[<] Matrices orthogonales [>] Isométries du plan
Soit . Montrer que
Solution
Il suffit de prendre .
Par polarisation, pour tous ,
Or et donc
Soient une isométrie vectorielle d’un espace euclidien et un sous-espace vectoriel de . Montrer
Soient un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel euclidien et tels que .
Montrer
Solution
étant un automorphisme, donc .
Soit on peut écrire avec .
Soit on peut écrire avec .
On a alors
Ainsi , puis par égalité des dimensions .
Soient une isométrie vectorielle d’un espace vectoriel euclidien et . Montrer
Solution
Soit . Il existe tel que . On a alors
Par suite, .
De plus, conserve les dimensions car c’est un automorphisme. Il y a donc égalité.
Soient un vecteur unitaire d’un espace vectoriel euclidien , un réel et l’application définie par
Montrer que est stable pour le produit de composition et observer que et commutent.
Calculer pour .
Montrer que est inversible si, et seulement si, . Quelle est la nature de ?
Montrer
Quelle est la nature de ?
Solution
On a
Par récurrence
Si alors .
est la projection orthogonale sur .
Si alors satisfait à la propriété donc inversible.
Si alors .
Si alors est la réflexion par rapport à .
Dans les deux cas .
Si alors puis
et donc .
Soient une isométrie d’un espace euclidien et .
Montrer l’égalité .
On note la projection orthogonale sur et l’on introduit pour tout
Démontrer que, pour tout , .
Soient un espace vectoriel euclidien et une application telle que
En observant que l’image par d’une base orthonormée est une base orthonormée montrer que est linéaire.
Solution
transforme une base orthonormée en une base orthonormée . Pour tout ,
d’où la linéarité de .
Soient un espace euclidien de dimension et une application telle que
Montrer que conserve le produit scalaire, c’est-à-dire
Montrer que si est une base orthonormale de alors la famille est aussi une base orthonormale de .
En déduire que est linéaire.
Solution
On remarque et . En élevant au carré la relation proposée puis en développant, on acquiert l’égalité voulue après quelques simplifications.
Soit une base orthonormale de . La famille image est aussi une base orthonormale de car c’est une famille de vecteurs de vérifiant
Pour tout , on peut décomposer le vecteur dans la base orthonormale et écrire
Cette expression permet de facilement acquérir la linéarité de .
Soit un endomorphisme d’un espace euclidien conservant l’orthogonalité, c’est-à-dire vérifiant, pour tous et de ,
Montrer qu’il existe et tels que .
Soit un espace euclidien de dimension (avec ) et de produit scalaire . On introduit et deux sous-espaces vectoriels de chacun de dimension et tels que . On note et les projections respectivement sur et et parallèlement à et . Soit une isométrie de telle que . Enfin, on étudie
Démontrer , , et .
On suppose que
Démontrer que est un automorphisme orthogonal.
Établir la réciproque.
Solution
L’application linéaire est injective et par conséquent conserve la dimension. Par inclusion et égalité des dimensions, .
Pour , et donc . Pour , le calcul est semblable. Par égalité d’applications linéaires sur des espaces supplémentaires, .
On a vu au-dessus et cette inclusion se transforme en égalité par les dimensions car est une application linéaire injective. On acquiert de même .
Vérifions que conserve la norme. Soit que l’on écrit avec et . On a
La conversation du produit scalaire par et la propriété supposée entraîne
On en déduit que est un automorphisme orthogonal.
Si est un automorphisme orthogonal, il conserve le produit scalaire et donc
En particulier, pour et on obtient la relation voulue.
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Édité le 30-08-2022
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