Exercice 1 4654

Résoudre sur $I =] - 1; 1 [$ l’équation

(E) : (1 - t^{2}) y^{''} - 4 t y^{'} - 2 y = 0

en recherchant des fonctions développables en série entière solutions.

Exercice 2 5571 Correction

Déterminer les fonctions réelles solutions sur $ℝ$ l’équation

(E) : (1 + t^{2}) y^{''} (t) + 4 t y^{'} (t) + 2 y (t) = 0

en recherchant les séries entières solutions.

Solution

L’équation $(E)$ équivaut à une équation différentielle linéaire d’ordre $2$ résolue en $y^{''}$ .

Soit $y$ la somme d’une série entière $\sum a_{n} t^{n}$ de rayon de convergence $R > 0$ .

Sur $] - R; R [$ , la fonction $y$ est de classe $𝒞^{\infty}$ avec

y (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} t^{n}, y^{'} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n a_{n} t^{n - 1} et y^{''} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n (n - 1) a_{n} t^{n - 2} .

Pour $t \in] - R; R [$ ,

(1 + t^{2}) y^{''} (t) + 4 t y^{'} (t) + 2 y (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 2) (n + 1) (a_{n + 2} + a_{n}) t^{n} .

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, la fonction $y$ est solution de l’équation étudiée sur $] - R; R [$ si, et seulement si,

\forall n \in ℕ, a_{n + 2} = - a_{n}

ce qui donne

\forall p \in ℕ, a_{2 p} = {(- 1)}^{p} a_{0} et a_{2 p + 1} = {(- 1)}^{p} a_{1} .

On obtient alors

y (t) = a_{0} \sum_{p = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{p} t^{2 p} + a_{1} \sum_{p = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{p} t^{2 p + 1} = \frac{a_{0} + a_{1} t}{1 + t^{2}} .

Puisque la série entière écrite est de rayon de convergence $R \geq 1$ (généralement $R = 1$ mais $R = + \infty$ si $a_{0} = a_{1} = 0$ ), on peut assurer que les fonctions proposées sont solutions sur $] - 1; 1 [$ à l’équation étudiée. Cela fournit un système fondamental de solutions sur $] - 1; 1 [$ qu’il suffit de réinjecter dans l’équation pour affirmer que ces fonctions forment aussi un système fondamental de solution sur $ℝ$ .

Puisque l’espace des solutions de cette équation homogène est de dimension $2$ , on peut conclure que la solution générale est

y (t) = \frac{λ + μ t}{1 + t^{2}} avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .

Exercice 3 404 Correction

(a)

Déterminer les fonctions réelles solutions sur $ℝ$ l’équation

$(1 + t^{2}) y^{''} (t) + 4 t y^{'} (t) + 2 y (t) = 0$

en recherchant les séries entières solutions.
(b)

Résoudre ensuite

$(1 + t^{2}) y^{''} (t) + 4 t y^{'} (t) + 2 y (t) = \frac{1}{1 + t^{2}} .$

Solution

(a)

L’équation étudiée équivaut à une équation différentielle linéaire d’ordre $2$ résolue en $y^{''}$ .

Soit $y$ la somme d’une série entière $\sum a_{n} t^{n}$ de rayon de convergence $R > 0$ .

Sur $] - R; R [$ , la fonction $y$ est de classe $𝒞^{\infty}$ avec

$y (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} t^{n}, y^{'} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n a_{n} t^{n - 1} et y^{''} (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} n (n - 1) a_{n} t^{n - 2} .$

Pour $t \in] - R; R [$ ,

$(1 + t^{2}) y^{''} (t) + 4 t y^{'} (t) + 2 y (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 2) (n + 1) (a_{n + 2} + a_{n}) t^{n} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, la fonction $y$ est solution de l’équation étudiée sur $] - R; R [$ si, et seulement si,

$\forall n \in ℕ, a_{n + 2} = - a_{n}$

ce qui donne

$\forall p \in ℕ, a_{2 p} = {(- 1)}^{p} a_{0} et a_{2 p + 1} = {(- 1)}^{p} a_{1} .$

