• (a)

  $y(x)=\left(C+{\sin }^2(x)\right){\mathrm{e}}^x$

• (b)

  $y(x)=(x^2+C){\mathrm{e}}^{-x^2}$

• (c)

  $y(x)=C\cos (x)-2{\cos }^2(x)$

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
Solution homogène: $y_0(x)=C\sqrt{x^2-1}$.
Par variation de la constante, solution particulière $y_1(x)=2(x^2-1)$.
Solution générale: $y(x)=C\sqrt{x^2-1}+2(x^2-1)$.

C’est une équation différentielle linéaire de solution générale homogène

L’application de la méthode de la variation de la constante amène à déterminer

Au final, on obtient la solution générale

• (a)

  Solution de l’équation homogène sur $ℝ$: $y(x)=C{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}{(x+1)}^2}$ avec $C\in ℝ$.
  Solution particulière sur $ℝ$: $y_0(x)=-1$.
  Solution générale sur $ℝ$

  $$y(x)=C{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}{(x+1)}^2}-1\text{ avec }C\in ℝ\text{.}$$

  On aura $y(0)=1$ si, et seulement si, $C=2/\sqrt{\mathrm{e}}$.

• (b)

  Solution de l’équation homogène sur $ℝ$: $y(x)=C\sqrt{x^2+1}{\mathrm{e}}^{\arctan (x)}$ avec $C\in ℝ$
  Solution particulière sur $ℝ$: $y_0(x)=x-1$ après recherche de solution de la forme $ax+b$.
  Solution générale sur $ℝ$

  $$y(x)=C\sqrt{x^2+1}{\mathrm{e}}^{\arctan (x)}+x-1\text{ avec }c\in ℝ\text{.}$$

  On aura $y(0)=-1$ si, et seulement si, $C=0$.