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Exercice 1  1600  Correction  

Soit f(E). Montrer que

x,yE,(f(x)f(y))=(xy)xE,f(x)=x.

Solution

() Il suffit de prendre x=y.

() Par polarisation, pour tous x,yE,

(f(x)f(y))=12(f(x)+f(y)2-f(x)2-f(y)2).

Or f(x)+f(y)=f(x+y) et donc

(f(x)f(y))=12(x+y2-x2-y2)=(xy).
 
Exercice 2  343  

Soient f une isométrie vectorielle d’un espace euclidien E et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer

f(F)=(f(F)).
 
Exercice 3  1603  Correction  

Soient F un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien E et fO(E) tels que f(F)F.
Montrer

f(F)=Fetf(F)=F.

Solution

f étant un automorphisme, dimf(F)=dimF donc f(F)=F.
Soit yf(F) on peut écrire y=f(x) avec xF.
Soit vF on peut écrire v=f(u) avec uF.
On a alors

(yv)=(f(x)f(u))=(xu)=0.

Ainsi f(F)F, puis par égalité des dimensions f(F)=F.

 
Exercice 4  344  Correction  

Soient f une isométrie vectorielle d’un espace vectoriel euclidien E et F=Ker(f-Id). Montrer

f(F)=F.

Solution

Soit yf(F). Il existe xF tel que y=f(x). On a alors

zF,(yz)=(f(x)f(z))=(xz)=0.

Par suite, f(F)F.
De plus, f conserve les dimensions car c’est un automorphisme. Il y a donc égalité.

 
Exercice 5  1606   Correction  

Soient a un vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidien E, α un réel et fα:EE l’application définie par

fα(x)=x+α(xa).a.
  • (a)

    Montrer que {fα|α} est stable pour le produit de composition et observer que fα et fβ commutent.

  • (b)

    Calculer fαp pour p.

  • (c)

    Montrer que fα est inversible si, et seulement si, α-1. Quelle est la nature de f-1?

  • (d)

    Montrer

    fαO(E)α=0 ou α=-2.

    Quelle est la nature de f-2?

Solution

  • (a)

    On a

    (α,β)2,fαfβ=fα+β+αβ=fβfα.
  • (b)

    Par récurrence

    fαp=f(α+1)p-1.
  • (c)

    Si α=-1 alors fα(a)=0.
    f-1 est la projection orthogonale sur Vect(a).
    Si α-1 alors g=f-α/(α+1) satisfait à la propriété fαg=gfα=Id donc fα inversible.

  • (d)

    Si α=0 alors fα=Id.
    Si α=-2 alors fα est la réflexion par rapport à Vect(a).
    Dans les deux cas fαO(E).
    Si α0,-2 alors fα(a)=(1+α).a puis

    fα(a)=|1+α|1=a

    et donc fαO(E).

 
Exercice 6  1605   

Soient f une isométrie d’un espace euclidien E et g=f-IdE.

  • (a)

    Montrer l’égalité Im(g)=(Ker(g)).

On note p la projection orthogonale sur Ker(g) et l’on introduit pour tout n*

pn=1n.(IdE+f+f2++fn-1).
  • (b)

    Démontrer que, pour tout xE, limn+(pn-p)(x)=0.

 
Exercice 7  346   Correction  

Soient E un espace vectoriel euclidien et f:EE une application telle que

(x,y)E2,(f(x)f(y))=(xy).

En observant que l’image par f d’une base orthonormée est une base orthonormée montrer que f est linéaire.

Solution

f transforme une base orthonormée =(e1,,en) en une base orthonormée =(e1,,en). Pour tout xE,

f(x)=i=1n(f(x)ei)ei=i=1n(xei)ei

d’où la linéarité de f.

 
Exercice 8  5298     ENSTIM (MP)Correction  

Soient E un espace euclidien de dimension n* et une application f:EE telle que

(x,y)E2,f(x)-f(y)=x-yetf(0)=0.
  • (a)

    Montrer que f conserve le produit scalaire, c’est-à-dire

    (x,y)E2,(f(x)f(y))=(xy).
  • (b)

    Montrer que si (e1,,en) est une base orthonormale de E alors la famille (f(e1),,f(en)) est aussi une base orthonormale de E.

  • (c)

    En déduire que f est linéaire.

Solution

  • (a)

    On remarque f(x)=x et f(y)=y. En élevant au carré la relation proposée puis en développant, on acquiert l’égalité voulue après quelques simplifications.

  • (b)

    Soit e=(e1,,en) une base orthonormale de E. La famille image (f(e1),,f(en)) est aussi une base orthonormale de E car c’est une famille de n=dimE vecteurs de E vérifiant

    (f(ei)f(ej))=(eiej)=δi,jpour tous ij{1,,n}
  • (c)

    Pour tout xE, on peut écrire

    f(x)=k=1n(f(x)f(ek)).f(ek)=k=1n(xek).f(ek).

    Il est alors facile d’acquérir la linéarité de f.

 
Exercice 9  303    

Soit f un endomorphisme d’un espace euclidien E conservant l’orthogonalité, c’est-à-dire vérifiant, pour tous x et y de E,

(xy)=0(f(x)f(y))=0.

Montrer qu’il existe λ+ et φO(E) tels que f=λ.φ.

 
Exercice 10  5311     CCP (MP)Correction  

Soit E un espace euclidien de dimension 2n (avec n1) et de produit scalaire ,. On introduit F et G deux sous-espaces vectoriels de E chacun de dimension n et tels que E=FG. On note pF et pG les projections respectivement sur F et G et parallèlement à G et F. Soit φ une isométrie de E telle que φ(F)G. Enfin, on étudie

fφ:{EExφ(pF(x))+φ-1(pG(x)).
  • (a)

    Démontrer φ(F)=G, fφfφ=IdE, fφ(F)=G et fφ(G)=F.

  • (b)

    On suppose que

    φ(u),u=u,φ(u)pour tous u,uF.

    Démontrer que fφ est un automorphisme orthogonal.

  • (c)

    Établir la réciproque.

Solution

  • (a)

    L’application linéaire φ est injective et par conséquent conserve la dimension. Par inclusion et égalité des dimensions, φ(F)=G.

    Pour xF, fφ(x)=φ(x)G et donc fφ(fφ(x))=φ-1(φ(x))=x. Pour xG, le calcul est semblable. Par égalité d’applications linéaires sur des espaces supplémentaires, fφfφ=IdE.

    On a vu au-dessus fφ(F)G et cette inclusion se transforme en égalité par les dimensions car fφ est une application linéaire injective. On acquiert de même fφ(G)=F.

  • (b)

    Vérifions que fφ conserve la norme. Soit xE que l’on écrit x=a+b avec aF et bG. On a

    fφ(x)2 =φ(a)+φ-1(b)
    =φ(a)2+2φ(a),φ-1(b)+φ-1(b)2.

    La conversation du produit scalaire par φ et la propriété supposée entraîne

    fφ(x)2=a2+2a,b+b2=x2.

    On en déduit que fφ est un automorphisme orthogonal.

  • (c)

    Si fφ est un automorphisme orthogonal, il conserve le produit scalaire et donc

    fφ(x),fφ(y)=x,ypour tous x,yE.

    En particulier, pour x=u et y=φ-1(u) on obtient la relation voulue.

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Édité le 08-11-2019

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