[<] Recherche de solution développable en série entières [>] Étude théorique d'équation d'ordre 2

 
Exercice 1  405  Correction  

Résoudre l’équation différentielle

y′′+4y+4y=e-2t1+t2.

Solution

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 de solution homogène: y(t)=(λt+μ)e-2t.
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme y(t)=λ(t)te-2t+μ(t)e-2t avec λ,μ fonctions dérivables.

{λ(t)te-2t+μ(t)e-2t=0λ(t)(1-2t)e-2t-2μ(t)e-2t=e-2t1+t2

donne

{λ(t)=11+t2μ(t)=-t1+t2.

Les fonctions λ(t)=arctan(t) et μ(t)=-12ln(1+t2) conviennent.
Finalement, la solution générale des l’équation étudiée est:

y(t)=tarctan(t)e-2t-12ln(1+t2)e-2t+(λt+μ)e-2t.
 
Exercice 2  4655  

Résoudre sur l’équation

(E):y′′-2y+y=et1+t2.
 
Exercice 3  406   Correction  

Résoudre l’équation différentielle

y′′+y=tan(t).

Solution

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 de solution homogène: y=λcos(t)+μsin(t).
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme y(t)=λ(t)cos(t)+μ(t)sin(t) avec λ,μ fonctions dérivables.

{λ(t)cos(t)+μ(t)sin(t)=0-λ(t)sin(t)+μ(t)cos(t)=tan(t),{λ(t)=-sin2(t)/cos(t)μ(t)=sin(t).

Les fonctions

λ(t)=cos2(t)-1cos(t)dt=sin(t)-12ln(1+sin(t)1-sin(t))

et

μ(t)=-cos(t)

conviennent car

1cos(t)dt=cos(t)1-sin2(t)dt=12ln(1+sin(t)1-sin(t)).

Finalement, la solution générale de l’équation étudiée est:

y(t)=-12cos(t)ln(1+sin(t)1-sin(t))+λcos(t)+μsin(t)

sur Ik=]-π2+kπ;π2+kπ[.

 
Exercice 4  407   Correction  

Résoudre l’équation différentielle

y′′+y=tan2(t).

Solution

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 de solution homogène: y=λcos(t)+μsin(t).
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme y(t)=λ(t)cos(t)+μ(t)sin(t) avec λ,μ fonctions dérivables.

{λ(t)cos(t)+μ(t)sin(t)=0-λ(t)sin(t)+μ(t)cos(t)=tan2(t),{λ(t)=-sin3(t)/cos2(t)μ(t)=sin2(t)/cos(t).

Les fonctions

λ(t)=-1cos(t)-cos(t)

et

μ(t)=1-cos2(t)cos(t)dt=12ln(1+sin(t)1-sin(t))-sin(t)

conviennent car

1cos(t)dt=cos(t)1-sin2(t)dt=12ln(1+sin(t)1-sin(t)).

Finalement, la solution générale de l’équation étudiée est:

y(t)=-2+12sin(t)ln(1+sin(t)1-sin(t))+λcos(t)+μsin(t)

sur Ik=]-π2+kπ;π2+kπ[.

 
Exercice 5  4659   

Résoudre sur des intervalles à préciser l’équation différentielle

y′′+y=1cos(x).
 
Exercice 6  2893     MINES (MP)Correction  

Résoudre sur ]0;π[

y′′+y=cot(x).

Solution

C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 de solution homogène: y=Acos(x)+Bsin(x).
Méthode de variation des constantes

{A(x)cos(x)+B(x)sin(x)=0-A(x)sin(x)+B(x)cos(x)=cot(x).

Après résolution et intégration

y(x)=-12sin(x)ln(1+cos(x)1-cos(x))+Acos(x)+Bsin(x).
 
Exercice 7  408   

Soit f: une fonction continue. Exprimer à l’aide d’une intégrale la solution de l’équation différentielle

(E):y′′+y=f(x)

vérifiant les conditions initiales y(0)=y(0)=0.

