[<] Méthode de variation des constantes [>] Wronskien

 
Exercice 1  5100  

On étudie l’équation différentielle

(E):y′′+q(x)y=0

q: est une fonction continue et paire.

  • (a)

    Soit y une solution de (E) sur .

    Montrer que la fonction z:xy(-x) est aussi solution de (E) sur .

  • (b)

    Montrer que l’équation différentielle (E) possède une unique solution sur qui soit une fonction paire prenant la valeur 1 en 0.

 
Exercice 2  1555  Correction  

Soit q:+ une fonction continue non nulle.

On se propose de montrer que les solutions sur de l’équation y′′+q(x)y=0 s’annulent.

Pour cela, on raisonne par l’absurde et l’on suppose que f est une solution ne s’annulant pas.

  • (a)

    Justifier que f est de signe constant.

Quitte à considérer -f au lieu de f, on peut supposer

x,f(x)>0.
  • (b)

    Étudier le signe de f′′.

  • (c)

    Soit a quelconque. Quelle est l’équation de la tangente à f en a?

  • (d)

    Montrer que le graphe de f est en dessous de sa tangente en a.

  • (e)

    En déduire que f(a)=0 et conclure.

Solution

  • (a)

    f est continue, si f n’est pas de signe constant alors f s’annule.

  • (b)

    On a

    x,f′′(x)=-q(x)f(x)0.
  • (c)

    L’équation est

    y=f(a)(x-a)+f(a).
  • (d)

    Considérons g: définie par g(x)=f(x)-(f(a)(x-a)+f(a)).
    g est dérivable et g(x)=f(x)-f(a). Or f est décroissante, on peut donc dresser le tableau de variation de g et puisque g(a)=0, constater

    x,g(x)0.
  • (e)

    Si f(a)0 alors f étant en dessous de sa tangente prend des valeurs négatives, c’est impossible.
    On en déduit que

    a,f(a)=0

    donc f est constante et f′′=0.
    Pour que f vérifie l’équation

    y′′+q(x)y=0

    (sachant q0) il est nécessaire que f soit constante égale à 0.
    C’est absurde.

 
Exercice 3  3499   

Soient p et q:[0;1] des fonctions continues. On étudie l’équation différentielle définie sur [0;1]

(E):y′′+p(t)y+q(t)y=0.

Montrer que si une solution de l’équation (E) possède une infinité de racines, celle-ci est la fonction nulle.

 
Exercice 4  3100     ENSTIM (MP)

On considère l’équation différentielle

(Eh):y′′-q(x)y=0

avec q: une fonction continue et positive.

  • (a)

    Soit y une solution de (Eh) sur . Étudier la convexité de y2.

  • (b)

    En déduire que, si y(0)=y(1)=0, alors la fonction y est nulle sur .

Soient y1 et y2 deux solutions de (Eh) telles que

(y1(0),y1(0))=(0,1)et(y2(1),y2(1))=(0,1).
  • (c)

    Démontrer que les fonctions y1 et y2 constituent une base de l’espace des solutions de (Eh).

  • (d)

    Soit f: une fonction continue. Démontrer que l’équation différentielle

    (E):y′′-q(x)y=f(x)

    admet une unique solution11 1 Ce problème n’est pas un problème de Cauchy mais un problème de conditions aux limites: l’existence et l’unicité d’une solution n’est pas garantie! y vérifiant y(0)=y(1)=0.

 
Exercice 5  5370     CENTRALE (MP)Correction  

Dans cet exercice, on considère l’équation différentielle linéaire

(E):(1-x)3y′′(x)=y(x).

On note f l’unique solution de (E) sur l’intervalle ]-;1[ vérifiant les conditions initiales f(0)=0 et f(0)=1.

  • (a)

    Justifier l’existence de cette fonction.

    En utilisant la méthode d’Euler, tracer une approximation du graphe de f sur [0;0,9].

  • (b)

    Justifier que f𝒞(]-;1[,).

On pose, pour tout n,

an=f(n)(0)n!.
  • (c)

    Établir que la suite (an)n vérifie une relation de récurrence liant an+2, an+1, an et an-1 pour tout entier n1.

    Calculer alors an pour tout n0;20.

  • (d)

    Démontrer que pour tout n, |an|4n.

    Qu’en déduit-on en ce qui concerne la fonction f?

  • (e)

    Que peut-on dire du signe de f sur [0;1[?