On obtient alors

$y (t) = a_{0} \sum_{p = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{p} t^{2 p} + a_{1} \sum_{p = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{p} t^{2 p + 1} = \frac{a_{0} + a_{1} t}{1 + t^{2}} .$

Puisque la série entière écrite est de rayon de convergence $R \geq 1$ (généralement $R = 1$ mais $R = + \infty$ si $a_{0} = a_{1} = 0$ ), on peut assurer que les fonctions proposées sont solutions sur $] - 1; 1 [$ à l’équation étudiée. Cela fournit un système fondamental de solutions sur $] - 1; 1 [$ qu’il suffit de réinjecter dans l’équation pour affirmer que ces fonctions forment aussi un système fondamental de solution sur $ℝ$ .

Puisque l’espace des solutions de cette équation homogène est de dimension $2$ , on peut conclure que la solution générale est

$y (t) = \frac{λ + μ t}{1 + t^{2}} avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .$
(b)

La méthode de variation des constantes nous conduit rechercher une solution particulière de la forme

$y (t) = \frac{λ (t) + μ (t) t}{1 + t^{2}}$

avec $λ$ et $μ$ fonctions dérivables solution du système

${\begin{matrix} \frac{λ^{'} (t)}{1 + t^{2}} + \frac{μ^{'} (t) t}{1 + t^{2}} & = 0 \\ - \frac{2 t λ^{'} (t)}{{(1 + t^{2})}^{2}} + \frac{μ^{'} (t) (1 - t^{2})}{{(1 + t^{2})}^{2}} & = \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} . \end{matrix}$

On obtient

$λ^{'} (t) = - \frac{t}{1 + t^{2}} et μ^{'} (t) = \frac{1}{1 + t^{2}}$

puis

$y (t) = \frac{t \arctan (t) - \ln (\sqrt{1 + t^{2}})}{1 + t^{2}} .$

Cette solution particulière permet ensuite d’exprimer la solution générale.

Exercice 4 401 Correction

Résoudre sur $] - 1; 1 [$ l’équation

(E) : 4 (1 - t^{2}) y^{''} (t) - 4 t y^{'} (t) + y (t) = 0

en recherchant les fonctions développables en série entière.

Solution

L’équation différentielle $(E)$ équivaut sur $] - 1; 1 [$ a une équation différentielle linéaire d’ordre $2$ résolue en $y^{''}$ .

Soit $y$ la somme de la série entière $\sum a_{n} t^{n}$ de rayon de convergence $R$ supposé $> 0$ .

Pour tout $t \in] - R; R [$ ,

4 (1 - t^{2}) y^{''} (t) - 4 t y^{'} (t) + y (t) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (4 (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} - (4 n^{2} - 1) a_{n}) t^{n} .

La fonction $y$ est solution de l’équation étudiée sur $] - R; R [$ si, et seulement si,

\forall n \in ℕ, a_{n + 2} = \frac{(n - 1 / 2) (n + 1 / 2)}{(n + 1) (n + 2)} a_{n} .

Après résolution, on obtient

a_{2 p} = (\binom{1 / 2}{2 p}) a_{0} et a_{2 p + 1} = (\binom{1 / 2}{2 p + 1}) a_{1} .

\sqrt{1 + t} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (\binom{1 / 2}{n}) t^{n} et \sqrt{1 - t} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {(- 1)}^{n} (\binom{1 / 2}{n}) t^{n}

avec un rayon de convergence égal à $1$ .

En prenant $a_{0} = a_{1} = 1$ , on obtient la fonction $t \mapsto \sqrt{1 + t}$ .

En prenant $a_{0} = 1$ et $a_{1} = - 1$ , on obtient $t \mapsto \sqrt{1 - t}$ .

Ces deux fonctions sont solutions de l’équation étudiée (car $R = 1$ ) et, étant indépendantes, elles constituent un système fondamental de solutions.

La solution générale s’exprime

y (t) = λ \sqrt{1 + t} + μ \sqrt{1 - t} avec (λ, μ) \in ℝ^{2} .

