[<] Étude théorique d'équation d'ordre 1 [>] Résolution d'équation scalaire d'ordre 2

 
Exercice 1  4660   

Résoudre sur l’équation différentielle

(E):ty-y=t2.
 
Exercice 2  419   Correction  

Résoudre sur l’équation

(E):x2y-y=0.

Solution

Sur +* ou -*,

Ey=1x2y.

Solution générale: y(x)=Ce-1/x.
Soit y une solution sur .
y est solution sur +* et -* donc il existe C+,C- telles que

x>0,y(x)=C+e-1/x et x<0,y(x)=C-e-1/x.

Continuité en 0:

y(x)x0+0 et y(x)x0-{± si C-00 sinon.

Nécessairement, y(0)=0 et C-=0.

Dérivabilité en 0:

y(x)=C+x2e-1/xx0+0 et y(x)x0-0 donc y(0)=0.

Équation différentielle en 0: 02y(0)-y(0)=0: ok.

Finalement,

C,y(x)={Ce-1/x si x>00 sinon.

Inversement, une telle fonction est solution.

 
Exercice 3  1369   Correction  

Soit α un paramètre réel. On désire résoudre sur l’équation différentielle

E:xy=αy.

On considère xy(x) une solution de E sur +* et -*.

  • (a)

    Donner l’expression de y(x) sur +* et sur -*.
    On notera C+ et C- les constantes réelles permettant d’exprimer y(x) sur +* et -*.

  • (b)

    À quelles conditions sur les constantes C+ et C-, est-il possible de prolonger y par continuité en 0?
    On distinguera trois cas, selon que α<0, α=0 ou α>0.

  • (c)

    Pour α>0, à quelles conditions sur les constantes C+ et C- la fonction prolongée y est-elle dérivable en 0?
    On distinguera trois cas, selon que 0<α<1, α=1 ou α>1.

  • (d)

    Résumer l’étude précédente en donnant la solution générale de E sur en fonction de α.

Solution

  • (a)

    E est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 de solution générale sur +* et -*:

    y(x)=C|x|α.

    Comme y est solution sur +* et -*, il existe C+,C- tels que

    x>0,y(x)=C+|x|αetx<0,y(x)=C-|x|α.
  • (b)

    Si α<0 alors

    y(x)x0+{± si C+00 sinon et y(x)x0-{± si C-00 sinon

    y peut être prolongée par continuité en 0 si, et seulement si, C+=C-=0 et alors y(0)=0.
    La solution correspondante est la fonction nulle qui est solution de E.
    Si α=0 alors

    y(x)x0+C+ et y(x)x0-C-

    y peut être prolongée par continuité en 0 si, et seulement si, C+=C- et alors y(0)=C+.
    La solution correspondante est une fonction constante qui inversement est solution de E.
    Si α>0 alors

    y(x)x0+0 et y(x)x0-0

    y peut être prolongée par continuité en 0 indépendamment de C+ et C- en posant y(0)=0.

  • (c)

    Si α]0;1[ alors

    y(x)x0+{± si C+00 sinon et y(x)x0-{± si C-00 sinon.

    En vertu du théorème du prolongement 𝒞1, la fonction y est dérivable en 0 si, et seulement si, C+=C-=0.
    La solution correspondante est la fonction nulle qui est solution de E.
    Si α=1 alors

    y(x)x0+C+ et y(x)x0--C-.

    La fonction y est dérivable en 0 si, et seulement si, C+=-C-.
    La fonction correspondante est alors xC+x sur qui est solution de E.
    Si α>1 alors

    y(x)x0+0 et y(x)x0-0.

    La fonction prolongée est dérivable en 0 indépendamment de C+ et C-.
    Cette fonction est alors solution de E sur car dérivable sur et vérifiant l’équation différentielle.

  • (d)

    Si α<0 ou 0<α<1: seule la fonction nulle est seule solution sur .
    Si α=0 alors les fonctions constantes sont les solutions de E sur .
    Si α=1 alors les fonctions linéaires(xCx) sont les solutions de E sur .
    Si α>1 alors les solutions de E sur sont les fonctions

    x{C+|x|α si x>00 si x=0C-|x|α si x<0

    avec C+,C-

 
Exercice 4  425   Correction  

Soit α. Résoudre sur l’équation différentielle

xy-αy=0

en discutant selon les valeurs de α.

