[<] Problèmes se ramenant à la résoluton d'équations différentielles [>] Méthode de Lagrange
Résoudre sur l’équation
Solution
Soit une fonction deux fois dérivable. Posons , est dérivable.
est solution de l’équation différentielle si, et seulement si, solution de
On obtient
puis
Résoudre sur l’équation
en introduisant la fonction .
Solution
Soit une fonction deux fois dérivable. Posons , est deux fois dérivable.
est solution de l’équation différentielle si, et seulement si, solution de .
On obtient
et on en déduit
Résoudre l’équation différentielle
en introduisant
Solution
Soit deux fois dérivable et définie par
La fonction est deux fois dérivable.
On a , , .
est solution de l’équation étudiée si, et seulement si, .
On obtient pour solution générale de l’équation
et on en déduit la solution générale de l’équation étudiée
Résoudre sur l’équation
en posant .
Solution
Soit une fonction deux fois dérivable.
Posons définie par . La fonction est deux fois dérivable avec
On observe alors
La solution générale de l’équation est
La solution générale de l’équation initiale est donc
Résoudre sur l’équation
en posant .
Déterminer les fonctions réelles solutions sur de l’équation
en posant avec bien choisi.
Solution
Soit une fonction deux fois dérivable et donnée par
La fonction est deux fois dérivable et
donc
Pour , on obtient
et donc est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,
ce qui donne la solution générale
Résoudre sur l’équation différentielle
en posant avec bien choisi.
Déterminer les fonctions à valeurs réelles solution sur de l’équation
On introduira la fonction .
Solution
Soit une fonction deux fois dérivable sur .
Posons la fonction définie par .
La fonction est dérivable et .
On remarque que est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, est solution de
La solution générale de cette équation s’exprime
Après résolution de l’équation , on obtient la solution générale
Résoudre sur l’équation
en introduisant la fonction .
Solution
Soient une fonction deux fois dérivable définie sur et la fonction définie par . La fonction est dérivable et est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, est solution de
Après résolution de cette équation différentielle
Par suite,
Après résolution de cette équation différentielle
Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions.
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Édité le 29-08-2023
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