[<] Résolution par changement de fonction inconnue [>] Résolution par changement de variable

 
Exercice 1  397  Correction  

On étudie sur +* l’équation

t3y′′+ty-y=0.
  • (a)

    Déterminer une solution polynomiale non nulle φ de cette équation.

  • (b)

    Résoudre l’équation en procédant au changement de fonction inconnue y(t)=φ(t)z(t).

Solution

  • (a)

    φ(t)=t est évidemment solution particulière.

  • (b)

    On pose le y(t)=tz(t) et l’on parvient à l’équation

    t4z′′+t2(2t+1)z=0.

    On résout cette équation en la fonction inconnue z puis on intègre pour obtenir

    z(t)=λe1/t+μ.

    Finalement, la solution générale est

    y(t)=λte1/t+μt.
 
Exercice 2  398  Correction  

On étudie sur +* l’équation différentielle

t2y′′+ty-y=1.
  • (a)

    Déterminer une solution polynomiale non nulle φ de l’équation homogène.

  • (b)

    Résoudre l’équation en procédant au changement de fonction inconnue y(t)=φ(t)z(t).

Solution

  • (a)

    φ(t)=t est solution remarquable.

  • (b)

    En posant y(t)=tz(t) et l’on parvient à l’équation

    t3z′′+3t2z=1.

    On résout cette équation en la fonction inconnue z

    z(t)=λt3+1t2 avec λ

    et l’on obtient

    z(t)=λt2+μ-1t avec λ,μ.

    Finalement, la solution générale est

    y(t)=λt+μt-1 avec λ,μ.
 
Exercice 3  395   Correction  

On étudie l’équation différentielle

(t2+1)y′′-2y=t.
  • (a)

    Déterminer une solution polynomiale non nulle φ de l’équation homogène associée.

  • (b)

    Résoudre l’équation homogène en procédant au changement de fonction inconnue y(t)=φ(t)z(t).

  • (c)

    Exprimer la solution générale de l’équation étudiée.

Solution

  • (a)

    L’équation homogène associée est

    (t2+1)y′′-2y=0.

    La fonction φ(t)=t2+1 en est solution sur .

  • (b)

    Procédons au changement de fonction inconnue y(t)=φ(t)z(t).
    On obtient

    (t2+1)z′′(t)+4tz(t)=0

    qui donne

    z(t)=λ(t2+1)2.

    Sachant

    dt(t2+1)2=12arctan(t)+12tt2+1

    on obtient

    z(t)=λ2(arctan(t)+tt2+1)+μ

    ce qui donne la solution homogène

    y(t)=λ2((t2+1)arctan(t)+t)+μ(t2+1)

    avec λ,μ.

  • (c)

    y(t)=-t/2 est solution particulière donc la solution générale est

    y(t)=λ(t2+1)+μ((t2+1)arctan(t)+t)-12t

    avec λ,μ.

 
Exercice 4  396   Correction  

On étudie l’équation

(1+t2)2y′′(t)-2t(1+t2)y(t)+2(t2-1)y(t)=(1+t2).
  • (a)

    Déterminer une solution polynomiale non nulle φ de l’équation homogène.

  • (b)

    Résoudre l’équation en procédant au changement de fonction inconnue y(t)=φ(t)z(t).

Solution

  • (a)

    Si y est un polynôme unitaire de degré n solution de l’équation homogène, le coefficient de tn+2 dans le premier membre de l’équation est

    n(n-1)-2n+2=n2-3n+2=(n-2)(n-1)

    et donc nécessairement n2.
    Pour φ(t)=at2+bt+c, le premier membre de l’équation devient:

    2a(1+t2)2-2t(2at+b)(1+t2)+2(t2-1)(at2+bt+c)=(2c-2a)t2-4bt+(2a-2c)

    d’où a=c et b=0.

    Finalement, φ(t)=t2+1 est solution particulière.

  • (b)

    Par le changement de fonction inconnue y(t)=φ(t)z(t), on parvient à l’équation

    (1+t2)3z′′(t)+2t(1+t2)2z(t)=(1+t2).

