[<] Résolution d'équation scalaire d'ordre 1 [>] Résolution avec raccord d'équation d'ordre 1

 
Exercice 1  380   Correction  

Soit a:+ une fonction continue et intégrable.
Établir que les solutions de l’équation différentielle y-a(t)y=0 sont bornées sur +.

Solution

La solution générale de l’équation étudiée est

y(t)=λeA(t) avec A(t)=0ta(u)du.

Or pour tout t0,

|A(t)|0t|a(u)|du0+|a(u)|du

et donc la fonction y est bornée.

 
Exercice 2  381   Correction  
  • (a)

    Soit h: continue de limite nulle en +. Montrer que les solutions de l’équation différentielle y+y=h converge vers 0 en +.

  • (b)

    Soit f: de classe 𝒞1. On suppose que f+f+. Montrer que f+.

Solution

  • (a)

    La solution générale de l’équation différentielle y+y=h est

    y(x)=(λ+0xh(t)etdt)e-x.

    Pour tout ε>0, il existe A tel que

    xA,|h(t)|ε.

    On a alors

    y(x)=(λ+0Ah(t)etdt)e-x+Axh(t)et-xdt

    avec

    |Axh(t)et-xdt|ε et (λ+0Ah(t)etdt)e-xx+0.
  • (b)

    Posons h=f+f-. f- est solution de l’équation différentielle y+y=h donc f-+0 puis f+.

 
Exercice 3  3109   Correction  

Soient α un complexe de partie réelle strictement positive et une application f: de classe 𝒞1 telle que f+αf tend vers 0 en +.
Montrer que f tend vers 0 en +.

Solution

Posons g=f+αf. La fonction f est solution de l’équation différentielle.

y+αy=g.

La solution générale de cette équation différentielle est

y(x)=λe-αx+0xg(t)eα(t-x)dt.

Ainsi, on peut écrire

f(x)=λe-αx+0xg(t)eα(t-x)dt.

Il est immédiat que λe-αx0 quand x+ car Re(α)>0.
Étudions maintenant la limite du terme intégral.
Soit ε>0. Puisque la fonction g tend vers 0 en +, il existe A0 tel que

tA,|g(t)|ε.

On a alors pour tout xA

0xg(t)eα(t-x)dt=0Ag(t)eα(t-x)dt+Axg(t)eα(t-x)dt

avec

|Axg(t)eα(t-x)dt|AxεeRe(α)(t-x)dtεRe(α)[eRe(α)(t-x)]AxεRe(α)

et

|0Ag(t)eα(t-x)dt|=|0Ag(t)eαtdt|e-Re(α)x=Ctee-Re(α)xx+0.

Pour x assez grand on a alors

|0xg(t)eα(t-x)dt|εRe(α)+ε.

Ainsi, 0xg(t)eα(t-x)dtx+0 puis f(x)x+0.

 
Exercice 4  4100   Correction  

Soit α et φ: une fonction continue et périodique de période T>0.
On étudie l’équation différentielle

(E):y+αy=φ(t).
  • (a)

    Montrer que si y est solution sur de l’équation (E) alors la fonction ty(t+T) l’est aussi.

  • (b)

    En déduire qu’une solution y de (E) est T-périodique si, et seulement si, y(0)=y(T).

  • (c)

    Montrer que l’équation (E) admet une unique solution T-périodique, sauf pour des valeurs exceptionnelles de α que l’on précisera.

Solution

  • (a)

    Posons z(t)=y(t+T). La fonction z est dérivable sur et

    t,z(t)+αz(t)=y(t+T)+αy(t+T)=φ(t+T)=φ(t).

    La fonction z est donc solution de (E).

  • (b)

    Si y est T-périodique, on a évidemment y(0)=y(T).
    Inversement, si y(0)=y(T) alors y et z sont solutions d’un même problème de Cauchy posé en 0. Par unicité de ces solutions, on peut conclure y=z.

  • (c)

    On peut exprimer la solution générale de l’équation (E)

    y(t)=(λ+0tφ(u)eαudu)e-αt.

    L’équation y(0)=y(T) équivaut alors l’équation

    λ=(λ+0Tφ(u)eαudu)e-αT.

    Si eαT1, cette équation précédente possède une unique solution en l’inconnue λ ce qui détermine y.
    La condition eαT=1 est uniquement vérifiée pour les valeurs

    α=2ikπT avec k.
 
Exercice 5  5228   

Soit S:]-1;1[ la fonction somme d’une série entière anxn de rayon de convergence R1. Montrer que les solutions sur ]-1;1[ de l’équation différentielle

(E):(1-x)y-y=S(x)

sont toutes développables en série entière sur ]-1;1[.

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Édité le 08-11-2019

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