[<] Résolution d'équation scalaire d'ordre 1 [>] Résolution avec raccord d'équation d'ordre 1
Soit une fonction continue et intégrable.
Établir que les solutions de l’équation différentielle sont bornées sur .
Solution
La solution générale de l’équation étudiée est
Or pour tout ,
et donc la fonction est bornée.
Soient continues et intégrables sur .
Montrer que toutes les solutions sur de l’équation différentielle
sont bornées.
Solution
Soit une primitive de la fonction continue sur . Après résolution, la solution générale de l’équation s’exprime
Considérons une telle fonction.
Puisque la fonction est intégrable sur , la primitive admet une limite finie en . Puisque cette fonction est aussi continue sur , elle y est bornée. On peut donc introduire tel que
et alors
On en déduit
La fonction est donc bornée.
Soit continue de limite nulle en . Montrer que les solutions de l’équation différentielle tendent vers en .
Soit de classe . On suppose que . Montrer que .
Solution
La solution générale de l’équation différentielle est
Pour tout , il existe tel que
On a alors
avec
Posons . est solution de l’équation différentielle donc puis .
Soient un nombre complexe de partie réelle strictement positive.
Soit continue. Exprimer la solution générale de l’équation différentielle .
Application : Soit de classe telle que tend vers en . Montrer que tend vers en .
Solution
La solution générale de l’équation différentielle s’exprime
Posons . La fonction est solution de l’équation différentielle.
Ainsi, on peut écrire
Il est immédiat que
car .
Étudions maintenant la limite du terme intégral.
Soit . Puisque la fonction tend vers en , il existe tel que
On a alors pour tout
avec
et
Pour assez grand,
Ainsi, puis .
Soit et une fonction continue et périodique de période .
On étudie l’équation différentielle
Montrer que si est solution sur de l’équation alors la fonction l’est aussi.
En déduire qu’une solution de est -périodique si, et seulement si, .
Montrer que l’équation admet une unique solution -périodique, sauf pour des valeurs exceptionnelles de que l’on précisera.
Solution
Posons . La fonction est dérivable sur et
La fonction est donc solution de .
Si est -périodique, on a évidemment .
Inversement, si alors et sont solutions d’un même problème de Cauchy posé en 0. Par unicité de ces solutions, on peut conclure .
On peut exprimer la solution générale de l’équation
L’équation équivaut alors l’équation
Si , cette équation précédente possède une unique solution en l’inconnue ce qui détermine .
La condition est uniquement vérifiée pour les valeurs
Soient continues et -périodiques avec . Montrer qu’une solution de l’équation est -périodique si, et seulement si, .
Solution
Soit une solution de sur . On vérifie sans peine que est aussi solution de sur . Par le théorème de Cauchy, deux solutions d’une même équation différentielle sont égales si, et seulement si, elles prennent la même valeur en un certain point. On a donc
est -périodique | |||
Soit la fonction somme d’une série entière de rayon de convergence . Montrer que les solutions sur de l’équation différentielle
sont toutes développables en série entière sur .
Soit une fonction continue et bornée. On étudie l’équation différentielle
Montrer que l’équation admet une unique solution telle que soit de limite nulle en .
On suppose que admet une limite finie en . Montrer que admet aussi une limite finie en .
Solution
La solution générale homogène de l’équation s’exprime
La méthode de la variation de la constante conduit à déterminer une solution particulière s’exprimant avec
Par exemple,
est correctement définie (car le caractère borné de assure l’intégrabilité en ) et convient. La solution générale de s’exprime alors
On vérifie ensuite
Pour et seulement pour cette valeur, on vérifie que est de limite nulle en . Cela détermine de façon unique.
Si admet une limite finie en , on peut écrire
et alors
La fonction est positive et intégrable en . Par comparaison de restes d’intégrales convergentes,
Ainsi,
et donc
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Édité le 23-02-2024
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