[<] Étude théorique d'équation d'ordre 2 [>] Résolution avec raccord d'équation d'ordre 2
Soient continues et un système fondamental de solutions de l’équation
Former une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par le wronskien
Solution
Par dérivation d’un déterminant
donc
puis
Ainsi est solution de l’équation différentielle
On étudie sur l’équation différentielle
Vérifier que détermine une solution de sur .
Déterminer le wronskien de deux solutions de l’équation .
En déduire une solution de indépendante de et exprimer la solution générale de sur .
Solution
Un simple calcul de vérification.
Le wronskien de deux solutions de l’équation homogène est solution de l’équation différentielle
Après résolution, on obtient
Soient une solution indépendante de (la théorie assure qu’il en existe car l’ensemble des solutions de est un espace de dimension ) et le wronskien de et . Quitte à multiplier par une constante ad hoc, on peut supposer
et la fonction apparaît solution de l’équation différentielle
c’est-à-dire
Après résolution, on obtient
Le couple constituant un système fondamental de solutions, on peut exprimer la solution générale
Soient une fonction continue, intégrable sur et l’équation différentielle
Si est une solution bornée de sur , montrer que sa dérivée admet une limite finie en .
Quelle est la valeur de sa limite?
Soient et deux solutions bornées. Étudier le wronskien de et de
En déduire que et sont liées. Que peut-on en conclure?
Solution
La fonction est de classe et
Puisque la fonction est intégrable sur et puisque est bornée, on peut affirmer que la fonction est intégrable sur . Par suite, l’intégrale de l’expression précédente de admet une limite finie quand . On en déduit que admet une limite finie en .
Posons cette limite.
Par l’absurde, si alors il existe assez grand tel que, pour tout , on a et alors
Cela contredit l’hypothèse assurant que est bornée. C’est absurde.
De même, est absurde et il reste donc .
En dérivant
car et sont solutions de .
On en déduit que le wronskien est constant et puisque les fonctions et sont bornées, leurs dérivées et tendent vers en et donc
Ainsi, le wronskien est constant égal à et les fonctions et sont liées.
On en déduit que l’équation différentielle possède des solutions non bornées.
Soient continues vérifiant .
On note et deux solutions sur respectivement des équations
On suppose la solution non identiquement nulle.
Montrer que les zéros de sont isolés c’est-à-dire que si annule alors
Soient deux zéros consécutifs de . Montrer que s’annule sur .
On pourra étudier .
Application : Montrer que si est une solution non nulle de l’équation alors
Solution
Si possède une solution non isolée alors il existe une suite de zéros de deux à deux distincts convergeant vers . En appliquant le théorème de Rolle entre les deux termes distincts et , on détermine une suite convergeant vers formée de zéros de . En passant la relation à la limite, on obtient . Ainsi, se comprend comme la solution du problème de Cauchy constitué de l’équation différentielle et des conditions initiales . Or ce problème de Cauchy possède une solution unique et celle-ci est la fonction nulle, cas que l’énoncé exclut.
On suppose les zéros de et consécutifs donc est de signe constant sur .
Quitte à considérer on peut supposer sur et, sachant car est non identiquement nulle, on a et .
Si n’est pas de signe constant sur alors, par le théorème de valeurs intermédiaires, s’annule sur .
Si en revanche est de signe constant sur alors, quitte à considérer , on peut supposer sur afin de fixer les idées. Considérons alors la fonction donnée par
La fonction est décroissante car
Or et donc nécessairement .
Il suffit d’appliquer ce qui précède à et sur sachant que est solution de l’équation et s’annule en et .
On considère l’équation différentielle
Justifier l’existence d’une solution de telle que et .
Démontrer l’existence de deux réels vérifiant
En déduire que possède au moins un zéro dans et .
Justifier l’existence de réels
Soit une solution de linéairement indépendante de .
En étudiant les variations de
montrer que possède au moins un zéro dans .
