[<] Résolution avec raccord d'équation d'ordre 2 [>] Résolution par changement de fonction inconnue

 
Exercice 1  2890    MINES (MP)Correction  

Trouver les fonctions f: continues telles que pour tout x réel

f(x)-20xf(t)cos(x-t)dt=1.

Solution

Remarquons

0xf(t)cos(x-t)dt=cos(x)0xf(t)cos(t)dt+sin(x)0xf(t)sin(t)dt.

Si f est solution alors

f(x)=1+20xf(t)cos(x-t)dt

et donc f(0)=1.
f est dérivable car somme de fonctions dérivables.

f(x)=-2sin(x)0xf(t)cos(t)dt+2cos(x)0xf(t)sin(t)dt+2f(x)

et f(0)=2.
f est alors deux fois dérivable et

f′′(x)=1-f(x)+2f(x).

Ainsi, f est solution de l’équation différentielle

y′′-2y+y=1

vérifiant les conditions initiales y(0)=1 et y(0)=2.
La solution générale de cette équation différentielle linéaire d’ordre 2 est

y(x)=(λx+μ)ex+1.

Cela conduit à f(x)=2xex+1.
Inversement, soit par calculs, soit en remontant le raisonnement, on peut affirmer que la fonction proposée est solution.

 
Exercice 2  3108  Correction  

Soient f une fonction réelle continue sur [0;1] et λ un réel.
Trouver u fonction réelle continue sur [0;1] telle que

u(x)=λ0xu(t)dt+f(x).

Solution

Soit u une fonction solution.
Posons

U(x)=0xu(t)dt.

La fonction U est de classe 𝒞1 et vérifie

{U(0)=0U(x)=λU(x)+f(x).

La résolution de l’équation différentielle linéaire U=λU+f(x) donne par pour solution générale

U(x)=Ce-λx+(0xf(t)eλtdt)e-λx.

La condition initiale U(0)=0 déterminer la constante C

C=0.

On en déduit la fonction u

u(x)=f(x)-λ0xf(t)eλ(t-x)dt.

Inversement, une telle fonction est solution car sa primitive s’annulant en 0 vérifie l’équation U=λU+f(x).

 
Exercice 3  3506   Correction  

Déterminer la dimension de l’espace

E={y𝒞2(,)|x,y′′(x)+y(x)=y(0)cos(x)}.

Solution

Les éléments de E sont les solutions de l’équation différentielle

y′′+y=αcos(x) vérifiant y(0)=α.

L’équation différentielle est linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
La fonction xα2xsin(x) est solution particulière et la solution générale est

y(x)=λcos(x)+μsin(x)+α2xsin(x).

Les solutions vérifiant la condition y(0)=α sont les fonctions données par

y(x)=α(cos(x)+12xsin(x))+μsin(x).

On en déduit que l’espace E est de dimension 2.

 
Exercice 4  2535     CCP (MP)Correction  

Quelles sont les fonctions continues f telles que

f(x)=-1-0x(2x-t)f(t)dt?

Solution

Supposons f solution.

f(x)=-1-2x0xf(t)dt+0xtf(t)dt.

On a f(0)=-1 et f dérivable avec

f(x)=-20xf(t)dt-2xf(x)+xf(x).

Par suite, y:x0xf(t)dt est solution de l’équation différentielle

y′′+xy+2y=0

avec les conditions initiales y(0)=0 et y(0)=-1. Cela détermine y et donc f de manière unique.
En recherchant les solutions développables en séries entières, on obtient y(x)=-xe-x2/2 puis

f(x)=(x2-1)e-x2/2.
 
Exercice 5  1553   Correction  

Déterminer les fonctions f: deux fois dérivables telles que

(x,y)2,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) et f(0)=1.

Solution

Soit f solution.
En prenant x=0 dans la relation, on observe que f est nécessairement paire.
En dérivant la relation deux fois par rapport à x on obtient

f′′(x+y)+f′′(x-y)=2f′′(x)f(y).

En dérivant la relation deux fois par rapport à y on obtient

f′′(x+y)+f′′(x-y)=2f(x)f′′(y).

On en déduit

f′′(x)f(y)=f(x)f′′(y).

Pour y=0, on obtient l’équation f′′(x)=λf(x) avec λ=f′′(0).
Si λ>0 alors f(x)=ch(λx).
Si λ=0 alors f(x)=1.
Si λ<0 alors f(x)=cos(-λ)x
Inversement, on vérifie par le calcul qu’une fonction de la forme précédente est solution du problème posé.

 
Exercice 6  2892      MINES (MP)Correction  

Déterminer les fonctions f:+* dérivables telles que

x>0,f(x)=f(1/x).

Solution

Soit f une fonction solution. f est dérivable et

f(x)=f(1/x)

donc f est encore dérivable. La fonction f est donc deux fois dérivable avec

f′′(x)=-1x2f(1/x)=-1x2f(x).

La fonction f apparaît alors comme étant solution sur +* de l’équation différentielle

(E):x2y′′+y=0

(E) est une équation différentielle d’Euler. Réalisons le changement de variable t=ln(x).
Soient y:+* deux fois dérivable et z: définie par

z(t)=y(et)

z est deux fois dérivable et

y(x)=z(ln(x)).
y(x)=1xz(ln(x)).
y′′(x)=-1x2z(ln(x))+1x2z′′(ln(x))

y est solution sur +* de E si, et seulement si, z est solution sur de

(F):z′′-z+z=0

(F) est un équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants homogène de solution générale

z(x)=(λcos(3x2)+μsin(3x2))ex/2.

La solution générale de E sur +* est donc

y(x)=x(λcos(3ln(x)2)+μsin(3ln(x)2)).

Revenons à la fonction f. Il existe λ,μ telles que

f(x)=x(λcos(3ln(x)2)+μsin(3ln(x)2)).

On a alors

f(x)=12x((λ+μ3)cos(3ln(x)2)+(μ-λ3)sin(3ln(x)2))

et donc

f(x)=f(1/x){λ+μ3=2λλ3-μ=2μλ=μ3.

Finalement, les solutions sont les fonctions f données par

x,f(x)=Cxcos(3ln(x)2-π6) avec C.

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Édité le 08-11-2019

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