Exercice 1 1556 Correction

Résoudre sur $ℝ$ l’équation

(1 + x^{2}) y^{''} + 2 x y^{'} = 0 .

Solution

Soit $y : ℝ \to ℝ$ une fonction deux fois dérivable. Posons $z = y^{'}$ , $z$ est dérivable.
$y$ est solution de l’équation différentielle si, et seulement si, $z$ solution de

(1 + x^{2}) z^{'} + 2 x z = 0 .

On obtient

z (x) = \frac{C}{1 + x^{2}}

puis

y (x) = C \arctan (x) + D .

Exercice 2 1558 Correction

Résoudre sur $ℝ$ l’équation

y^{''} + 4 x y^{'} + (3 + 4 x^{2}) y = 0

en introduisant la fonction $z (x) = e^{x^{2}} y (x)$ .

Solution

Soit $y : ℝ \to ℝ$ une fonction deux fois dérivable. Posons $z : x \mapsto e^{x^{2}} y (x)$ , $z$ est deux fois dérivable.
$y$ est solution de l’équation différentielle si, et seulement si, $z$ solution de $z^{''} + z = 0$ .
On obtient

z (x) = C_{1} \cos (x) + C_{2} \sin (x)

et on en déduit

y (x) = (C_{1} \cos (x) + C_{2} \sin (x)) e^{- x^{2}} .

Exercice 3 1559 Correction

Résoudre l’équation différentielle

{(1 + e^{x})}^{2} y^{''} - 2 e^{x} (1 + e^{x}) y^{'} - (3 e^{x} + 1) y = 0

en introduisant

z (x) = \frac{y (x)}{1 + e^{x}} .

Solution

Soit $y : ℝ \to ℝ$ deux fois dérivable et $z : ℝ \to ℝ$ définie par

z (x) = \frac{y (x)}{1 + e^{x}} .

La fonction $z$ est deux fois dérivable.
On a $y (x) = (1 + e^{x}) z (x)$ , $y^{'} (x) = (1 + e^{x}) z^{'} (x) + e^{x} z (x)$ , $y^{''} (x) = (1 + e^{x}) z^{''} (x) + 2 e^{x} z^{'} (x) + e^{x} z (x)$ .
$y$ est solution de l’équation étudiée si, et seulement si, $z^{''} - z = 0$ .
On obtient pour solution générale de l’équation $z^{''} - z = 0$

z (x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}

et on en déduit la solution générale de l’équation étudiée

y (x) = (C_{1} e^{x} + C_{2} e^{- x}) (1 + e^{x}) .

Exercice 4 413 Correction

Résoudre sur $ℝ_{+}^{*}$ l’équation

x^{2} y^{''} + 4 x y^{'} - (x^{2} - 2) y = 0

en posant $z = x^{2} y$ .

Solution

Soit $y : ℝ_{+}^{*} \to ℝ$ une fonction deux fois dérivable.

Posons $z : ℝ_{+}^{*} \to ℝ$ définie par $z (x) = x^{2} y (x)$ . La fonction $z$ est deux fois dérivable avec

z^{'} (x) = x^{2} y^{'} (x) + 2 x y (x) et z^{''} (x) = x^{2} y^{''} (x) + 4 x y^{'} (x) + 2 y (x) .

On observe alors

x^{2} y^{''} + 4 x y^{'} - (x^{2} - 2) y = 0 \Leftrightarrow z^{''} - z = 0 .

La solution générale de l’équation $z^{''} = z$ est

z (x) = λ e^{x} + μ e^{- x} avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .

La solution générale de l’équation initiale est donc

y (x) = \frac{λ e^{x} + μ e^{- x}}{x^{2}} avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .

Exercice 5 1561

Résoudre sur $ℝ$ l’équation

(E) : (1 + e^{x}) y^{''} + 2 e^{x} y^{'} + (1 + 2 e^{x}) y = e^{x}

en posant $z (x) = (1 + e^{x}) y (x)$ .

Exercice 6 3508 Correction

Déterminer les fonctions réelles solutions sur $] 0; + \infty [$ de l’équation

x y^{''} (x) + 2 y^{'} (x) - x y (x) = 0

en posant $y (x) = x^{α} z (x)$ avec $α \in ℝ$ bien choisi.

Solution

Soit $y :] 0; + \infty [\to ℝ$ une fonction deux fois dérivable et $z :] 0; + \infty [\to ℝ$ donnée par

z (x) = x^{- α} y (x) .

La fonction $z$ est deux fois dérivable et

y^{'} (x) = x^{α} z^{'} (x) + α x^{α - 1} z (x), y^{''} (x) = x^{α} z^{''} (x) + 2 α x^{α - 1} z^{'} (x) + α (α - 1) x^{α - 2} z (x)

donc

x y^{''} (x) + 2 y^{'} (x) - x y (x) = x^{α + 1} z^{''} (x) + 2 (α + 1) x^{α} z^{'} (x) + (α (α + 1) x^{α - 1} - x^{α + 1}) z (x) .

