[<] Problèmes se ramenant à la résoluton d'équations différentielles [>] Méthode de Lagrange

 
Exercice 1  1556  Correction  

Résoudre sur l’équation

(1+x2)y′′+2xy=0.

Solution

Soit y: une fonction deux fois dérivable. Posons z=y, z est dérivable.
y est solution de l’équation différentielle si, et seulement si, z solution de

(1+x2)z+2xz=0.

On obtient

z(x)=C1+x2

puis

y(x)=Carctan(x)+D.
 
Exercice 2  1558  Correction  

Résoudre sur l’équation

y′′+4xy+(3+4x2)y=0

en introduisant la fonction z(x)=ex2y(x).

Solution

Soit y: une fonction deux fois dérivable. Posons z:xex2y(x), z est deux fois dérivable.
y est solution de l’équation différentielle si, et seulement si, z solution de z′′+z=0.
On obtient

z(x)=C1cos(x)+C2sin(x)

et on en déduit

y(x)=(C1cos(x)+C2sin(x))e-x2.
 
Exercice 3  1559  Correction  

Résoudre l’équation différentielle

(1+ex)2y′′-2ex(1+ex)y-(3ex+1)y=0

en introduisant

z(x)=y(x)1+ex.

Solution

Soit y: deux fois dérivable et z: définie par

z(x)=y(x)1+ex.

La fonction z est deux fois dérivable.
On a y(x)=(1+ex)z(x), y(x)=(1+ex)z(x)+exz(x), y′′(x)=(1+ex)z′′(x)+2exz(x)+exz(x).
y est solution de l’équation étudiée si, et seulement si, z′′-z=0.
On obtient pour solution générale de l’équation z′′-z=0

z(x)=C1ex+C2e-x

et on en déduit la solution générale de l’équation étudiée

y(x)=(C1ex+C2e-x)(1+ex).
 
Exercice 4  413  Correction  

Résoudre sur +* l’équation

x2y′′+4xy-(x2-2)y=0

en posant z=x2y.

Solution

Soit y:+* une fonction deux fois dérivable.

Posons z:+* définie par z(x)=x2y(x). La fonction z est deux fois dérivable avec

z(x)=x2y(x)+2xy(x)etz′′(x)=x2y′′(x)+4xy(x)+2y(x).

On observe alors

x2y′′+4xy-(x2-2)y=0z′′-z=0.

La solution générale de l’équation z′′=z est

z(x)=λex+μe-x avec (λ,μ)2.

La solution générale de l’équation initiale est donc

y(x)=λex+μe-xx2 avec (λ,μ)2.
 
Exercice 5  1561   

Résoudre sur l’équation

(E):(1+ex)y′′+2exy+(1+2ex)y=ex

en posant z(x)=(1+ex)y(x).

 
Exercice 6  3508   Correction  

Déterminer les fonctions réelles solutions sur ]0;+[ de l’équation

xy′′(x)+2y(x)-xy(x)=0

en posant y(x)=xαz(x) avec α bien choisi.

Solution

Soit y:]0;+[ une fonction deux fois dérivable et z:]0;+[ donnée par

z(x)=x-αy(x).

La fonction z est deux fois dérivable et

y(x)=xαz(x)+αxα-1z(x),y′′(x)=xαz′′(x)+2αxα-1z(x)+α(α-1)xα-2z(x)

donc

xy′′(x)+2y(x)-xy(x)=xα+1z′′(x)+2(α+1)xαz(x)+(α(α+1)xα-1-xα+1)z(x).

Pour α=-1, on obtient

xy′′(x)+2y(x)-xy(x)=z′′(x)-z(x)

et donc y est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

z(x)=λch(x)+μsh(x) avec (λ,μ)2

ce qui donne la solution générale

y(x)=λch(x)+μsh(x)x avec (λ,μ)2.
 
Exercice 7  4658   

Résoudre sur ]0;+[ l’équation différentielle

(E):x2y′′+xy-(x2+14)y=0

en posant y(x)=xαz(x) avec α bien choisi.

 
Exercice 8  411  Correction  

Déterminer les fonctions à valeurs réelles solution sur de l’équation

(1+ex)y′′+y-exy=0.

On introduira la fonction z=y+y.

Solution

Soit y: une fonction deux fois dérivable sur .

Posons z: la fonction définie par z=y+y.

La fonction z est dérivable et z=y′′+y.

On remarque que y est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, z est solution de

(1+ex)z-exz=0.

La solution générale de cette équation s’exprime

z(x)=λ(ex+1) avec λpt.

Après résolution de l’équation y+y=λ(ex+1), on obtient la solution générale

y(x)=αe-x+β(ex+2)(α,β)2.
 
Exercice 9  412   Correction  

Résoudre sur ]0;+[ l’équation

x2y′′-2y+3x=0

en introduisant la fonction z(x)=xy(x)+y(x).

Solution

Soient y une fonction deux fois dérivable définie sur ]0;+[ et z la fonction définie par z(x)=xy(x)+y(x). La fonction z est dérivable et y est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, z est solution de

xz-2z=-3x.

Après résolution de cette équation différentielle

z(x)=Cx2+1x avec C.

Par suite,

xy(x)+y(x)=Cx2+1x.

Après résolution de cette équation différentielle

y(x)=Cx+13Cx2+ln(x)x avec (C,C)2.

Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions.

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Édité le 29-08-2023

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