Exercice 1 5100

On étudie l’équation différentielle

(E) : y^{''} + q (x) y = 0

où $q : ℝ \to ℝ$ est une fonction continue et paire.

(a)

Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $ℝ$ .

Montrer que la fonction $z : x \mapsto y (- x)$ est aussi solution de $(E)$ sur $ℝ$ .
(b)

Montrer que l’équation différentielle $(E)$ possède une unique solution sur $ℝ$ qui soit une fonction paire prenant la valeur $1$ en $0$ .

Exercice 2 1555 Correction

Soit $q : ℝ \to ℝ_{+}$ une fonction continue non nulle.

On se propose de montrer que les solutions sur $ℝ$ de l’équation $y^{''} + q (x) y = 0$ s’annulent.

Pour cela, on raisonne par l’absurde et l’on suppose que $f$ est une solution ne s’annulant pas.

(a)

Justifier que $f$ est de signe constant.

Quitte à considérer $- f$ au lieu de $f$ , on peut supposer

\forall x \in ℝ, f (x) > 0 .

(b)

Étudier le signe de $f^{''}$ .
(c)

Soit $a \in ℝ$ quelconque. Quelle est l’équation de la tangente à $f$ en $a$ ?
(d)

Montrer que le graphe de $f$ est en dessous de sa tangente en $a$ .
(e)

En déduire que $f^{'} (a) = 0$ et conclure.

Solution

(a)

$f$ est continue, si $f$ n’est pas de signe constant alors $f$ s’annule.
(b)

On a

$\forall x \in ℝ, f^{''} (x) = - q (x) f (x) \leq 0 .$
(c)

L’équation est

$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) .$
(d)

Considérons $g : ℝ \to ℝ$ définie par $g (x) = f (x) - (f^{'} (a) (x - a) + f (a))$ .
$g$ est dérivable et $g^{'} (x) = f^{'} (x) - f^{'} (a)$ . Or $f^{'}$ est décroissante, on peut donc dresser le tableau de variation de $g$ et puisque $g (a) = 0$ , constater

$\forall x \in ℝ, g (x) \leq 0 .$
(e)

Si $f^{'} (a) \neq 0$ alors $f$ étant en dessous de sa tangente prend des valeurs négatives, c’est impossible.
On en déduit que

$\forall a \in ℝ, f^{'} (a) = 0$

donc $f$ est constante et $f^{''} = 0$ .
Pour que $f$ vérifie l’équation

$y^{''} + q (x) y = 0$

(sachant $q \neq 0$ ) il est nécessaire que $f$ soit constante égale à 0.
C’est absurde.

Exercice 3 3499

Soient $p$ et $q : [0; 1] \to ℝ$ des fonctions continues. On étudie l’équation différentielle définie sur $[0; 1]$

(E) : y^{''} + p (t) y^{'} + q (t) y = 0 .

Montrer que si une solution de l’équation $(E)$ possède une infinité de racines, celle-ci est la fonction nulle.

Exercice 4 3100 ENSTIM (MP)

On considère l’équation différentielle

(E_{h}) : y^{''} - q (x) y = 0

avec $q : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et positive.

(a)

Soit $y$ une solution de $(E_{h})$ sur $ℝ$ . Étudier la convexité de $y^{2}$ .
(b)

En déduire que, si $y (0) = y (1) = 0$ , alors la fonction $y$ est nulle sur $ℝ$ .

Soient $y_{1}$ et $y_{2}$ deux solutions de $(E_{h})$ telles que

(y_{1} (0), y_{1}^{'} (0)) = (0,1) et (y_{2} (1), y_{2}^{'} (1)) = (0,1) .

(c)

Démontrer que les fonctions $y_{1}$ et $y_{2}$ constituent une base de l’espace des solutions de $(E_{h})$ .
(d)

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue. Démontrer que l’équation différentielle

$(E) : y^{''} - q (x) y = f (x)$

admet une unique solution¹¹ 1 Ce problème n’est pas un problème de Cauchy mais un problème de conditions aux limites: l’existence et l’unicité d’une solution n’est pas garantie! $y$ vérifiant $y (0) = y (1) = 0$ .

Exercice 5 5370 CENTRALE (MP)Correction

Dans cet exercice, on considère l’équation différentielle linéaire

(E) : {(1 - x)}^{3} y^{''} (x) = y (x) .

On note $f$ l’unique solution de $(E)$ sur l’intervalle $] - \infty; 1 [$ vérifiant les conditions initiales $f (0) = 0$ et $f^{'} (0) = 1$ .

(a)

Justifier l’existence de cette fonction.