Soit une solution non nulle de . Démontrer que admet une infinité de zéros. On pourra introduire pour , la fonction
[Énoncé fourni par le CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA]
Solution
est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 définie sur . Les conditions initiales proposées déterminent alors une solution unique définie sur .
Puisque la fonction est continue et , la fonction est strictement positive au voisinage de 0 et par la satisfaction de l’équation différentielle, on peut affirmer que est strictement négative au voisinage de 0. La fonction étant alors strictement décroissante au voisinage de 0 et vérifiant , les existences de et sont assurées.
Par l’absurde, supposons que la fonction ne s’annule par sur .
La fonction est alors positive et est négative sur . La fonction étant donc décroissante sur , on a
En intégrant
Or cette affirmation est incompatible avec un passage à la limite quand .
On en déduit que s’annule au moins une fois sur (et cette annulation est nécessairement sur )
De même, on justifie que s’annule au moins une fois sur (et on peut même montrer que la fonction est paire…)
Considérons l’ensemble
C’est une partie non vide et minorée de , elle admet donc une borne inférieure . Par la caractérisation séquentielle d’une borne inférieure, il existe une suite , telle que
Puisque , on obtient à la limite . Evidemment et donc et ainsi est un minimum de .
De même, on obtient .
Grâce à l’équation différentielle
Le wronskien est donc constant mais peu importe…puisque les solutions et sont indépendantes, le wronskien ne s’annule pas et il est donc de signe constant.
Or
Puisque est strictement positive sur , est strictement négative et strictement décroissante sur ce même intervalle. On en déduit
ce qui entraîne que et sont de signes stricts contraires. On en déduit que s’annule sur .
Plus généralement, qu’une solution de soit colinéaire à ou non, on peut affirmer que celle-ci possède un zéro dans . Or on vérifie que les fonctions sont solutions de et donc chacune possède au moins un zéro dans . On en déduit que la fonction possède au moins un zéro dans chaque intervalle ce qui assure l’existence d’une infinité de zéros.
Soient et l’équation différentielle .
Soit une solution de telle que et . Montrer que et sont strictement positives et que tend vers en .
Soient et les solutions de telles que
Calculer . Montrer que, sur , et sont monotones et de monotonies contraires. Montrer que et tendent en vers la même limite réelle.
Montrer qu’il existe une unique solution de , strictement positive, telle que et telle que soit décroissante sur .
Déterminer lorsque sur .
On pourra poser .
Solution
Par l’absurde, supposons que s’annule et introduisons
Par continuité de , on a et, sachant , on aussi.
On en déduit et donc est croissante sur . Sachant , la fonction est croissante sur . Ceci est incompatible avec la valeur . C’est absurde.
On en déduit que ne s’annule pas sur et est donc strictement positive. Comme au dessus, on retrouve que est croissante et donc strictement positive. Enfin
. La fonction est donc constante égale à (qui est sa valeur en ). Puisque et , les fonctions et sont strictement positives sur un intervalle de la forme (avec ). En appliquant la question précédente avec plutôt que , on assure que et sont strictement positives sur . On peut donc introduire les fonctions et . Aussi,
On a
avec et . On en déduit que les fonctions et ont la même limite en (ces limites existent assurément par monotonie). Aussi, cette limite est finie car la fonction est au-dessus de la fonction . Nous noterons cette limite.
Les solutions de sont les fonctions de la forme
car forme un système fondamental de solutions de l’équation linéaire .
La condition impose . Les conditions strictement positive et décroissante imposent respectivement
La constante est alors nécessairement et, finalement, .
La réciproque est immédiate.
Le changement de fonction proposé transpose l’équation en
La solution générale de l’équation sur est donc
Par développement limité,
Pour que la fonction décroisse en restant positive, il est nécessaire que .
Sachant , on obtient
On aurait aussi pu calculer
et reprendre ce qui précède.
[<] Étude théorique d'équation d'ordre 2 [>] Résolution avec raccord d'équation d'ordre 2
Édité le 29-08-2023
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