On a

$$\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\top }={\left(A^{-1}\right)}^{\top }A{A}^{\top }{A}^{-1}\text{.}$$

Or $A$ et $A^{\top }$ commutent donc

$$\mathrm{\Omega }{\mathrm{\Omega }}^{\top }={\left(A^{-1}\right)}^{\top }{A}^{\top }A{A}^{-1}={\mathrm{I}}_n\text{.}$$

Les colonnes de $M$ sont unitaires et deux à deux orthogonales, c’est donc une matrice orthogonale.
En développant selon une rangée $\det (M)=-1$.
Puisque la matrice $M$ est de surcroît symétrique, c’est une matrice de réflexion par rapport à un plan. Ce plan est celui de vecteur normal ${\left(\begin{array}{ccc}\hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)}^{\top }$.

Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux égaux à 1 ou $-1$. Le résultat s’obtient en étendant les colonnes de la première à la dernière, en exploitant qu’elles sont unitaires et deux à deux orthogonales.

Puisque ${\mathrm{O}}_n(ℝ)$ est un groupe multiplicatif, on a

$$({\mathrm{I}}_n+2M)/3\in {\mathrm{O}}_n(ℝ)$$

avec $M=A^{-1}B\in {\mathrm{O}}_n(ℝ)$. Pour $x\in {ℝ}^n$ unitaire,

$$\parallel x+2Mx\parallel =3\text{.}$$

Mais aussi

$$\parallel x\parallel +\parallel 2Mx\parallel =\parallel x\parallel +2\parallel x\parallel =3\text{.}$$

Il y a donc égalité dans l’inégalité triangulaire et, par conséquent, il existe $\lambda \in {ℝ}_{+}$ vérifiant

$$2Mx=\lambda x\text{.}$$

En considérant à nouveau la norme, on obtient $\lambda =2$ puis $Mx=x$. Cela valant pour tout $x\in {ℝ}^n$, on conclut $M={\mathrm{I}}_n$ puis $A=B$.

On reconnaît la norme euclidienne canonique

$$\sum _{1\le i,j\le n}{a}_{i,j}^2=\mathrm{tr}\left(A^{\top }A\right)=\mathrm{tr}({\mathrm{I}}_n)=n\text{.}$$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$$\left|\sum _{1\le i,j\le n}{a}_{i,j}\right|\le {\left(\sum _{1\le i,j\le n}{a}_{i,j}^2\right)}^{1/2}{\left(\sum _{1\le i,j\le n}{1}^2\right)}^2=n\sqrt{n}\text{.}$$

Pour tous $i,j\in ⟦1;n⟧$, $a_{i,j}\in [-1;1]$ et donc $a_{i,j}^2\le |a_{i,j}|$ ce qui entraîne

$$n=\sum _{1\le i,j\le n}{a}_{i,j}^2\le \sum _{1\le i,j\le n}|a_{i,j}|\text{.}$$

Enfin, une nouvelle application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

$$\sum _{1\le i,j\le n}|a_{i,j}|\le {\left(\sum _{1\le i,j\le n}{|a_{i,j}|}^2\right)}^{1/2}{\left(\sum _{1\le i,j\le n}{1}^2\right)}^2=n\sqrt{n}\text{.}$$

Les colonnes d’une matrice orthogonale sont unitaires. Une matrice orthogonale à coefficients entiers ne peut avoir que des colonnes égales ou opposées à des colonnes élémentaires. De plus, ces colonnes élémentaires doivent être distinctes car une matrice orthogonale est inversible et donc chacune colonne élémentaire apparaît une fois et une seule (avec un éventuel signe). Inversement, une telle matrice est solution. En choisissant l’ordre des colonnes élémentaires et le signe attribué à chaque,

$$\mathrm{Card}\left({\mathrm{O}}_n(ℝ)\cap {ℳ}_n(\mathbb{Z})\right)=2^{n}n!\text{.}$$