En utilisant la méthode d’Euler, tracer une approximation du graphe de $f$ sur $[0; 0,9]$ .
(b)

Justifier que $f \in 𝒞^{\infty} (] - \infty; 1 [, ℝ)$ .

On pose, pour tout $n \in ℕ$ ,

a_{n} = \frac{f^{(n)} (0)}{n!} .

(c)

Établir que la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ vérifie une relation de récurrence liant $a_{n + 2}$ , $a_{n + 1}$ , $a_{n}$ et $a_{n - 1}$ pour tout entier $n \geq 1$ .

Calculer alors $a_{n}$ pour tout $n \in ⟦ 0; 20 ⟧$ .
(d)

Démontrer que pour tout $n \in ℕ$ , $| a_{n} | \leq 4^{n}$ .

Qu’en déduit-on en ce qui concerne la fonction $f$ ?
(e)

Que peut-on dire du signe de $f$ sur $[0; 1 [$ ?
(f)

Démontrer que pour tout $x \in [0; 1 [$

$f (x) \geq x + \int_{0}^{x} \frac{(x - t) t}{{(1 - t)}^{3}} d t .$
(g)

Calculer cette dernière intégrale.

Que peut-on en déduire concernant le comportement de $f$ en $1^{-}$ ?

Solution

(a)
L’équation $(E)$ équivaut sur $] - \infty; 1 [$ à l’équation résolue en $y^{''}$ suivante

$y^{''} (x) = \frac{1}{{(1 - x)}^{3}} y (x)$

Le facteur de $y (x)$ correspond à une fonction continue et l’on peut appliquer le théorème de Cauchy relatif aux équations d’ordre $2$ .
```
import matplotlib.pyplot as plt
Y = [0, 1]
N = 100
dx = 0.9/N
Lx = [0]
Ly = [0]
for i in range(N):
    Y = [Y[0] + dx * Y[1], Y[1] + dx * Y[0]/(1-Lx[-1])**3]
    Lx.append(Lx[-1] + dx)
    Ly.append(Y[-1])
plt.plot(Lx, Ly)
plt.show()
```
(b)

La fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur $] - \infty; 1 [$ . Par l’équation différentielle résolue en $y^{''}$ , on établit alors que $f^{''}$ est deux fois dérivable et donc $f$ est quatre fois dérivable. Par récurrence, on établit que $f$ est $2 p$ fois dérivable pour tout $p \in ℕ$ . On en déduit que $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ .
(c)
En dérivant à l’ordre $n \in ℕ^{*}$ l’équation $E$ (via la formule de Leibniz) et en évaluant en $0$ , il vient

$f^{(n + 2)} (0) - 3 n f^{(n + 1)} (0) + 3 n (n - 1) f^{(n)} (0) - n (n - 1) (n - 2) f^{(n - 1)} (0) = f^{(n)} (0)$

On divise par $(n + 2)!$ et l’on obtient

$a_{n + 2} = \frac{3 n}{n + 2} a_{n + 1} + \frac{1 + 3 n - 3 n^{2}}{(n + 1) (n + 2)} a_{n} + \frac{(n - 1) (n - 2)}{(n + 1) (n + 2)} a_{n - 1}$
```
a = [0, 1, 0]
for n in range(3, 21):
    a.append(3*(n-2)/n * a[-1] + \
             (1 + 3*(n-2)-3*(n-2)**2)/(n-1)/n * a[-2] + \
             (n-3)*(n-4)/(n-1)/n * a[-3])
```
(d)

La relation est vraie pour $n = 0$ , $1$ , $2$ .

Supposons que celle-ci soit vraie aux rangs $n - 1$ , $n$ et $n + 1$ (pour $n \in ℕ^{*}$ ). Par la relation de récurrence,

$| a_{n + 2} |$ $\leq 3 | a_{n + 1} | + 3 | a_{n} | + | a_{n - 1} |$

$\leq 3 \cdot 4^{n + 1} + 3 \cdot 4^{n} + 4^{n - 1}$

$\leq 3 \cdot 4^{n + 1} + 3 \cdot 4^{n} + 4^{n} = 4^{n + 2}$

La récurrence est établie.

