[<] Wronskien [>] Problèmes se ramenant à la résoluton d'équations différentielles

 
Exercice 1  4662   

Résoudre sur l’équation

(E):(t-1)y′′-ty+y=0

en commençant par rechercher deux solutions «  apparentes  ».

 
Exercice 2  427   Correction  

Résoudre sur l’équation

(t+1)2y′′-2(t+1)y+2y=0

On commencera par rechercher les fonctions polynomiales solutions.

Solution

Sur I=]-;-1[ ou ]-1;+[ l’espace des solutions de cette équation différentielle linéaire d’ordre 2 est un plan vectoriel. En recherchant ses solutions polynomiale on obtient les fonctions y(t)=a(t2-1)+b(t+1). Les deux fonctions polynomiales tt2-1 et tt+1 sont solutions et indépendantes, elles constituent un système fondamental de solution de l’équation sur I. Reste à recoller celles-ci en -1.
Si y est solution sur , elle est a fortiori solution sur ]-;-1[ et ]-1;+[ donc il existe a1,b1,a2,b2 tels que t>-1,y(t)=a1(t2-1)+b1(t+1) et t<-1,y(t)=a2(t2-1)+b2(t+1).
Recherchons parmi les fonctions de la forme précédente celles pouvant être prolongée en une fonction deux fois dérivable en -1
Limite en -1: limt-1+y(t)=0 et limt-1-y(t)=0. On peut prolonger y en -1 en posant y(-1)=0.
t>-1,y(t)=2a1t+b1 et t>-1,y(t)=2a2t+b2.
Limite en -1: limt-1+y(t)=-2a1+b1 et limt-1-y(t)=-2a2+b2. La fonction y est dérivable en -1 si, et seulement si, -2a1+b1=-2a2+b2. Si tel est le cas:
t>-1,y′′(t)=2a1 et t<-1,y′′(t)=2a2.
Limite en -1: limt-1+y′′(t)=2a1 et limt-1-y′′(t)=2a2. La fonction y est deux fois dérivable en -1 si, et seulement si, 2a1=2a2.
Au final y peut être prolongée en une fonction deux fois dérivable si, et seulement si, a1=a2 et b1=b2.
La fonction y est alors donnée par y(t)=a1(t2-1)+b1(t+1) sur et elle bien solution de l’équation.

Finalement, les solutions sur de l’équation sont les fonctions

y(t)=a(t2-1)+b(t+1) avec a,b.
 
Exercice 3  428   Correction  

Résoudre sur l’équation

(t+1)y′′-(t+2)y+y=0.

Solution

On remarque

(t+1)y′′-(t+2)y+y=0(t+1)(y-y)-(y-y)=0.

Les fonctions y(t)=et et y(t)=t+2 sont solutions sur et elles sont indépendantes.
Par suite, sur I=]-;-1[ ou ]-1;+[, la solution générale est

y(t)=λet+μ(t+2)

car on sait que l’espace des solutions est de dimension 2.
Après recollement en -1, la solution générale sur est

y(t)=λet+μ(t+2) avec λ,μ.
 
Exercice 4  426   Correction  

On considère l’équation différentielle

xy′′-y-x3y=0.
  • (a)

    Montrer que si y est solution sur I alors xy(-x) est solution sur I symétrique de I par rapport à 0.

  • (b)

    Résoudre sur +* l’équation via le changement de variable t=x2.

  • (c)

    Déterminer les solutions sur .

Solution

  • (a)

    z:xy(-x) est deux fois dérivable sur I et vérifie bien l’équation.

  • (b)

    Soient y une fonction deux fois dérivable définie sur +* et z définie par z(t)=y(t) de sorte que y(x)=z(x2). La fonction z est deux fois dérivable et

    y(x)=2xz(x2)ety′′(x)=2z(x2)+4x2z′′(x2).

    La fonction y est solution sur +* si, et seulement si,

    4z′′-z=0.

    Cela conduit à la solution générale

    y(x)=λex22+μe-x22 avec (λ,μ)2.
  • (c)

    Soit y une solution sur de l’équation proposée.

