Exercice 1 376 Correction

Résoudre les équations différentielles suivantes:

(a)

$y^{'} - y = \sin (2 x) e^{x}$
(b)

$y^{'} + 2 x y = 2 x e^{- x^{2}}$
(c)

$y^{'} + y \tan (x) = \sin (2 x)$ sur $] - π / 2; π / 2 [$

Solution

(a)

$y (x) = (C + \sin^{2} (x)) e^{x}$
(b)

$y (x) = (x^{2} + C) e^{- x^{2}}$
(c)

$y (x) = C \cos (x) - 2 \cos^{2} (x)$

Exercice 2 382 Correction

Déterminer les fonctions réelles solutions sur $] 1; + \infty [$ de l’équation

y^{'} + \frac{x}{1 - x^{2}} y = 2 x .

Solution

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre, l’ensemble des solutions est une droite affine.

L’équation homogène associée s’exprime

y^{'} = \frac{x}{x^{2} - 1} y .

Puisque

\int \frac{x}{x^{2} - 1} d x = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} - 1 |) = \frac{1}{2} \ln (x^{2} - 1)

la solution générale homogène s’exprime

y_{h} (x) = λ \sqrt{x^{2} - 1} avec λ \in ℝ .

On recherche une solution particulière $y_{p}$ par la méthode de la variation de la constante. On écrit $y_{p} (x) = λ (x) \sqrt{x^{2} - 1}$ avec $λ$ une fonction dérivable sur $] 1; + \infty [$ . Après substitution dans l’équation, on obtient la condition

λ^{'} (x) \sqrt{x^{2} - 1} = 2 x .

Prendre $λ (x) = 2 \sqrt{x^{2} - 1}$ convient et conduit à la solution particulière

y_{p} (x) = 2 (x^{2} - 1) .

On peut alors exprimer la solution générale:

y (x) = λ \sqrt{x^{2} - 1} + 2 (x^{2} - 1) avec λ \in ℝ .

Exercice 3 3782 CCINP (MP)Correction

Résoudre sur $] - π / 2; π / 2 [$

y^{'} (x) - \tan (x) y + {(\cos (x))}^{2} = 0 .

Solution

C’est une équation différentielle linéaire de solution générale homogène

y (x) = \frac{λ}{\cos (x)} .

L’application de la méthode de la variation de la constante amène à déterminer

\int \cos^{3} (x) d x = \int \cos (x) d x - \int \cos (x) \sin^{2} (x) d x = \sin (x) - \frac{1}{3} \sin^{3} (x) .

Au final, on obtient la solution générale

y (x) = \frac{\frac{1}{3} \sin^{3} (x) - \sin (x) + λ}{\cos (x)} .

Exercice 4 377 Correction

Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants:

(a)

$y^{'} - (x + 1) (y + 1) = 0$ et $y (0) = 1$
(b)

$(1 + x^{2}) y^{'} - (x + 1) y = 2$ et $y (0) = - 1$ .

Solution

(a)

Solution de l’équation homogène sur $ℝ$ : $y (x) = C e^{\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2}}$ avec $C \in ℝ$ .
Solution particulière sur $ℝ$ : $y_{0} (x) = - 1$ .
Solution générale sur $ℝ$

$y (x) = C e^{\frac{1}{2} {(x + 1)}^{2}} - 1 avec C \in ℝ .$

On aura $y (0) = 1$ si, et seulement si, $C = 2 / \sqrt{e}$ .
(b)

Solution de l’équation homogène sur $ℝ$ : $y (x) = C \sqrt{x^{2} + 1} e^{\arctan (x)}$ avec $C \in ℝ$
Solution particulière sur $ℝ$ : $y_{0} (x) = x - 1$ après recherche de solution de la forme $a x + b$ .
Solution générale sur $ℝ$

$y (x) = C \sqrt{x^{2} + 1} e^{\arctan (x)} + x - 1 avec c \in ℝ .$

On aura $y (0) = - 1$ si, et seulement si, $C = 0$ .

Résolution d'équation scalaire d'ordre 1