Solution

Sur +* et -*: y(x)=C|x|α.
Soit y une solution sur .
On a y(x)=C+xα sur +* et y(x)=C-|x|α sur -*.
Si α<0, la limite en 0 implique C+=C-=0 donc y=0. Inversement, ok.
Si α=0, la limite en 0 donne C+=C- et l’on conclut que y est constante. Inversement, ok.
Si α>0, la limite en 0 donne y(0)=0.
On a y(x)=αC+xα-1 sur +* et y(x)=-αC-|x|α sur -*.
Si α<1, la limite en 0 implique C+=C-=0 donc y=0. Inversement, ok.
Si α=1, la limite en 0 implique C+=-C- et l’on conclut que y est linéaire. Inversement, ok.
Si α>1, la limite en 0 existe et est nulle ce qui permet d’affirmer y(0)=0
L’équation différentielle est bien vérifiée en 0.
Inversement, lorsque α>1, la fonction définie par y(x)={C+xα si x>00 si x=0C-(-x)α si x<0 est solution.

 
Exercice 5  105     CENTRALE (PC)Correction  

Soit f𝒞1(+,) et g une solution sur +* de l’équation différentielle

xy-y=f(x).
  • (a)

    Démontrer que g se prolonge par continuité en 0. Déterminer une condition nécessaire sur f(0) pour que la fonction ainsi prolongée soit dérivable en 0. Démontrer que cette condition n’est pas suffisante.

  • (b)

    f est supposée de classe 𝒞2 et la condition précédente est vérifiée.
    Démontrer que g est de classe 𝒞2.

Solution

  • (a)

    On résout l’équation différentielle linéaire étudiée et, par la méthode de variation de la constante, on obtient la solution générale suivante

    g(x)=λx+x1xf(t)t2dt.

    Par une intégration par parties, on peut écrire

    g(x)=λx-f(x)+xf(1)+x1xf(t)tdt.

    Quand x0+, on a

    |x1xf(t)tdt|f,[0;1]x|ln(x)|

    et l’on obtient

    g(x)-f(0).

    Quand x0+

    1x(g(x)-g(0))=λ-f(x)-f(0)x+f(1)+1xf(t)tdt.

    Le terme f(x)-f(0)x converge vers f(0).
    Si f(0)0 alors l’intégrale ]0;1]f(t)tdt diverge et donc le terme 1xf(t)tdt diverge. On en déduit qu’alors g n’est pas dérivable en 0.
    L’égalité f(0)=0 est une condition nécessaire à la dérivabilité de g en 0. Cette condition n’est pas suffisante. En effet, considérons une fonction de classe 𝒞1 telle que

    f(x)x0+1ln(x).

    L’intégrale ]0;1]f(t)tdt demeure divergente alors que f(0)=0.

  • (b)

    Puisque f est de classe 𝒞2 et vérifie f(0)=0 on peut écrire

    f(x)=f(0)+x2φ(x) pour tout x>0

    avec φ:]0;+[ de classe 𝒞2 et convergeant vers f′′(0)/2 en 0+.
    On a alors pour tout x>0

    g(x)=λx+xf(0)-f(0)+x1xφ(t)dt

    g est de classe 𝒞3 sur ]0;+[ car φ y est de classe 𝒞2.
    On prolonge g par continuité en 0 en posant g(0)=-f(0)

    g(x)=λ+f(0)+xφ(x)+1xφ(t)dt.

    Quand x0+, g converge et donc g est de classe 𝒞1 sur [0;+[.

    g′′(x)=2φ(x)+xφ(x).

    Or

    φ(x)=f(x)x2-2f(x)-f(0)x3

    donc

    g′′(x)=f(x)x=f(x)-f(0)xx0+f′′(0).

    On en déduit que g est de classe 𝒞2 sur [0;+[

 
Exercice 6  420  Correction  

Résoudre sur les équations suivantes:

  • (a)

    xy-y=x

  • (b)

    xy+y-1=0

  • (c)

    xy-2y=x4

  • (d)

    x(1+x2)y-(x2-1)y+2x=0

Solution

  • (a)

    Solution générale sur +* ou -*:

    y(x)=xln(|x|)+Cx avec C.

    Pas de recollement possible en 0.

  • (b)

    Solution générale sur +* ou -*:

    y(x)=1+Cx avec C.

    Après recollement en 0, solution générale sur : y(x)=1.

