[<] Résolution d'équation scalaire d'ordre 2 [>] Méthode de variation des constantes

 
Exercice 1  4654   

Résoudre sur I=]-1;1[ l’équation

(E):(1-t2)y′′-4ty-2y=0

en recherchant des fonctions développables en série entière solutions.

 
Exercice 2  404   Correction  
  • (a)

    Résoudre sur l’équation

    (1+t2)y′′(t)+4ty(t)+2y(t)=0

    en recherchant les séries entières solutions.

  • (b)

    Résoudre ensuite

    (1+t2)y′′(t)+4ty(t)+2y(t)=11+t2.

Solution

  • (a)

    L’équation étudiée équivaut à une équation différentielle linéaire d’ordre 2 résolue en y′′.

    Soit y la somme d’une série entière antn de rayon de convergence R>0.

    Sur ]-R;R[, la fonction y est de classe 𝒞 avec

    y(t)=n=0+antn,y(t)=n=0+nantn-1 et y′′(t)=n=0+n(n-1)antn-2

    Pour t]-R;R[,

    (1+t2)y′′(t)+4ty(t)+2y(t)=n=0+(n+2)(n+1)(an+2+an)tn.

    Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, la fonction y est solution de l’équation étudiée sur ]-R;R[ si, et seulement si,

    n,an+2=-an

    ce qui donne

    p,a2p=(-1)pa0 et a2p+1=(-1)pa1

    On obtient alors

    y(t)=a0p=0+(-1)pt2p+a1p=0+(-1)pt2p+1=a0+a1t1+t2.

    Puisque la série entière écrite est de rayon de convergence R1 (généralement R=1 mais R=+ si a0=a1=0), on peut assurer que les fonctions proposées sont solutions sur ]-1;1[ à l’équation étudiée. Cela fournit un système fondamental de solutions sur ]-1;1[ qu’il suffit de réinjecter dans l’équation pour affirmer que ces fonctions forment aussi un système fondamental de solution sur .

    Puisque l’espace des solutions de cette équation homogène est de dimension 2, on peut conclure que la solution générale est

    y(t)=λ+μt1+t2 avec (λ,μ)2.
  • (b)

    La méthode de variation des constantes nous conduit rechercher une solution particulière de la forme

    y(t)=λ(t)+μ(t)t1+t2

    avec λ et μ fonctions dérivables solution du système

    {λ(t)1+t2+μ(t)t1+t2=0-2tλ(t)(1+t2)2+μ(t)(1-t2)(1+t2)2=1(1+t2)2.

    On obtient

    λ(t)=-t1+t2etμ(t)=11+t2

    puis

    y(t)=tarctan(t)-ln(1+t2)1+t2.

    Cette solution particulière permet ensuite d’exprimer la solution générale.

 
Exercice 3  401   Correction  

Résoudre sur ]-1;1[ l’équation

4(1-t2)y′′(t)-4ty(t)+y(t)=0

en recherchant les fonctions développables en série entière.

Solution

L’équation différentielle étudiée équivaut sur ]-1;1[ a une équation différentielle linéaire d’ordre 2 résolue en y′′.

Soit y la somme de la série entière antn de rayon de convergence R supposé >0.

Pour tout t]-R;R[,

4(1-t2)y′′(t)-4ty(t)+y(t)=n=0+(4(n+2)(n+1)an+2-(4n2-1)an)tn

La fonction y est solution de l’équation étudiée sur ]-R;R[ si, et seulement si,

n,an+2=(n-1/2)(n+1/2)(n+1)(n+2)an

Après résolution, on obtient

a2p=(1/22p)a0eta2p+1=(1/22p+1)a1.

Or

1+t=n=0+(1/2n)tn et 1-t=n=0+(-1)n(1/2n)tn

avec un rayon de convergence égal à 1.

En prenant a0=a1=1, on obtient la fonction t1+t.

En prenant a0=1 et a1=-1, on obtient t1-t.

Ces deux fonctions sont solutions de l’équation étudiée (car R=1) et, étant indépendantes, elles constituent un système fondamental de solutions.

La solution générale s’exprime

y(t)=λ1+t+μ1-t avec λ,μ.
 
Exercice 4  5285     St Cyr (MP)Correction  

Déterminer les fonctions développables en série entière solutions de l’équation

y′′+xy+2y=0.