  • (f)

    Démontrer que pour tout x[0;1[

    f(x)x+0x(x-t)t(1-t)3dt.
  • (g)

    Calculer cette dernière intégrale.

    Que peut-on en déduire concernant le comportement de f en 1-?

Solution

  • (a)

    L’équation (E) équivaut sur ]-;1[ à l’équation résolue en y′′ suivante

    y′′(x)=1(1-x)3y(x)

    Le facteur de y(x) correspond à une fonction continue et l’on peut appliquer le théorème de Cauchy relatif aux équations d’ordre 2.

    import matplotlib.pyplot as plt
    Y = [0, 1]
    N = 100
    dx = 0.9/N
    Lx = [0]
    Ly = [0]
    for i in range(N):
        Y = [Y[0] + dx * Y[1], Y[1] + dx * Y[0]/(1-Lx[-1])**3]
        Lx.append(Lx[-1] + dx)
        Ly.append(Y[-1])
    plt.plot(Lx, Ly)
    plt.show()
    
  • (b)

    La fonction f est définie et deux fois dérivable sur ]-;1[. Par l’équation différentielle résolue en y′′, on établit alors que f′′ est deux fois dérivable et donc f est quatre fois dérivable. Par récurrence, on établit que f est 2p fois dérivable pour tout p. On en déduit que f est de classe 𝒞.

  • (c)

    En dérivant à l’ordre n* l’équation E (via la formule de Leibniz) et en évaluant en 0, il vient

    f(n+2)(0)-3nf(n+1)(0)+3n(n-1)f(n)(0)-n(n-1)(n-2)f(n-1)(0)=f(n)(0)

    On divise par (n+2)! et l’on obtient

    an+2=3nn+2an+1+1+3n-3n2(n+1)(n+2)an+(n-1)(n-2)(n+1)(n+2)an-1
    a = [0, 1, 0]
    for n in range(3, 21):
        a.append(3*(n-2)/n * a[-1] + \
                 (1 + 3*(n-2)-3*(n-2)**2)/(n-1)/n * a[-2] + \
                 (n-3)*(n-4)/(n-1)/n * a[-3])
    
  • (d)

    La relation est vraie pour n=0, 1 , 2.

    Supposons que celle-ci soit vraie aux rangs n-1, n et n+1 (pour n*). Par la relation de récurrence,

    |an+2| 3|an+1|+3|an|+|an-1|
    34n+1+34n+4n-1
    34n+1+34n+4n=4n+2

    La récurrence est établie.

    On en déduit que la série de Taylor de f converge au moins sur [-1/4;1/4]. Or la somme de celle-ci est aussi solution de l’équation différentielle avec les mêmes conditions initiales (après calculs dans l’équation résolue en y′′).Par unicité de la solution au problème de Cauchy, on en déduit que f est égale à la somme de sa série de Taylor: elle est développable en série entière.

  • (e)

    Par l’absurde, montrons que f est positive sur [0;1[. Si cela n’est pas vrai, la fonction continue f doit s’annuler en un certain élément de [0;1[. On introduit la première de ces annulations:

    c=inf{x[0;1[|f(x)=0}=min{x[0;1[|f(x)=0}

    La fonction f est positive sur [0;c], f est croissante donc positive sur [0;c] et donc, par l’équation différentielle, f′′ est positive sur [0;c]. On en déduit que f est croissante sur [0;c]. Cependant f est nulle en c et prend la valeur 1 en 0. C’est absurde.

    On en déduit que f est positive sur [0;1[ et f est donc croissante sur [0;1[. On en déduit que f est positive sur [0;1[.

  • (f)

    Puisque f est croissante sur [0;1[,

    f(x)=f(0)+0xf(t)dt0xf(0)dt=xpour tout x[0;1[

    puis

    f′′(x)=f(x)(1-x)3x(1-x)3pour tout x[0;1[

    Par la formule de Taylor avec reste intégral,

    f(x)=f(0)+xf(0)+0x(x-t)f′′(t)dtx+0x(x-t)t(1-t)3dt
  • (g)

    On écrit (x-t)t=-(1-t)2+(2-x)(1-t)+x-1 et alors

    0x(x-t)t(1-t)3dt =0x-dt1-t+(2-x)0xdt(1-t)2+(x-1)0xdt(1-t)3
    =ln(1-x)+(2-x)x1-x+(x2-2x)2(1-x)
    =ln(1-x)+122x-x21-x

    On en déduit que f tend vers + en 1-.

