[<] Résolution par changement de fonction inconnue [>] Résolution par changement de variable
On étudie sur l’équation
Déterminer une solution polynomiale non nulle de cette équation.
Résoudre l’équation en procédant au changement de fonction inconnue .
Solution
est évidemment solution particulière.
On pose le et l’on parvient à l’équation
On résout cette équation en la fonction inconnue puis on intègre pour obtenir
Finalement, la solution générale est
On étudie sur l’équation différentielle
Déterminer une solution polynomiale non nulle de l’équation homogène.
Résoudre l’équation en procédant au changement de fonction inconnue .
Solution
est solution remarquable.
En posant et l’on parvient à l’équation
On résout cette équation en la fonction inconnue
et l’on obtient
Finalement, la solution générale est
On étudie l’équation différentielle
Déterminer une solution polynomiale non nulle de l’équation homogène associée.
Résoudre l’équation homogène en procédant au changement de fonction inconnue .
Exprimer la solution générale de l’équation étudiée.
Solution
L’équation homogène associée est
La fonction en est solution sur .
Procédons au changement de fonction inconnue .
On obtient
qui donne
Sachant
on obtient
ce qui donne la solution homogène
avec .
est solution particulière donc la solution générale est
avec .
On étudie l’équation
Déterminer une solution polynomiale non nulle de l’équation homogène.
Résoudre l’équation en procédant au changement de fonction inconnue .
Solution
Si est un polynôme unitaire de degré solution de l’équation homogène, le coefficient de dans le premier membre de l’équation est
et donc nécessairement .
Pour , le premier membre de l’équation devient:
d’où et .
Finalement, est solution particulière.
Par le changement de fonction inconnue , on parvient à l’équation
Après résolution de cette équation d’ordre 1 en l’inconnue , on obtient
puis
Finalement, la solution générale de l’équation étudiée est
On étudie l’équation différentielle
Rechercher une fonction solution de non identiquement nulle et développable en série entière sur un voisinage de .
Résoudre l’équation sur à l’aide du changement de fonction inconnue .
On étudie l’équation différentielle suivante sur
Chercher une solution développable en série entière au voisinage de 0 et non nulle.
Terminer de résoudre l’équation par le changement de fonction inconnue
Solution
Soit une série entière de rayon de convergence et de somme sur .
Pour tout , on a
Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on peut affirmer que est solution de sur si, et seulement si,
Posons et pour tout , , les autres nuls.
Ainsi,
La série entière correspondante est de rayon de convergence et sa somme
est solution sur de l’équation différentielle en vertu des calculs qui précèdent.
Pour ,
On pose et l’équation devient
Après résolution en la fonction inconnue on obtient
puis
La solution générale de l’équation est alors
On étudie sur l’équation différentielle suivante
Rechercher une solution développable en série entière non nulle .
Achever de résoudre cette équation par le changement de fonction .
Solution
Soit une série entière de rayon de convergence et de somme sur
Pour tout , on a
La fonction est donc solution de l’équation différentielle étudiée si, et seulement si,
Inversement, en considérant la fonction , on obtient une fonction développable en série entière avec un rayon de convergence et les calculs qui précèdent assure que est solution sur de l’équation étudiée.
On pose
Après calculs, la fonction est solution de l’équation étudiée si, et seulement si,
Après résolution de cette équation en l’inconnue , on obtient
puis en intégrant
Finalement, la solution générale de l’équation étudiée est
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Édité le 29-08-2023
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