)$ muni du produit scalaire canonique $⟨ A, B ⟩ = tr (A^{⊤} B)$ , orthonormaliser par le procédé de Gram-Schmidt la famille $(A_{1}, A_{2}, A_{3})$ avec

A_{1} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), A_{2} = (\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) et A_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Solution

Le produit scalaire sur $ℳ_{2} (ℝ)$ est en fait défini par

⟨ (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}), (\begin{matrix} a^{'} & b^{'} \\ c^{'} & d^{'} \end{matrix}) ⟩ = a a^{'} + b b^{'} + c c^{'} + d d^{'} .

On pose $B_{1} = A_{1}$ .

On recherche $B_{2}$ de la forme $B_{2} = A_{2} + λ B_{1}$ avec $λ$ déterminé par la condition $⟨ B_{1}, B_{2} ⟩ = 0$ . On obtient $λ = - 1$ puis

B_{2} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

On recherche $B_{3}$ de la forme $B_{3} = A_{3} + λ B_{1} + μ B_{2}$ avec $λ$ et $μ$ déterminés par les conditions $⟨ B_{1}, B_{3} ⟩ = ⟨ B_{2}, B_{3} ⟩ = 0$ . On obtient $λ = - 1 / 2$ , $μ = 0$ puis

B_{3} = (\begin{matrix} 1 / 2 & 0 \\ 0 & - 1 / 2 \end{matrix}) .

Il reste à normer chacune de ces colonnes et on forme

C_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), C_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) et C_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

[<] Orthogonal d'une partie, d'un sous-espace vectoriel [>] Base orthonormale

Édité le 08-12-2023

Algorithme de Gram-Schmidt