 
Exercice 8  2895     MINES (MP)Correction  

Soit f𝒞1(+,) monotone ayant une limite finie en +.
Montrer que les solutions de l’équation y′′+y=f sont bornées.

Solution

Par application de la méthode de variation des constantes, la solution générale de l’équation y′′+y=f est

y(x)=λcos(x)+μsin(x)+0xf(t)sin(x-t)dt.

Pour conclure, il suffit de justifier que x0xf(t)sin(x-t)dt est bornée.
Par intégration par parties,

0xf(t)sin(x-t)dt=f(x)-f(0)cos(x)-0xf(t)cos(x-t)dt.

Quitte à passer à l’opposé, on peut supposer f croissante et donc f(t)0.
Puisque -1cos(x-t)1,

f(0)-f(x)0xf(t)cos(x-t)dtf(x)-f(0)

puis

f(0)(1-cos(x))0xf(t)sin(x-t)dt2f(x)-f(0)(1+cos(x)).

La fonction f étant bornée (car convergente en +), il en est de même de x0xf(t)sin(x-t)dt.

 
Exercice 9  2896     MINES (MP)Correction  

Soit f𝒞(,) 2π-périodique.

À quelle condition existe-t-il une fonction y𝒞(,) 2π-périodique et solution de l’équation

y′′+y=f?

Solution

Les solutions de l’équation différentielle y′′+y=f sont de classe 𝒞 car f l’est.
Par application de la méthode de variation des constantes, la solution générale de l’équation y′′+y=f est

y(x)=λcos(x)+μsin(x)+0xf(t)sin(x-t)dt.

Cette solution est 2π-périodique si, et seulement si,

0xf(t)sin(x-t)dt=0x+2πf(t)sin(x-t)dt

c’est-à-dire xx+2πf(t)sin(x-t)dt=0 pour tout x.
En développant le sinus et en exploitant la liberté de la famille (sin,cos) ainsi que la 2π-périodicité de f, cela équivaut à la condition

02πf(t)sin(t)dt=02πf(t)cos(t)dt=0.
 
Exercice 10  2455     CENTRALE (MP)Correction  
  • (a)

    Résoudre l’équation différentielle

    y′′+y=cos(nt).
  • (b)

    Soit an une série absolument convergente.
    Résoudre l’équation différentielle

    y′′+y=n=0+ancos(nt).

Solution

  • (a)

    La solution générale de l’équation homogène associée est

    y(t)=λcos(t)+μsin(t).

    On peut avoir l’intuition de trouver une solution particulière de la forme y(t)=αcos(nt) et, en effet on obtient,

    y(t)=-1n2-1cos(nt)

    solution particulière lorsque n1. La solution générale est alors

    y(t)=λcos(t)+μsin(t)+11-n2cos(nt).

    Quand n=1, on applique la méthode de variation des constantes. On obtient une solution particulière en résolvant

    {λ(t)cos(t)+μ(t)sin(t)=0-λ(t)sin(t)+μ(t)cos(t)=cos(nt).

    Par les formules de Cramer, on obtient

    λ(t)=-sin(t)cos(t) et μ(t)=cos2(t).

    Alors

    λ(t)=-12sin2(t) et μ(t)=t2+sin(t)cos(t)2

    conviennent et l’on obtient la solution particulière

    y(t)=t2sin(t)

    puis la solution générale

    y(t)=λcos(t)+μsin(t)+12tsin(t).
  • (b)

    Soit

    f(t)=a0+a12tsin(t)+n=2+an1-n2cos(nt).

    Sans difficultés, on peut dériver deux fois sous le signe somme car il y a convergence normale de la série des dérivées secondes et convergences simples intermédiaires. On peut alors conclure que f est de classe 𝒞2 et solution de l’équation différentielle étudiée. La solution générale de celle-ci est alors

    y(t)=λcos(t)+μsin(t)+f(t).
 
Exercice 11  409   

Soit f: une fonction de classe 𝒞2 telle que

f+f′′0.