  • (c)

    Solution générale sur +* ou -*:

    y(x)=12x4+Cx2 avec C.

    Après recollement en 0, solution générale sur :

    y(x)={C+x2+12x4 si x0C-x2+12x4 si x<0 avec C+,C-.
  • (d)

    Solution générale sur +* ou -*:

    y(x)=1x+Cx2+1x avec C.

    Via

    x2-1x(1+x2)=2x2-(1+x2)x(1+x2)=2x1+x2-1x.

    Après recollement en 0, solution générale sur : y(x)=-x.

 
Exercice 7  421  Correction  

Résoudre sur l’équation suivante

(ex-1)y+exy=1.

Solution

Le facteur de y s’annule ce qui oblige à résoudre séparément sur +* et +*. Au terme des calculs, la solution générale sur +* ou -* est

y(x)=λ+xex-1 avec λ.

Soit y une fonction solution sur +* et -*. Il existe λ+,λ- tels que

x>0,y(x)=λ++xex-1etx<0,y(x)=λ-+xex-1.

Pour que la fonction y puisse être prolongée par continuité en 0, il faut λ+=λ-=0 auquel cas

y(x)=xex-1 pour x0

et la fonction se prolonge par y(0)=1.

On vérifie que ce prolongement est de classe 𝒞 car inverse d’une fonction développable en série entière. De plus, l’identité (ex-1)y(x)=x donne par dérivation la vérification de l’équation différentielle sur .

Finalement, il existe une seule solution sur déterminée par

y(x)=xex-1pour x0ety(0)=1.
 
Exercice 8  3468  Correction  

Résoudre sur l’équation suivante

sh(x)y-ch(x)y=1.

Solution

Solution générale sur +* ou -*

y(x)=Csh(x)-ch(x).

Après recollement en 0, la solution générale sur

y(x)=Csh(x)-ch(x) avec C.
 
Exercice 9  4661   

Résoudre sur ]0;+[ l’équation

(E):tln(t)y+y=0.
 
Exercice 10  2889     MINES (MP)Correction  

Résoudre

xln(x)y-(3ln(x)+1)y=0.

Solution

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie sur ]0;+[.

Sur ]0;1[ ou ]1;+[,

3ln(x)+1xln(x)dx=3ln(x)+ln(|ln(x)|)+Cte.

et la solution générale de l’équation sur ]0;1[ ou ]1;+[ s’exprime

y(x)=λx3|ln(x)| avec λ.

Déterminons les solutions sur ]0;+[.

Soient y:]0;1[]1;+[ solution de l’équation sur ]0;1[ et sur ]1;+[. Il existe λ,μ vérifiant y(x)=λx3ln(x) sur ]0;1[ et y(x)=μx3ln(x) sur ]1;+[.

La continuité en 1 donne y(1)=0 sans conditions sur λ et μ. La dérivabilité en 1 donne λ=μ et alors y(x)=λx3ln(x) sur ]0;+[.

Inverseement, une telle fonction est bien solution.

 
Exercice 11  429   Correction  

Résoudre sur l’équation

y+y=max(x,0).

Solution

Nommons E l’équation étudiée.
Sur +,

Ey+y=x

de solution générale y(x)=Ce-x+x-1.
Sur -,

Ey+y=0

de solution générale y(x)=Ce-x.
Soit y solution de E sur .
Comme y est solution sur + et -, il existe C+,C- telle que

x0,y(x)=C+e-x+x-1 et x0,y(x)=C-e-x.

Définition en 0: y(0)=C+-1=C- donc C+=C-+1.
Dérivabilité en 0: y(x)x0+-C++1 et y(x)x0--C-
donc y(0)=-C++1=-C-.
Équation différentielle en 0: -C++1+C+-1=max(0,0): ok
Finalement, il existe C telle que

y(x)={Ce-x+x-1 si x0(C-1)e-x sinon.

Inversement: ok

 
Exercice 12  506     CENTRALE (PC)Correction  

Soit (E) l’équation différentielle

ln(x)y+yx=1.
  • (a)

    Résoudre (E) sur ]0;1[ et sur ]1;+[.

  • (b)

    Soit g la fonction définie sur ]-1;+[{0} par

    g(x)=ln(1+x)x.

    Montrer que g se prolonge sur ]-1;+[ en une fonction de classe 𝒞.

  • (c)

    Démontrer que (E) admet une solution de classe 𝒞 sur ]0;+[.