On en déduit que la série de Taylor de $f$ converge au moins sur $[- 1 / 4; 1 / 4]$ . Or la somme de celle-ci est aussi solution de l’équation différentielle avec les mêmes conditions initiales (après calculs dans l’équation résolue en $y^{''}$ ).Par unicité de la solution au problème de Cauchy, on en déduit que $f$ est égale à la somme de sa série de Taylor: elle est développable en série entière.
(e)

Par l’absurde, montrons que $f^{'}$ est positive sur $[0; 1 [$ . Si cela n’est pas vrai, la fonction continue $f^{'}$ doit s’annuler en un certain élément de $[0; 1 [$ . On introduit la première de ces annulations:

$c = inf {x \in [0; 1 [| f^{'} (x) = 0} = \min {x \in [0; 1 [| f^{'} (x) = 0}$

La fonction $f^{'}$ est positive sur $[0; c]$ , $f$ est croissante donc positive sur $[0; c]$ et donc, par l’équation différentielle, $f^{''}$ est positive sur $[0; c]$ . On en déduit que $f^{'}$ est croissante sur $[0; c]$ . Cependant $f^{'}$ est nulle en $c$ et prend la valeur $1$ en $0$ . C’est absurde.

On en déduit que $f^{'}$ est positive sur $[0; 1 [$ et $f$ est donc croissante sur $[0; 1 [$ . On en déduit que $f$ est positive sur $[0; 1 [$ .
(f)

Puisque $f^{'}$ est croissante sur $[0; 1 [$ ,

$f (x) = f (0) + \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t \geq \int_{0}^{x} f^{'} (0) d t = x pour tout x \in [0; 1 [$

puis

$f^{''} (x) = \frac{f (x)}{{(1 - x)}^{3}} \geq \frac{x}{{(1 - x)}^{3}} pour tout x \in [0; 1 [$

Par la formule de Taylor avec reste intégral,

$f (x) = f (0) + x f^{'} (0) + \int_{0}^{x} (x - t) f^{''} (t) d t \geq x + \int_{0}^{x} \frac{(x - t) t}{{(1 - t)}^{3}} d t$
(g)

On écrit $(x - t) t = - {(1 - t)}^{2} + (2 - x) (1 - t) + x - 1$ et alors

$\int_{0}^{x} \frac{(x - t) t}{{(1 - t)}^{3}} d t$ $= \int_{0}^{x} - \frac{d t}{1 - t} + (2 - x) \int_{0}^{x} \frac{d t}{{(1 - t)}^{2}} + (x - 1) \int_{0}^{x} \frac{d t}{{(1 - t)}^{3}}$

$= \ln (1 - x) + \frac{(2 - x) x}{1 - x} + \frac{(x^{2} - 2 x)}{2 (1 - x)}$

$= \ln (1 - x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x - x^{2}}{1 - x}$

On en déduit que $f$ tend vers $+ \infty$ en $1^{-}$ .

Exercice 6 5096

Soient $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et croissante et $y : [- a; a] \to ℝ$ une solution de l’équation différentielle¹¹ 1 Il ne s’agit pas ici d’une équation différentielle linéaire: ce type d’équation sort du cadre théorique étudié dans le cours. $y^{''} = f (y)$ .

On suppose $y (- a) = y (a)$ . Montrer que la fonction $y$ est paire.

Exercice 7 3110

(Inégalité de Liapounov)

Soient $f : ℝ \to ℝ$ une fonction continue et $g$ une solution non identiquement nulle de l’équation

(E) : y^{''} + f (x) y = 0 .

(a)

Montrer que les zéros¹¹ 1 On parle de zéros d’une fonction pour signifier une valeur d’annulation. de $g$ sont isolés²² 2 On dit qu’un zéro d’une fonction est isolé lorsqu’il existe un voisinage de celui-ci dans lequel il est le seul zéro de la fonction..

Dans la suite, $x_{1}$ et $x_{2}$ sont deux zéros consécutifs de $g$ vérifiant $x_{1} < x_{2}$ .

(b)

Montrer, pour $x \in [x_{1}; x_{2}]$ , l’identité

(x_{2} - x) \int_{x_{1}}^{x} (t - x_{1}) f (t) g (t) d t + (x - x_{1}) \int_{x}^{x_{2}} (x_{2} - t) f (t) g (t) d t = (x_{2} - x_{1}) g (x) .

Exercice 8 4178 CENTRALE (MP)Correction

On considère l’équation différentielle

(E_{1}) : x^{''} + p (t) x^{'} + q (t) x = 0 .