 
Exercice 6  5096    

Soient f: une fonction continue et croissante et y:[-a;a] une solution de l’équation différentielle11 1 Il ne s’agit pas ici d’une équation différentielle linéaire: ce type d’équation sort du cadre théorique étudié dans le cours. y′′=f(y).

On suppose y(-a)=y(a). Montrer que la fonction y est paire.

 
Exercice 7  3110    

(Inégalité de Liapounov)

Soient f: une fonction continue et g une solution non identiquement nulle de l’équation

(E):y′′+f(x)y=0.
  • (a)

    Montrer que les zéros11 1 On parle de zéros d’une fonction pour signifier une valeur d’annulation. de g sont isolés22 2 On dit qu’un zéro d’une fonction est isolé lorsqu’il existe un voisinage de celui-ci dans lequel il est le seul zéro de la fonction..

Dans la suite, x1 et x2 sont deux zéros consécutifs de g vérifiant x1<x2.

  • (b)

    Montrer, pour x[x1;x2], l’identité

(x2-x)x1x(t-x1)f(t)g(t)dt+(x-x1)xx2(x2-t)f(t)g(t)dt=(x2-x1)g(x).
  • (c)

    En déduire une minoration de

    x1x2|f(t)|dt.
 
Exercice 8  4178      CENTRALE (MP)Correction  

On considère l’équation différentielle

(E1):x′′+p(t)x+q(t)x=0.
  • (a)

    Soient u1 et u2 deux solutions de (E1) telles que u1u2=1. On pose zi=ui/ui. Montrer que les zi sont deux solutions opposées d’une équation différentielle non linéaire (E2).

  • (b)

    En déduire une condition nécessaire et suffisante sur p et q pour que (E1) admette deux solutions u1 et u2 telles que u1u2=1.

  • (c)

    Résoudre sur I=]-π/4;π/4[ l’équation

    (1+cos(4t))x′′-2sin(4t)x-8x=0.

Solution

  • (a)

    En dérivant u1u2=1, on obtient u1u2+u1u2=0 ce qui permet d’établir que z1 et z2 sont deux fonctions opposées. Aussi

    zi=ui′′ui-ui2ui2=-puiui+qui2+ui2ui2

    et donc zi est solution de l’équation différentielle

    (E2):z+p(t)z+z2+q(t)=0.
  • (b)

    Analyse: Si l’équation (E1) admet deux solutions u1 et u2 avec u1u2=1 alors (E2) admet deux solutions opposées z1 et z2=-z1:

    z1+pz1+z12+q=0etz2+pz2+z22+q=0.

    La différentce et la somme de ces deux équations donnent

    z1+pz1=0etz12+q=0.

    On en déduit q0 et z1z1+pz12=0 donne q+2pq=0. Notons que si la fonction q s’annule, l’équation différentielle précédente assure que q est la fonction nulle. Synthèse: Si la fonction q est nulle l’équation (E1) admet des solutions constantes et, parmi celles-ci, il figure des solutions dont le produit vaut 1. Si la fonction q est strictement négative et vérifie q+2pq=0, on peut introduire z=-q et l’on observe z=-pz car

    2zz=(-q)=2pq=-2pz2.

    Si u est une solution non nulle de l’équation différentielle u=uz, elle ne s’annule pas et l’on vérifie par le calcul que u et 1/u sont solutions de l’équation (E1).

    En résumé, l’équation (E1) admet deux solutions dont le produit vaut 1 si, et seulement si, q est une fonction négative vérifiant q+2pq=0.

  • (c)

    La condition précédente est vérifiée pour

    p(t)=-2sin(4t)1+cos(4t)=2sin(2t)cos(2t)etq(t)=-81+cos(4t)=-4cos2(2t).

    En adaptant les calculs qui précèdent, on obtient une solution u en prenant

    u=uz avec z=2cos(2t)

    et l’on parvient à

    u(t)=1-sin(2t)1+sin(2t)=1-sin(2t)cos(2t).

    La fonction inverse est aussi solution et l’on peut exprimer la solution générale de cette équation différentielle linéaire d’ordre 2

    x(t)=λ(1-sin(2t))+μ(1+sin(2t))cos(2t).

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Édité le 08-11-2019

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