[<] Distance à un sous-espace vectoriel [>] Isométries vectorielles

 
Exercice 1  3171  Correction  

Soit An() une matrice inversible vérifiant

AAt=AtA.

Montrer que la matrice Ω=A-1tA est orthogonale.

Solution

On a

ΩΩt=A-1tAAtA-1.

Or A et At commutent donc

ΩΩt=A-1tAtAA-1=In.
 
Exercice 2  4500  

Vérifier que la matrice suivante est orthogonale:

A=13(12221-22-21).
 
Exercice 3  3803    CCP (PSI)Correction  

Montrer que la matrice

M=13(1-2-2-21-2-2-21)

est orthogonale.
Calculer det(M). Qu’en déduire d’un point de vue géométrique?
Donner les caractéristiques géométriques de M.

Solution

Les colonnes de M sont unitaires et deux à deux orthogonales, c’est donc une matrice orthogonale.
En développant selon une rangée det(M)=-1.
Puisque la matrice M est de surcroît symétrique, c’est une matrice de réflexion par rapport à un plan. Ce plan est celui de vecteur normal (111)t.

 
Exercice 4  339  Correction  

Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures?

Solution

Les matrices diagonales avec coefficients diagonaux égaux à 1 ou -1. Le résultat s’obtient en étendant les colonnes de la première à la dernière, en exploitant qu’elles sont unitaires et deux à deux orthogonales.

 
Exercice 5  3926     MINES (MP)Correction  

Soient A et B dans On() telle que (A+2B)/3 appartienne à On(). Que dire de A et B?

Solution

Puisque On() est un groupe multiplicatif, on a

(In+2M)/3On()

avec M=A-1BOn(). Pour xn unitaire,

x+2Mx=3.

Mais aussi

x+2Mx=x+2x=3.

Il y a donc égalité dans l’inégalité triangulaire et, par conséquent, il existe λ+ vérifiant

2Mx=λx.

En considérant à nouveau la norme, on obtient λ=2 puis Mx=x. Cela valant pour tout xn, on conclut M=In puis A=B.

 
Exercice 6  2404     CENTRALE (MP)

Soit A=(ai,j)On(). Montrer

1i,jn|ai,j|nnet|1i,jnai,j|n.
 
Exercice 7  5291     ENSTIM (MP)Correction  

Soit A=(ai,j)On(). Montrer

1i,jnai,j2=n,|1i,jnai,j|nnetn1i,jn|ai,j|nn.

Solution

On reconnaît la norme euclidienne canonique

1i,jnai,j2=tr(AtA)=tr(In)=n.

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

|1i,jnai,j|(1i,jnai,j2)1/2(1i,jn12)2=nn.

Pour tous i,j1;n, ai,j[-1;1] et donc ai,j2|ai,j| ce qui entraîne

n=1i,jnai,j21i,jn|ai,j|.

Enfin, une nouvelle application de l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

1i,jn|ai,j|(1i,jn|ai,j|2)1/2(1i,jn12)2=nn.
 
Exercice 8  2926     MINES (MP)

Soient a, b et c trois réels. On étudie la matrice

A=(abccabbca).
  • (a)

    Montrer que A est une matrice orthogonale positive11 1 Autrement dit, ASO3(). si, et seulement si, a,b,c sont les trois racines d’un polynôme de la forme X3-X2+k avec k[0;4/27].

  • (b)

    Décrire la transformation géométrique associée aux matrices correspondantes.

 
Exercice 9  5289     ENSTIM (MP)Correction  

Déterminer

Card(On()n()).

Solution

Les colonnes d’une matrice orthogonale sont unitaires. Une matrice orthogonale à coefficients entiers ne peut avoir que des colonnes égales ou opposées à des colonnes élémentaires. De plus, ces colonnes élémentaires doivent être distinctes car une matrice orthogonale est inversible et donc chacune colonne élémentaire apparaît une fois et une seule (avec un éventuel signe). Inversement, une telle matrice est solution. En choisissant l’ordre des colonnes élémentaires et le signe attribué à chaque,

Card(On()n())=2nn!.
 
Exercice 10  2747      MINES (MP)

Soit M une matrice orthogonale de taille n=p+q que l’on écrit par blocs

M=(ABCD) avec Ap() et Dq().

Montrer

(det(A))2=(det(D))2.

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Édité le 08-11-2019

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