Pour $α = - 1$ , on obtient

x y^{''} (x) + 2 y^{'} (x) - x y (x) = z^{''} (x) - z (x)

et donc $y$ est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

z (x) = λ ch (x) + μ sh (x) avec (λ, μ) \in ℝ^{2}

ce qui donne la solution générale

y (x) = \frac{λ ch (x) + μ sh (x)}{x} avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .

Exercice 7 4658

Résoudre sur $] 0; + \infty [$ l’équation différentielle

(E) : x^{2} y^{''} + x y^{'} - (x^{2} + \frac{1}{4}) y = 0

en posant $y (x) = x^{α} z (x)$ avec $α \in ℝ$ bien choisi.

Exercice 8 411 Correction

Déterminer les fonctions à valeurs réelles solution sur $ℝ$ de l’équation

(1 + e^{x}) y^{''} + y^{'} - e^{x} y = 0 .

On introduira la fonction $z = y^{'} + y$ .

Solution

Soit $y : ℝ \to ℝ$ une fonction deux fois dérivable sur $ℝ$ .

Posons $z : ℝ \to ℝ$ la fonction définie par $z = y^{'} + y$ .

La fonction $z$ est dérivable et $z^{'} = y^{''} + y^{'}$ .

On remarque que $y$ est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, $z$ est solution de

(1 + e^{x}) z^{'} - e^{x} z = 0 .

La solution générale de cette équation s’exprime

z (x) = λ (e^{x} + 1) avec λ \in ℝ p t .

Après résolution de l’équation $y^{'} + y = λ (e^{x} + 1)$ , on obtient la solution générale

y (x) = α e^{- x} + β (e^{x} + 2) (α, β) \in ℝ^{2} .

Exercice 9 412 Correction

Résoudre sur $] 0; + \infty [$ l’équation

x^{2} y^{''} - 2 y + \frac{3}{x} = 0

en introduisant la fonction $z (x) = x y^{'} (x) + y (x)$ .

Solution

Soient $y$ une fonction deux fois dérivable définie sur $] 0; + \infty [$ et $z$ la fonction définie par $z (x) = x y^{'} (x) + y (x)$ . La fonction $z$ est dérivable et $y$ est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, $z$ est solution de

x z^{'} - 2 z = - \frac{3}{x} .

Après résolution de cette équation différentielle

z (x) = C x^{2} + \frac{1}{x} avec C \in ℝ .

Par suite,

x y^{'} (x) + y (x) = C x^{2} + \frac{1}{x} .

Après résolution de cette équation différentielle

y (x) = \frac{C^{'}}{x} + \frac{1}{3} C x^{2} + \frac{\ln (x)}{x} avec (C, C^{'}) \in ℝ^{2} .

Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions.

Exercice 10 5946 Correction

Soient $a, b : I \to ℝ$ des fonctions respectivement de classe $𝒞^{1}$ et continue. On étudie l’équation différentielle

(E) : y^{''} + a (t) y^{'} (t) + b (t) y = 0 .

Montrer qu’il existe une fonction $φ : I \to ℝ$ à valeurs strictement positives telle qu’une fonction $y$ est solution sur $I$ de l’équation $(E)$ si, et seulement si, $z = y φ$ est solution d’une équation de la forme $z^{''} + q (t) z = 0$ avec $q : I \to ℝ$ une fonction continue.

Solution

Soit $y : I \to ℝ$ une fonction deux fois dérivable. Considérons une fonction $φ : I \to ℝ_{+}^{*}$ deux fois dérivable et $z = y φ$ . La fonction $z$ est deux fois dérivable avec

z^{'} = y^{'} φ + y φ^{'} et z^{''} = y^{''} φ + 2 y^{'} φ^{'} + y φ^{''} .

Pour $q : I \to ℝ$ une fonction continue, l’équation $z^{''} + q z = 0$ se réécrit

y^{''} φ + 2 y^{'} φ^{'} + (φ^{''} + q φ) y = 0

ou encore

y^{''} + \frac{2 φ^{'}}{φ} y^{'} + (\frac{φ^{''}}{φ} + q) y = 0 .

Considérons alors $A$ une primitive de la fonction $a$ . La fonction $A$ est de classe $𝒞^{2}$ . Choisissons

φ = e^{A / 2} > 0 et q = b - \frac{φ^{''}}{φ} .

La fonction $q$ est continue et, par les calculs qui précèdent, $y$ est solution sur $I$ de $(E)$ si, et seulement si, $z = y φ$ est solution sur $I$ de l’équation $z^{''} + q (t) z = 0$ .

[<] Problèmes se ramenant à la résoluton d'équations différentielles [>] Méthode de Lagrange

Édité le 17-06-2025

Résolution par changement de fonction inconnue