Exercice 5 5925 Correction

À l’aide de séries entières, résoudre le problème de Cauchy

{\begin{matrix} y^{''} - x y^{'} - y = 0 \\ y (0) = 1, y^{'} (0) = 0 . \end{matrix}

Solution

Analyse: Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ . Sa somme $S$ est définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - R; R [$ avec

S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}, S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1}, S^{''} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n}

de sorte que, pour tout $x \in] - R; R [$ ,

S^{''} (x) - x S^{'} (x) - S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ((n + 2) (n + 1) a_{n + 2} - (n + 1) a_{n}) x^{n} .

La fonction $S$ est donc solution sur $] - R; R [$ de l’équation différentielle considérée si, et seulement si,

\forall n \in ℕ, a_{n + 2} = \frac{1}{n + 2} a_{n} .

Pour vérifier les conditions initiales, on doit aussi avoir $a_{0} = 1$ et $a_{1} = 0$ ce qui conduit à

\forall p \in ℕ, a_{2 p} = \frac{1}{2^{p} p!} et a_{2 p + 1} = 0 .

Synthèse: Considérons la série entière $\sum \frac{1}{2^{p} p!} x^{2 p}$ . Celle-ci est de rayon de convergence $R = + \infty$ et les calculs qui précèdent assurent que sa somme est solution sur $ℝ$ du problème différentiel posé. Au surplus, on remarque

\forall x \in ℝ, \sum_{p = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2^{p} p!} x^{2 p} = \sum_{p = 0}^{+ \infty} \frac{1}{p!} {(\frac{x^{2}}{2})}^{p} = e^{x^{2} / 2} .

Exercice 6 5285 SAINT CYR (MP)Correction

Justifier que les solutions de l’équation différentielle

(E) : y^{''} + x y^{'} + 2 y = 0 .

sont toutes développables en série entière sur $ℝ$ .

Solution

Commençons par remarquer que $(E)$ est une équation différentielle linéaire d’ordre $2$ homogène définie sur $ℝ$ : l’ensemble de ses solutions est un plan vectoriel inclus dans l’espace $𝒞^{2} (ℝ, ℝ)$ .

Soit $y$ la somme d’une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon de convergence $R > 0$ .

La fonction $y$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - R; R [$ avec

y^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} et y^{''} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^{n} .

Après calculs où l’on écrit les sommes avec une même puissance de la variable $x$ , la fonction $y$ est solution sur $] - R; R [$ de l’équation $(E)$ si, et seulement si,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 2) ((n + 1) a_{n + 2} + a_{n}) x^{n} = 0 pour tout x \in] - R; R [.

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on obtient la relation de récurrence

a_{n + 2} = - \frac{1}{n + 1} a_{n} pour tout n \in ℕ

ce qui conduit à

a_{2 p} = {(- 1)}^{p} \frac{2^{p} p!}{(2 p)!} a_{0} et a_{2 p + 1} = \frac{{(- 1)}^{p}}{2^{p} p!} a_{1} pour tout p \in ℕ .

Considérons alors les fonctions $φ$ et $ψ$ données par

φ (x) = \sum_{p = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{p} 2^{p} p!}{(2 p)!} x^{2 p} et ψ (x) = \sum_{p = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{p}}{2^{p} p!} x^{2 p + 1}

Les séries entières définissant $φ$ et $ψ$ sont chacune de rayon de convergence $+ \infty$ et l’étude au-dessus assure que $φ$ et $ψ$ sont solutions de l’équation différentielle $(E)$ sur $ℝ$ . Au surplus, $φ$ et $ψ$ sont linéairement indépendantes et constituent donc un système fondamental de solutions de l’équation $(E)$ . Toutes les solutions de $(E)$ sont donc combinaisons linéaires de $φ$ et $ψ$ , elles sont développables en série entière sur $ℝ$ .

Notons que $ψ (x) = x e^{- x^{2} / 2}$ pour tout $x \in ℝ$ .