    Puisque y est solution sur +* et -*, on peut écrire

    x>0,y(x)=λ1ex22+μ1e-x22etx<0,y(x)=λ2ex22+μ2e-x22.

    Puisque y est continue en 0,

    λ1+μ1=λ2+μ2

    La dérivabilité de y en 0 ne donne rien de plus.

    y′′(x)x0+λ1-μ1ety′′(x)x0-λ2-μ2.

    La dérivabilité à l’ordre 2 de y en 0 conduit à λ1-μ1=λ2-μ2 d’où λ1=μ1 et λ2=μ2.

    Finalement, la solution générale sur s’exprime

    y(x)=λ1ex22+μ1e-x22 avec (λ1,μ1)2.
 
Exercice 5  3501   Correction  

On étudie l’équation différentielle

(E):4xy′′+2y-y=0.
  • (a)

    Déterminer les fonctions développables en série entière solutions

  • (b)

    Résoudre (E) sur +* et sur -* en posant respectivement x=t2 et x=-t2.

  • (c)

    Déterminer les solutions de (E) sur .

Solution

  • (a)

    Soit anxn une série entière de rayon de convergence R>0.
    Sur ]-R;R[, la fonction xy(x)=n=0+anxn est de classe 𝒞 avec

    y(x)=n=0+(n+1)an+1xn et y′′=n=1+(n+1)nan+1xn-1.

    On a alors

    4xy′′+2y-y=n=0+(2(2n+1)(n+1)an+1-an)xn.

    Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, la fonction y est solution de l’équation (E) si, et seulement si,

    n,an+1=an(2n+1)(2n+2).

    Ce qui donne

    n,an=1(2n)!a0.

    Inversement, la série entière donnée par a0(2n)!xn est de rayon de convergence + et en vertu des calculs qui précèdent, sa somme est solution sur de l’équation (E).

  • (b)

    Considérons I=+* ou -* et posons x=εt2 avec ε=±1.
    Soit y:I une fonction deux fois dérivable et z:+* définie par z(t)=y(εt2).
    La fonction z est deux fois dérivable et

    z(t)=y(εt2),z(t)=2εty(εt2) et z′′(t)=4t2y′′(εt2)+2εy(εt2)

    de sorte que

    εz′′(t)-z(t)=4xy′′(x)+2y(x)-y(x).

    Ainsi, y est solution de (E) sur I si, et seulement si, z est solution sur +* de l’équation différentielle linéaire à coefficients constants εz′′-z=0. La solution générale de cette dernière est z(t)=λch(t)+μsh(t) si I=+* et z(t)=λcos(t)+μsin(t) si I=-*. La solution générale de (E) sur I est donc

    y(x)=λch(x)+μsh(x)sur I=+*

    et

    y(x)=λcos(|x|)+μsin(|x|)sur I=-*.
  • (c)

    Soit y une solution de (E) sur +* et -*. On peut écrire

    x>0,y(x)=λch(x)+μsh(x)

    et

    x<0,y(x)=λcos(|x|)+μsh(|x|).

    Le raccord par continuité exige λ=λ.
    La dérivabilité du raccord exige μ=μ=0.
    La fonction ainsi obtenue correspond alors au développement en série entière initiale que l’on sait être solution sur .

 
Exercice 6  1560   Correction  

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):xy′′-(1+x)y+y=1

en posant z=y-y.

Solution

Soient y: une fonction deux fois dérivable et z: définie par z=y-y. La fonction z est dérivable et z=y′′-y.

y est solution de E si, et seulement si, z est solution de (F):xz-z=1.

(F) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1.

Solution générale de (F) sur +* et -*:

z(x)=Cx-1.

Après recollement, solution générale de (F) sur :

z(x)=Cx-1.

Reste à résoudre

(G):y-y=Cx-1.

Solution homogène: y0(x)=Dex.

Solution particulière: y1(x)=-C(x+1)+1.

Solution générale de (E):

y(x)=-C(x+1)+Dex+1 avec (C,D)2.

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Édité le 08-11-2019

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