Montrer

f(x)+f(x+π)0pour tout x.
 
Exercice 12  2894      MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Résoudre sur +* par variation des constantes l’équation différentielle

    y′′+y=1/x.
  • (b)

    En déduire une expression de

    f(x)=0+e-txdt1+t2

    valable pour x>0.

  • (c)

    Calculer

    0+sin(t)tdt.

Solution

  • (a)

    C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 à coefficients constants de solution homogène

    y=Acos(x)+Bsin(x).

    La méthode de variation des constantes propose une solution particulière de la forme

    y(x)=A(x)cos(x)+B(x)sin(x)

    avec A et B fonctions dérivables solutions du système

    {A(x)cos(x)+B(x)sin(x)=0-A(x)sin(x)+B(x)cos(x)=1/x.

    En faisant cos(x)×(1)-sin(x)×(2), on détermine A(x) et B(x) s’obtient de façon analogue

    {A(x)=-sin(x)/xB(x)=cos(x)/x.

    On peut alors proposer

    A(x)=x+sin(t)tdt et B(x)=-x+cos(t)tdt

    où les intégrales introduites ont le bon goût de converger…
    La solution générale de l’équation différentielle est alors

    y(x)=Acos(x)+Bsin(x)+cos(x)x+sin(t)tdt-sin(x)x+cos(t)tdt.
  • (b)

    Posons u(x,t)=e-tx/(1+t2) définie sur +×[0;+[.
    xu(x,t) est continue sur + pour chaque t[0;+[
    tu(x,t) est continue par morceaux sur ]0;+[ pour chaque x+ et

    |u(x,t)|11+t2=φ(t)

    avec φ intégrable sur [0;+[. Par domination f est définie et continue sur [0;+[.
    De plus, xu(x,t) est deux fois dérivable sur + pour chaque t[0;+[ avec

    ux(x,t)=-te-tx1+t2 et 2ux2(x,t)=t2e-tx1+t2.

    La dérivée partielle ux est continue par morceaux et intégrable sur [0;+[.
    La dérivée partielle 2ux2 est continue en x et continue par morceaux en t.
    Soit [a;b]]0;+[. On a

    (x,t)[a;b]×[0;+[,|2ux2(x,t)|t2e-at1+t2e-at=φ(t)

    avec φ intégrable. Par domination sur tout segment, f est de classe 𝒞2 sur ]0;+[ et

    f′′(x)=0+e-txt21+t2dt.

    On vérifie alors

    f′′(x)+f(x)=0+e-txdt=1x

    de sorte que f est solution sur +* de l’équation différentielle

    y′′+y=1x.

    Ainsi, il existe A,B tels que

    f(x)=Acos(x)+Bsin(x)+cos(x)x+sin(t)tdt-sin(x)x+cos(t)tdt.

    On observe

    0f(x)0+e-txdt=1x

    donc par encadrement f+0 ce qui entraîne A=B=0.
    Ainsi,

    x>0,f(x)=cos(x)x+sin(t)tdt-sin(x)x+cos(t)tdt.

    Séparément, on calcule f(0)

    f(0)=0+dt1+t2=[arctan(t)]0+=π2.
  • (c)

    Par convergence de l’intégrale, quand x0+

    x+sin(t)tdt0+sin(t)tdt.

    De plus,

    x+cos(t)tdt=1+cos(t)tdt+x1cos(t)tdt=Cte+x1cos(t)tdt

    avec

    |x1cos(t)tdt|x1dtt=-ln(x)

    donc

    sin(x)x+cos(t)tdt0.

    Ainsi, en passant à la limite en 0 l’expression précédente de f(x), on obtient

    0+sin(t)tdt=f(0)=π2.
 
Exercice 13  4666    

Soient f: une fonction continue et bornée et α+*.

Montrer qu’il existe une unique solution bornée à l’équation différentielle

(E):y′′-α2y+f(x)=0.

[<] Recherche de solution développable en série entières [>] Étude théorique d'équation d'ordre 2



Édité le 08-11-2019

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