Exercice 7 1016 Correction

(a)

Déterminer les séries entières solutions au voisinage de $0$ de l’équation différentielle

$y^{''} + 2 x y^{'} + 2 y = 0 .$
(b)

Exprimer parmi celles-ci, celles dont la somme est une fonction paire.

Solution

(a)

Analyse: Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ et de somme $S$ .
La fonction $S$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - R; R [$ et, pour $x \in] - R; R [$ ,

$S^{''} (x) + 2 x S^{'} (x) + 2 S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} ((n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + 2 (n + 1) a_{n}) x^{n} .$

Par conséquent, $S$ est solution sur $] - R; R [$ de l’équation différentielle

$y^{''} + 2 x y^{'} + 2 y = 0$

si, et seulement si,

$\forall n \in ℕ, a_{n + 2} = \frac{- 2}{n + 2} a_{n}$

ce qui donne

$a_{2 p} = \frac{{(- 1)}^{p}}{p!} a_{0} et a_{2 p + 1} = \frac{{(- 1)}^{p} 2^{p}}{(2 p + 1) \dots 3} a_{1} = \frac{{(- 1)}^{p} 4^{p} p!}{(2 p + 1)!} a_{1} .$

Synthèse: Soit $\sum a_{n} x^{n}$ la série entière déterminée par les coefficients précédemment proposés. Une telle série entière est de rayon de convergence $R = + \infty$ car $a_{2 p} = O (1 / p!)$ et $a_{2 p + 1} = O (4^{p} / p!)$ . De plus, par les calculs ci-dessus, elle est solution de l’équation différentielle proposée sur $ℝ$ .
(b)

Les solutions paires sont obtenue pour $a_{2 p + 1} = 0$ . Cela donne

$\forall x \in ℝ, S (x) = a_{0} e^{- x^{2}} .$

Exercice 8 5099

On étudie l’équation différentielle

(E) : 4 x y^{''} + 2 y^{'} - y = 0 .

(a)

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ .

Montrer que la somme de cette série entière est solution de l’équation $(E)$ sur $] - R; R [$ si, et seulement si, $2 (n + 1) (2 n + 1) a_{n + 1} - a_{n} = 0$ pour tout $n \in ℕ$ .
(b)

Établir que l’équation différentielle $(E)$ admet une unique solution développable en série entière sur $ℝ$ prenant la valeur $1$ en $0$ et exprimer celle-ci à l’aide des fonctions usuelles.

Exercice 9 2528 CCINP (MP)Correction

(a)

Montrer qu’il existe une solution $h$ de l’équation

$x y^{''} + y^{'} + y = 0$

développable en série entière et vérifiant $h (0) = 1$ .
(b)

Montrer que $h$ s’annule sur $] 0; 2 [$ .
(c)

Montrer que $h$ ne s’annule qu’une seule fois sur $] 0; 2 [$ .

Solution

(a)

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ . On introduit sa somme $h$ définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - R; R [$ avec

$h (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}, h^{'} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} et h^{''} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (n + 1) n a_{n + 1} x^{n - 1} .$

La fonction $h$ est solution de l’équation différentielle considérée sur $] - R; R [$ si, et seulement si, pour tout $x \in] - R; R [$

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} (n + 1) n a_{n + 1} x^{n} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} + \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n} = 0$

soit encore

$\sum_{n = 0}^{+ \infty} ({(n + 1)}^{2} a_{n + 1} + a_{n}) x^{n} = 0 .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on parvient à la condition

$\forall n \in ℕ, a_{n + 1} = - \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} a_{n} .$

En adjoignant la condition $h (0) = 1$ qui fournit $a_{0} = 1$ , on acquiert

$\forall n \in ℕ, a_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{{(n!)}^{2}} .$

Inversement, pour cette suite $(a_{n})$ , la série entière associée est de rayon de convergence $R = + \infty$ et les calculs qui précèdent assurent que la somme est solution sur $ℝ$ de l’équation différentielle et prend la valeur $1$ en $0$ .

