[>] Étude théorique d'équation d'ordre 1

 
Exercice 1  376  Correction  

Résoudre les équations différentielles suivantes:

  • (a)

    y-y=sin(2x)ex

  • (b)

    y+2xy=2xe-x2

  • (c)

    y+ytan(x)=sin(2x) sur ]-π/2;π/2[

Solution

  • (a)

    y(x)=(C+sin2(x))ex

  • (b)

    y(x)=(x2+C)e-x2

  • (c)

    y(x)=Ccos(x)-2cos2(x)

 
Exercice 2  382    Correction  

Résoudre sur ]1;+[ l’équation différentielle

y-xx2-1y=2x.

Solution

C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
Solution homogène: y0(x)=Cx2-1.
Par variation de la constante, solution particulière y1(x)=2(x2-1).
Solution générale: y(x)=Cx2-1+2(x2-1).

 
Exercice 3  3782    CCP (MP)Correction  

Résoudre sur ]-π/2;π/2[

y(x)-tan(x)y+(cos(x))2=0.

Solution

C’est une équation différentielle linéaire de solution générale homogène

y(x)=λcos(x).

L’application de la méthode de la variation de la constante amène à déterminer

cos3(x)dx=cos(x)dx-cos(x)sin2(x)dx=sin(x)-13sin3(x).

Au final, on obtient la solution générale

y(x)=13sin3(x)-sin(x)+λcos(x).
 
Exercice 4  377  Correction  

Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants:

  • (a)

    y-(x+1)(y+1)=0 et y(0)=1

  • (b)

    (1+x2)y-(x+1)y=2 et y(0)=-1.

Solution

  • (a)

    Solution de l’équation homogène sur : y(x)=Ce12(x+1)2 avec C.
    Solution particulière sur : y0(x)=-1.
    Solution générale sur

    y(x)=Ce12(x+1)2-1 avec C.

    On aura y(0)=1 si, et seulement si, C=2/e.

  • (b)

    Solution de l’équation homogène sur : y(x)=Cx2+1earctan(x) avec C
    Solution particulière sur : y0(x)=x-1 après recherche de solution de la forme ax+b.
    Solution générale sur

    y(x)=Cx2+1earctan(x)+x-1 avec c.

    On aura y(0)=-1 si, et seulement si, C=0.

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Édité le 08-11-2019

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