    Après résolution de cette équation d’ordre 1 en l’inconnue z, on obtient

    z(t)=λ+arctan(t)(1+t2)

    puis

    z(t)=μ+λarctan(t)+12(arctan(t))2.

    Finalement, la solution générale de l’équation étudiée est

    y(t)=λ(1+t2)arctan(t)+μ(1+t2)+12(1+t2)(arctan(t))2.
 
Exercice 5  400   

On étudie sur ]0;1[ l’équation

(E):x(1-x)y′′+(1-3x)y-y=0.
  • (a)

    Rechercher une solution non nulle φ développable en série entière.

  • (b)

    Résoudre l’équation par le changement de fonction inconnue y(x)=φ(x)z(x).

 
Exercice 6  1319   Correction  

On étudie l’équation différentielle suivante sur ]0;+[

(E):xy′′+3y-4x3y=0.
  • (a)

    Chercher une solution φ développable en série entière au voisinage de 0 et non nulle.

  • (b)

    Terminer de résoudre l’équation par le changement de fonction inconnue y(x)=φ(x)z(x)

Solution

  • (a)

    Soit anxn une série entière de rayon de convergence R>0 et de somme y1 sur ]-R;R[.
    Pour tout x]-R;R[, on a

    xy′′(x)+3y(x)-4x3y(x)=3a1+8a2x+21a3x2+n=3+((n+1)(n+3)an+1-4an-3)xn.

    Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on peut affirmer que y est solution de E sur ]-R;R[ si, et seulement si,

    {a1=a2=a3=0n3,an+1=4(n+1)(n+3)an-3.

    Posons a0=1 et pour tout p*, a4p=12p(2p+1)a4(p-1), les autres an nuls.
    Ainsi,

    a4p=1(2p+1)!,a4p+1=a4p+2=a4p+3=0.

    La série entière correspondante est de rayon de convergence R=+ et sa somme

    φ:xn=0+x4p(2p+1)!

    est solution sur de l’équation différentielle E en vertu des calculs qui précèdent.
    Pour x0,

    φ(x)=1x2n=0+(x2)2p+1(2p+1)!=sh(x2)x2.
  • (b)

    On pose y(x)=φ(x)z(x) et l’équation (E) devient

    z′′(x)=(1x-4xch(x2)sh(x2))z(x).

    Après résolution en la fonction inconnue z on obtient

    z(x)=λxsh2(x2)

    puis

    z(x)=-λ2ch(x2)sh(x2)+μ avec λ,μ.

    La solution générale de l’équation est alors

    y(x)=λsh(x2)+μch(x2)x2 avec λ,μ.
 
Exercice 7  3504   Correction  

On étudie sur ]0;1[ l’équation différentielle suivante

x2(1-x)y′′-x(1+x)y+y=0.
  • (a)

    Rechercher une solution développable en série entière non nulle φ.

  • (b)

    Achever de résoudre cette équation par le changement de fonction y(x)=φ(x)z(x).

Solution

  • (a)

    Soit anxn une série entière de rayon de convergence R>0 et de somme y sur ]-R;R[
    Pour tout x]-R;R[, on a

    x2(1-x)y′′-x(1+x)y+y=a0+n=1+n2(an+1-an)xn.

    La fonction y est donc solution de l’équation différentielle étudiée si, et seulement si,

    a0=0 et n*,an+1=an.

    Inversement, en considérant la fonction φ:xx1-x, on obtient une fonction développable en série entière avec un rayon de convergence R=1 et les calculs qui précèdent assure que y est solution sur ]-1;1[ de l’équation étudiée.

  • (b)

    On pose

    y(x)=xz(x)1-x.

    Après calculs, la fonction y est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

    xz′′(x)+z(x)=0.

    Après résolution de cette équation en l’inconnue z, on obtient

    z(x)=λx avec λ

    puis en intégrant

    z(x)=λln(x)+μ avec λ,μ.

    Finalement, la solution générale de l’équation étudiée est

    y(x)=(λln(x)+μ)x1-x.

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Édité le 08-11-2019

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