[<] Résolution avec raccord d'équation d'ordre 1 [>] Recherche de solution développable en série entières

 
Exercice 1  4652  

Résoudre sur I=]0;+[ l’équation

(E):t2y′′+ty-y=0

en commençant par chercher des fonctions solutions de la forme y(t)=tα avec α.

 
Exercice 2  3240   Correction  

Soit α>0. Résoudre sur I=]0;+[ l’équation différentielle

Eα:x2y′′(x)+xy(x)-α2y(x)=0.

On pourra considérer les fonctions vecteurs propres de l’application yxy. .

Solution

Soit λ. En résolvant sur I l’équation différentielle

xy(x)=λy(x)

on obtient que xxλ est une fonction propre de l’application yxy. Pour une telle fonction,

xy(x)=λy(x)

ce qui donne en dérivant

xy′′(x)+y(x)-λy(x)=0

puis

x2y′′(x)+xy(x)-λ2y(x)=0.

On en déduit que les fonctions xxα et xx-α sont solutions sur I de l’équation différentielle Eα. Or cette équation est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 homogène résolue en y′′, son ensemble solution est donc un plan vectoriel. Puisque les deux précédentes fonctions sont des solutions indépendantes, elles constituent une base de ce plan vectoriel.

La solution générale de Eα est donc

y(x)=λxα+μx-α avec λ,μ.
 
Exercice 3  4653   

Résoudre sur l’équation

(E):(t2+2t+2)y′′-2(t+1)y+2y=0

en recherchant des fonctions polynômes solutions.

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Édité le 08-11-2019

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