Finalement, on obtient

$h (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{{(n!)}^{2}} x^{n}$

de rayon de convergence $R = + \infty$ .
(b)

$h (0) = 1$ et $h$ est continue sur $[0; 2]$ . Il suffit d’établir $h (2) < 0$ pour pouvoir conclure. Étudions le signe de la somme définissant $h (2)$ en isolant son premier terme

$h (0) = 1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{{(n!)}^{2}} 2^{n} .$

On peut appliquer le critère spécial des séries alternées à la série

$\sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n}}{{(n!)}^{2}} 2^{n} .$

En effet, c’est une série alternée et sont terme général décroît vers $0$ car, pour $n \geq 1$ ,

$\frac{2^{n + 1} / {((n + 1)!)}^{2}}{2^{n} / {(n!)}^{2}} = \frac{2}{{(n + 1)}^{2}} \leq 1 .$

Par le critère spécial, la somme est encadrée par les sommes partielles consécutives. Les deux premières sommes partielles sont

$- 2, - 2 + \frac{4}{4} = - 1$

et les suivantes sont strictement comprises entre $- 2$ et $- 1$ . On obtient alors

$- 2 < \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{{(n!)}^{2}} 2^{n} < - 1$

puis $h (2) < 0$ .
(c)

La fonction $h$ est dérivable avec pour tout $x \in ℝ$

$h^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n! (n - 1)!} x^{n - 1} .$

On peut à nouveau appliquer le critère spécial des séries alternées à cette série pour tout $x \in] 0; 2 [$ . La somme définissant $h^{'} (x)$ est alors du signe de son premier terme et donc $h^{'} (x) < 0$ .

La fonction $h$ est strictement décroissante sur $] 0; 2 [$ , elle ne peut donc s’annuler qu’une seule fois.

Exercice 10 5756 Correction

(Équation hypergéométrique)

Soient $a, b, c$ des nombres réels avec $- c \notin ℕ$ .

(a)

Montrer que l’équation différentielle

$(E) : x (1 - x) y^{''} + (c - (a + b + 1) x) y^{'} - a b y = 0$

possède une unique solution $S_{a, b, c}$ développable en série entière en $0$ et prenant la valeur $1$ en $0$ .
(b)

Exprimer $S_{a, b, c}$ lorsque $(a, b, c) = (1,1,2)$ .
(c)

Exprimer $S_{a, b, c}$ lorsque $(a, b, c) = (- α,1 / 2,1 / 2)$ avec $α \in ℝ$ .

Solution

(a)

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ .

La fonction somme $S : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ est définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - R; R [$ avec

	$S^{'} (x)$	$= \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n}$
	$S^{''} (x)$	$= \sum_{n = 2}^{+ \infty} n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} (n + 1) n a_{n + 1} x^{n - 1} .$

Pour $x \in] - R; R [$ ,

	$x (1$	$- x) S^{''} (x) + (c - (a + b + 1) x) S^{'} (x) - a b S (x)$
		$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} ((n + 1) n a_{n + 1} - n (n - 1) a_{n} + c (n + 1) a_{n + 1} - (a + b + 1) n a_{n} - a b a_{n}) x^{n}$
		$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} ((n + 1) (n + c) a_{n + 1} - n (n - 1) a_{n} - (n + a) (n + b) a_{n}) x^{n} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, $S$ est solution de $(E)$ sur $] - R; R [$ si, et seulement si,

\forall n \in ℕ, a_{n + 1} = \frac{(n + a) (n + b)}{(n + 1) (n + c)} a_{n} .

De plus, la condition $S (0) = 1$ équivaut à $a_{0} = 1$ . Il y a donc au plus une solution à l’équation différentielle prenant la valeur $1$ en $0$ et celle-ci correspond à la suite de coefficients ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ déterminée par

a_{0} = 1 et \forall n \in ℕ, a_{n + 1} = \frac{(n + a) (n + b)}{(n + 1) (n + c)} a_{n} .

Inversement, cette suite $(a_{n})$ détermine une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ qui est de rayon de convergence $R = 1$ car (PROBLÈME $\geq 1$ )

\forall n \in ℕ, a_{n} \neq 0 et | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = | \frac{(n + a) (n + b)}{(n + 1) (n + c)} | \to_{n \to + \infty}^{} 1 .