(a)

Soient $u_{1}$ et $u_{2}$ deux solutions de $(E_{1})$ telles que $u_{1} u_{2} = 1$ . On pose $z_{i} = u_{i}^{'} / u_{i}$ . Montrer que les $z_{i}$ sont deux solutions opposées d’une équation différentielle non linéaire $(E_{2})$ .
(b)

En déduire une condition nécessaire et suffisante sur $p$ et $q$ pour que $(E_{1})$ admette deux solutions $u_{1}$ et $u_{2}$ telles que $u_{1} u_{2} = 1$ .
(c)

Résoudre sur $I =] - π / 4; π / 4 [$ l’équation

$(1 + \cos (4 t)) x^{''} - 2 \sin (4 t) x^{'} - 8 x = 0 .$

Solution

(a)

En dérivant $u_{1} u_{2} = 1$ , on obtient $u_{1}^{'} u_{2} + u_{1} u_{2}^{'} = 0$ ce qui permet d’établir que $z_{1}$ et $z_{2}$ sont deux fonctions opposées. Aussi

$z_{i}^{'} = \frac{u_{i}^{''} u_{i} - u_{i}^{', 2}}{u_{i}^{2}} = - \frac{p u_{i}^{'} u_{i} + q u_{i}^{2} + u_{i}^{', 2}}{u_{i}^{2}}$

et donc $z_{i}$ est solution de l’équation différentielle

$(E_{2}) : z^{'} + p (t) z + z^{2} + q (t) = 0 .$
(b)

Analyse: Si l’équation $(E_{1})$ admet deux solutions $u_{1}$ et $u_{2}$ avec $u_{1} u_{2} = 1$ alors $(E_{2})$ admet deux solutions opposées $z_{1}$ et $z_{2} = - z_{1}$ :

$z_{1}^{'} + p z_{1} + z_{1}^{2} + q = 0 et z_{2}^{'} + p z_{2} + z_{2}^{2} + q = 0 .$

La différentce et la somme de ces deux équations donnent

$z_{1}^{'} + p z_{1} = 0 et z_{1}^{2} + q = 0 .$

On en déduit $q \leq 0$ et $z_{1} z_{1}^{'} + p z_{1}^{2} = 0$ donne $q^{'} + 2 p q = 0$ . Notons que si la fonction $q$ s’annule, l’équation différentielle précédente assure que $q$ est la fonction nulle. Synthèse: Si la fonction $q$ est nulle l’équation $(E_{1})$ admet des solutions constantes et, parmi celles-ci, il figure des solutions dont le produit vaut 1. Si la fonction $q$ est strictement négative et vérifie $q^{'} + 2 p q = 0$ , on peut introduire $z = \sqrt{- q}$ et l’on observe $z^{'} = - p z$ car

$2 z z^{'} = {(- q)}^{'} = 2 p q = - 2 p z^{2} .$

Si $u$ est une solution non nulle de l’équation différentielle $u^{'} = u z$ , elle ne s’annule pas et l’on vérifie par le calcul que $u$ et $1 / u$ sont solutions de l’équation $(E_{1})$ .

En résumé, l’équation $(E_{1})$ admet deux solutions dont le produit vaut $1$ si, et seulement si, $q$ est une fonction négative vérifiant $q^{'} + 2 p q = 0$ .
(c)

La condition précédente est vérifiée pour

$p (t) = - \frac{2 \sin (4 t)}{1 + \cos (4 t)} = \frac{2 \sin (2 t)}{\cos (2 t)} et q (t) = - \frac{8}{1 + \cos (4 t)} = - \frac{4}{\cos^{2} (2 t)} .$

En adaptant les calculs qui précèdent, on obtient une solution $u$ en prenant

$u^{'} = u z avec z = \frac{2}{\cos (2 t)}$

et l’on parvient à

$u (t) = \sqrt{\frac{1 - \sin (2 t)}{1 + \sin (2 t)}} = \frac{1 - \sin (2 t)}{\cos (2 t)} .$

La fonction inverse est aussi solution et l’on peut exprimer la solution générale de cette équation différentielle linéaire d’ordre 2

$x (t) = \frac{λ (1 - \sin (2 t)) + μ (1 + \sin (2 t))}{\cos (2 t)} .$

	$\| a_{n + 2} \|$	$\leq 3 \| a_{n + 1} \| + 3 \| a_{n} \| + \| a_{n - 1} \|$
		$\leq 3 \cdot 4^{n + 1} + 3 \cdot 4^{n} + 4^{n - 1}$
		$\leq 3 \cdot 4^{n + 1} + 3 \cdot 4^{n} + 4^{n} = 4^{n + 2}$

	$\int_{0}^{x} \frac{(x - t) t}{{(1 - t)}^{3}} d t$	$= \int_{0}^{x} - \frac{d t}{1 - t} + (2 - x) \int_{0}^{x} \frac{d t}{{(1 - t)}^{2}} + (x - 1) \int_{0}^{x} \frac{d t}{{(1 - t)}^{3}}$
		$= \ln (1 - x) + \frac{(2 - x) x}{1 - x} + \frac{(x^{2} - 2 x)}{2 (1 - x)}$
		$= \ln (1 - x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{2 x - x^{2}}{1 - x}$

Étude théorique d'équation d'ordre 2