[<] Recherche de solution développable en série entières [>] Étude théorique d'équation d'ordre 2
Déterminer les fonctions réelles solutions sur de l’équation
Solution
est une équation différentielle linéaire d’ordre dont la solution générale homogène s’exprime
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme avec fonctions dérivables. On résout le système
ce quidonne
Les fonctions et conviennent et cela conduit à la solution particulière
Finalement, la solution générale de l’équation est:
Résoudre sur l’équation
Résoudre sur l’équation différentielle
Solution
est une équation différentielle linéaire d’ordre à coefficients constants de solution homogène:
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme avec fonctions dérivables.
Après résolution,
Les fonctions
et
Finalement, la solution générale de l’équation étudiée s’exprime
Résoudre sur l’équation différentielle
Solution
est une équation différentielle linéaire d’ordre à coefficients constants de solution homogène:
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de la forme avec fonctions dérivables.
Après résolution,
Les fonctions
et
conviennent car
Finalement, la solution générale de l’équation étudiée s’exprime
Résoudre sur des intervalles à préciser l’équation différentielle
Résoudre sur
Solution
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 de solution homogène: .
Méthode de variation des constantes
Après résolution et intégration
Soit une fonction continue. Exprimer à l’aide d’une intégrale la solution de l’équation différentielle
vérifiant les conditions initiales .
Soit continue et -périodique.
Résoudre sur l’équation différentielle
On exprimera la solution générale à l’aide d’une intégrale s’exprimant en fonction de .
À quelle condition les solutions de sont-elles -périodiques?
Solution
est une équation différentielle linéaire d’ordre à coefficients constants d’équation caractéristique . La solution générale homogène s’exprime
Par application de la méthode de variation des constantes, la solution générale de l’équation est
Cette solution est -périodique si, et seulement si,
c’est-à-dire
En développant le sinus et en employant la liberté de la famille ainsi que la -périodicité de , cela équivaut à la condition
Soit monotone ayant une limite finie en .
Montrer que les solutions de l’équation sont bornées.
Solution
Par application de la méthode de variation des constantes, la solution générale de l’équation est
Pour conclure, il suffit de justifier que est bornée.
Par intégration par parties,
Quitte à passer à l’opposé, on peut supposer croissante et donc .
Puisque ,
puis
La fonction étant bornée (car convergente en ), il en est de même de .
Résoudre l’équation différentielle
Soit une série absolument convergente.
Résoudre l’équation différentielle
Solution
La solution générale de l’équation homogène associée est
On peut avoir l’intuition de trouver une solution particulière de la forme et, en effet on obtient,
solution particulière lorsque . La solution générale est alors
Quand , on applique la méthode de variation des constantes. On obtient une solution particulière en résolvant
Par les formules de Cramer, on obtient
Alors
conviennent et l’on obtient la solution particulière
puis la solution générale
Soit
Sans difficultés, on peut dériver deux fois sous le signe somme car il y a convergence normale de la série des dérivées secondes et convergences simples intermédiaires. On peut alors conclure que est de classe et solution de l’équation différentielle étudiée. La solution générale de celle-ci est alors
Soit une fonction de classe telle que
Montrer
Résoudre sur par variation des constantes l’équation différentielle
En déduire une expression de
valable pour .
Calculer
Solution
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 à coefficients constants de solution homogène
La méthode de variation des constantes propose une solution particulière de la forme
avec et fonctions dérivables solutions du système
En faisant , on détermine et s’obtient de façon analogue
On peut alors proposer
où les intégrales introduites ont le bon goût de converger…
La solution générale de l’équation différentielle est alors
Posons définie sur .
est continue sur pour chaque
est continue par morceaux sur pour chaque et
avec intégrable sur . Par domination est définie et continue sur .
De plus, est deux fois dérivable sur pour chaque avec
La dérivée partielle est continue par morceaux et intégrable sur .
La dérivée partielle est continue en et continue par morceaux en .
Soit . On a
avec intégrable. Par domination sur tout segment, est de classe sur et
On vérifie alors
de sorte que est solution sur de l’équation différentielle
Ainsi, il existe tels que
On observe
donc par encadrement ce qui entraîne .
Ainsi,
Séparément, on calcule
Par convergence de l’intégrale, quand
De plus,
avec
donc
Ainsi, en passant à la limite en 0 l’expression précédente de , on obtient
Soient une fonction continue et bornée et .
Montrer qu’il existe une unique solution bornée à l’équation différentielle
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Édité le 22-03-2024
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