Soit $\lambda \in ℝ$. En résolvant sur $I$ l’équation différentielle

$$x{y}^{\prime }(x)=\lambda y(x)$$

on obtient que $x\mapsto x^{\lambda }$ est une fonction propre de l’application $y\mapsto x{y}^{\prime }$. Pour une telle fonction,

$$x{y}^{\prime }(x)=\lambda y(x)$$

ce qui donne en dérivant

$$x{y}^{\prime \prime }(x)+y^{\prime }(x)-\lambda y^{\prime }(x)=0$$

puis

$$x^2{y}^{\prime \prime }(x)+x{y}^{\prime }(x)-{\lambda }^{2}y(x)=0\text{.}$$

On en déduit que les fonctions $x\mapsto x^{\alpha }$ et $x\mapsto x^{-\alpha }$ sont solutions sur $I$ de l’équation différentielle $E_{\alpha }$. Or cette équation est une équation différentielle linéaire d’ordre $2$ homogène résolue en $y^{\prime \prime }$, son ensemble solution est donc un plan vectoriel. Puisque les deux précédentes fonctions sont des solutions indépendantes, elles constituent une base de ce plan vectoriel.

La solution générale de $E_{\alpha }$ est donc

$$y(x)=\lambda x^{\alpha }+\mu x^{-\alpha }\text{ avec }\lambda ,\mu \in ℝ\text{.}$$