Solution

Soit y la somme d’une série entière anxn de rayon de convergence R>0. La fonction y est de classe 𝒞 sur ]-R;R[ avec

y(x)=n=1+nanxn-1ety′′(x)=n=0+(n+2)(n+1)an+2xn.

Celle-ci est solution sur ]-R;R[ de l’équation différentielle proposée si, et seulement si,

n=0+(n+2)((n+1)an+2+an)xn=0pour tout x]-R;R[.

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on obtient la relation de récurrence

an+2=-1n+1anpour tout n

ce qui conduit à

a2p=(-1)p2pp!(2p)!a0eta2p+1=(-1)p2pp!a1pour tout p.

Inversement, ces coefficients déterminent une série entière de rayon de convergence + dont la somme est solution sur de l’équation différentielle proposée.

Notons que pour a0=0 et a1=1, on obtient la solution xxe-x2/2.

 
Exercice 5  1016   Correction  
  • (a)

    Déterminer les séries entières solutions au voisinage de 0 de l’équation différentielle

    y′′+2xy+2y=0.
  • (b)

    Exprimer parmi celles-ci, celles dont la somme est une fonction paire.

Solution

  • (a)

    Analyse: Soit anxn une série entière de rayon de convergence R>0 et de somme S.
    La fonction S est de classe 𝒞 sur ]-R;R[ et, pour x]-R;R[,

    S′′(x)+2xS(x)+2S(x)=n=0+((n+2)(n+1)an+2+2(n+1)an)xn.

    Par conséquent, S est solution sur ]-R;R[ de l’équation différentielle

    y′′+2xy+2y=0

    si, et seulement si,

    n,an+2=-2n+2an

    ce qui donne

    a2p=(-1)pp!a0eta2p+1=(-1)p2p(2p+1)3a1=(-1)p4pp!(2p+1)!a1.

    Synthèse: Soit anxn la série entière déterminée par les coefficients précédemment proposés. Une telle série entière est de rayon de convergence R=+ car a2p=O(1/p!) et a2p+1=O(4p/p!). De plus, par les calculs ci-dessus, elle est solution de l’équation différentielle proposée sur .

  • (b)

    Les solutions paires sont obtenue pour a2p+1=0. Cela donne

    x,S(x)=a0e-x2.
 
Exercice 6  5099   

Trouver une solution f de l’équation différentielle (E):4xy′′+2y-y=0 qui soit développable en série entière sur un voisinage de 0 et qui prend la valeur 1 en 0. Exprimer f à l’aide des fonctions usuelles.

 
Exercice 7  2528     CCP (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer qu’il existe une solution h de l’équation

    xy′′+y+y=0

    développable en série entière et vérifiant h(0)=1.

  • (b)

    Montrer que h s’annule sur ]0;2[.

  • (c)

    Montrer que h ne s’annule qu’une seule fois sur ]0;2[.

Solution

  • (a)

    Après résolution, on obtient

    h(x)=n=0+(-1)n(n!)2xn

    de rayon de convergence R=+.

  • (b)

    h(0)=1 et h est continue sur [0;2]. Il suffit d’établir h(2)<0 pour pouvoir conclure.

    On peut appliquer le critère spécial des séries alternées à la série

    n1(-1)n(n!)22n

    (on commence au rang 1 pour avoir la décroissance). On obtient alors

    -2<n=1+(-1)n(n!)22n<-1

    car la somme peut être encadrée par des sommes partielles consécutives. On en déduit h(2)<0.

  • (c)

    La fonction h est dérivable et

    h(x)=n=1+(-1)nn!(n-1)!xn-1.

    On peut à nouveau appliquer le critère spécial des séries alternées à cette série pour tout x]0;2[ et l’on en déduit h(x)<0.

 
Exercice 8  4667    

On étudie l’équation différentielle

(E):xy′′+y+y=0.
  • (a)

    Déterminer les solutions de (E) développables en série entière.

Soit f une solution de l’équation (E).

  • (b)

    Montrer que xf2(x)+f2(x) possède une limite quand x tend vers +.

  • (c)

    En déduire que la fonction f est bornée au voisinage de + et que sa dérivée y est de limite nulle.

  • (d)

    Justifier la convergence des intégrales suivantes:

    1+-f2(x)dx,1+f(x)f(x)xdxet1+f2(x)xdx.
  • (e)

    En déduire la limite de f en +.

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Édité le 08-11-2019

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