Solution

  • (a)

    (E) est une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Après résolution via variation de la constante, on obtient la solution générale

    y(x)=x+λln(x).
  • (b)

    Par opérations, la fonction g est de classe 𝒞 sur [1/2;+[.
    Pour x]-1;1[ on a le développement en série entière

    ln(1+x)=n=1+(-1)n-1nxn

    et si x0, on obtient

    g(x)=n=0+(-1)nn+1xn.

    Si l’on pose g(0)=1, la relation précédente reste valable pour x=0 et ainsi on a prolongé g en une fonction développable en série entière sur ]-1;1[.
    Ce prolongement est donc de classe 𝒞 sur ]-1;1[ puis sur ]-1;+[.

  • (c)

    La fonction g est à valeurs strictement positives et l’on peut donc introduire la fonction f définie sur ]0;+[ par

    f(x)=1g(x-1).

    La fonction f est de classe 𝒞 et sur ]0;1[ ou ]1;+[

    f(x)=x-1ln(x).

    Ainsi f est solution de (E) sur ]0;1[ et ]1;+[ et enfin on vérifie aisément que l’équation différentielle (E) est aussi vérifiée quand x=1.

 
Exercice 13  424   Correction  

Résoudre sur tout intervalle de l’équation différentielle

x(x2-1)y+2y=x2.

Solution

Soit I=]-;-1[,]-1;0[,]0;1[ ou ]1;+[.
Sur I, l’équation différentielle devient: y+2x(x2-1)y=xx2-1.
La solution générale sur I est x2(ln(|x|)+C)x2-1 avec C.
Après recollement en 1, 0 et -1 on conclut, pour tout intervalle I:
Si 1,0,-1I,y(x)=x2(ln(|x|)+C)x2-1 avec C
Si 1,-1I et 0I, y(x)={x2ln(|x|)+C+x2x2-1 si x>00 si x=0x2ln(|x|)+C-x2x2-1 si x<0 avec C+,C-.
Si 1I ou -1I, y(x)=x2ln(|x|)x2-1.

 
Exercice 14  422    Correction  

Résoudre sur les équations suivantes:

  • (a)

    ysin(x)-ycos(x)+1=0

  • (b)

    (sin(x))3y=2(cos(x))y

Solution

  • (a)

    Solution générale sur Ik=]kπ;(k+1)π[,k:

    y(x)=cos(x)+Csin(x) avec C.

    Après recollement en chaque kπ, solution générale sur :

    y(x)=cos(x)+Csin(x) avec C.
  • (b)

    Solution générale sur Ik=]kπ;(k+1)π[,k:

    y(x)=Ce1/sin2(x) avec C.

    Après recollement en chaque kπ, solution générale sur :

    y(x)={Cke1/sin2(x) si xIk0 si x=kπ avec (Ck).
 
Exercice 15  423   Correction  

Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants:

  • (a)

    (tan(x))y-y=0 et y(0)=0

  • (b)

    (tan(x))y-y=0 et y(0)=1.

Solution

  • (a)

    Soit I=]-π/2;π/2[ le plus grand intervalle contenant où l’équation différentielle a un sens.
    Posons I+=]0;π/2[ et I-=]-π/2;0[.
    Solution générale sur I+: y(x)=C+sin(x).
    Solution générale sur I-: y(x)=C-sin(x).
    Cherchons les solutions définies sur I.

    Analyse: Soit y une solution sur I, s’il en existe.
    y est a fortiori solution sur I+ et I-. Il existe donc C+,C- tels que y(x)=C+sin(x) sur I+ et y(x)=C-sin(x) sur I-.
    Comme y doit être continue en 0, limx0+y(x)=limx0-y(x)=y(0)=0. Pas d’informations sur C+ ni C-.
    Comme y doit être dérivable en 0, limx0+y(x)-y(0)x=C+=y(0)=limx0-y(x)-y(0)x=C-.
    Donc C+=C-.

    Finalement, y(x)=C+sin(x) sur I entier.

    Synthèse: y(x)=Csin(x) avec C est bien solution sur I.
    On aura y(0)=0C.sin(0)=0 ce qui est toujours vraie.
    Il y a ici une infinité de solutions au problème de Cauchy.

  • (b)

    On aura y(0)=1C.sin(0)=1 ce qui est impossible.
    Il n’y a ici aucune solution au problème de Cauchy.

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Édité le 08-11-2019

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