Par les calculs qui précèdent, la fonction $S$ alors définie et solution sur $] - 1; 1 [$ de $(E)$ et vérifie $S (0) = a_{0} = 1$ .

(b)

Pour $(a, b, c) = (1,1,2)$ , on obtient

$\forall n \in ℕ, a_{n + 1} = \frac{n + 1}{n + 2} a_{n}$

et l’on en déduit (par récurrence)

$\forall n \in ℕ, a_{n} = \frac{1}{n + 1}$

puis

$\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x^{n}}{n + 1} = {\begin{matrix} - \frac{\ln (1 - x)}{x} & si x \neq 0 \\ 1 & si x = 0 . \end{matrix}$
(c)

Pour $(a, b, c) = (- α,1 / 2,1 / 2)$ , on obtient

$\forall n \in ℕ, a_{n + 1} = \frac{n - α}{n + 1} a_{n}$

et l’on en déduit (par récurrence)

$\forall n \in ℕ, a_{n} = {(- 1)}^{n} \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!}$

puis

$\forall x \in] - 1; 1 [, S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{α (α - 1) \dots (α - n + 1)}{n!} {(- x)}^{n} = {(1 - x)}^{α} .$

Exercice 11 5755 Correction

Déterminer les fonctions développables en série entière en $0$ solution de l’équation différentielle

(E) : x^{2} y^{''} + (3 x - 1) y^{'} + y = 0 .

Solution

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière de rayon de convergence $R > 0$ .

La fonction somme $S : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ est définie et de classe $𝒞^{\infty}$ sur $] - R; R [$ avec

S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) a_{n + 1} x^{n} et S^{''} (x) = \sum_{n = 2}^{+ \infty} n (n - 1) a_{n} x^{n - 2} .

Pour $x \in] - R; R [$ ,

	$x^{2} S^{''} (x) + (3 x - 1) S^{'} (x) + S (x)$	$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n (n - 1) a_{n} + 3 n a_{n} - (n + 1) a_{n + 1} + a_{n}) x^{n}$
		$= \sum_{n = 0}^{+ \infty} (n + 1) ((n + 1) a_{n} - a_{n + 1}) x^{n} .$

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, $S$ est solution de $(E)$ sur $] - R; R [$ si, et seulement si,

\forall n \in ℕ, a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} .

Après résolution, cette relation de récurrence donne

\forall n \in ℕ, a_{n} = n! a_{0} .

Si $a_{0} = 0$ alors $a_{n} = 0$ pour tout $n \in ℕ$ et $S$ désigne la fonction identiquement nulle.

Si $a_{0} \neq 0$ , la série entière $\sum a_{n} x^{n}$ est de rayon de convergence $0$ car

| \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = n + 1 \to_{n \to + \infty}^{} + \infty

et la fonction somme ne peut pas être définie sur un voisinage de $0$ .

Finalement, seule la fonction identiquement nulle est développable en série entière et solution de $(E)$ (sur $ℝ$ ).

Exercice 12 4667

On étudie l’équation différentielle

(E) : x y^{''} + y^{'} + y = 0 .

(a)

Déterminer les solutions de $(E)$ développables en série entière.

Soit $f$ une solution de l’équation $(E)$ .

(b)

Montrer que $x f^{', 2} (x) + f^{2} (x)$ possède une limite quand $x$ tend vers $+ \infty$ .
(c)

En déduire que la fonction $f$ est bornée au voisinage de $+ \infty$ et que sa dérivée y est de limite nulle.
(d)

Justifier la convergence des intégrales suivantes:

$\int_{1}^{+ \infty} - f^{', 2} (x) d x, \int_{1}^{+ \infty} \frac{f^{'} (x) f (x)}{x} d x et \int_{1}^{+ \infty} \frac{f^{2} (x)}{x} d x .$
(e)

En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$ .

[<] Résolution d'équation scalaire d'ordre 2 [>] Méthode de variation des constantes

Édité le 08-01-2024

Recherche de solution développable en série entières