[<] Méthode de Lagrange

 
Exercice 1  414  

Résoudre sur +* l’équation

(E):x2y′′+3xy+y=0

en posant x=et.

 
Exercice 2  1566   Correction  

Résoudre sur +* l’équation

x2y′′-2y=x

par le changement de variable t=ln(x).

Solution

Soit y:+* une fonction deux fois dérivable et z: définie par z(x)=y(et) de sorte que y(t)=z(ln(x)). La fonction z est deux fois dérivable et l’on a

y(t)=1xz(ln(x))ety′′(t)=-1x2z(ln(x))+1x2z′′(ln(x)).

La fonction y est alors solution de l’équation proposée si, et seulement si, z est solution sur de l’équation

z′′-z-2z=et.

Après résolution, l’équation en z a pour solution générale

z(t)=λe-t+μe3t+12et avec (λ,μ)2.

La solution générale +* de l’équation initiale est

y(x)=C1x+C2x2-x2 avec (λ,μ)2.
 
Exercice 3  5395   Correction  

Résoudre sur +* l’équation

x2y′′+xy-y=x2

par le changement de variable t=ln(x).

Solution

Soit y:+* une fonction deux fois dérivable et z: définie par z(x)=y(et) de sorte que y(t)=z(ln(x)). La fonction z est deux fois dérivable et l’on a

y(t)=1xz(ln(x))ety′′(t)=-1x2z(ln(x))+1x2z′′(ln(x)).

La fonction y est alors solution de l’équation proposée si, et seulement si, z est solution sur de l’équation

z′′-z=e2t.

Après résolution, l’équation en z a pour solution générale

z(t)=λet+μe-t+13e2t avec (λ,μ)2.

La solution générale +* de l’équation initiale est

y(x)=λx+μx+x23 avec (λ,μ)2.
 
Exercice 4  1564   

Résoudre sur l’équation

(x2+1)2y′′+2x(x2+1)y+4y=0

en procédant au changement de variable t=arctan(x).

 
Exercice 5  415   Correction  

Résoudre sur l’équation

(1+x2)2y′′+2(x-1)(1+x2)y+y=0

en procédant au changement de variable t=arctan(x).

Solution

Soit y une fonction deux fois dérivable définie sur .
Posons z la fonction définie sur ]-π/2;π/2[ par z(t)=y(x)=y(tan(t)). Celle-ci est deux fois dérivabl et, après calculs, y est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, z est solution de l’équation z′′-2z+z=0 c’est-à-dire z(t)=(λt+μ)et avec λ,μ.

On en déduit y(x)=(λarctan(x)+μ)earctan(x) avec λ,μ.

 
Exercice 6  417   Correction  

Résoudre sur l’équation

y′′+2tt2+1y+1(t2+1)2y=t(t2+1)2

en posant x=arctan(t).

Solution

Soient y une fonction deux fois dérivable sur et z:I=]-π/2;π/2[ définie par z(x)=y(tan(x)).

z est deux fois dérivable et y(t)=z(arctan(t)) pour tout t.

y(t)=z(arctan(t))1+t2ety′′(t)=-2t(1+t2)2z(arctan(t))+1(1+t2)2z′′(arctan(t)).

y est solution si, et seulement si,

z′′(arctan(t))+z(arctan(t))=t

soit z′′(x)+z(x)=tan(x) sur I.

z′′+z=0 donc z=λcos(x)+μsin(x).

Par la méthode de la variation des constantes:

λ(x)=-sin2(x)cos(x)etμ(x)=sin(x).

Puisque

-sin2(x)cos(x)dx=u=sin(x)u2u2-1du=u+12ln|u-1u+1|+C=sin(x)+12ln(1-sin(x)1+sin(x))+C.

Prenons

λ(x)=sin(x)+12ln(1-sin(x)1+sin(x))etμ(x)=-cos(x).

On obtient la solution particulière

z(x)=12ln(1-sin(x)1+sin(x))cos(x)

Finalement,

y(t)=λ+μt1+t2+121+t2ln(1+t2-t1+t2+t) avec (λ,μ)2.
 
Exercice 7  416   Correction  

Résoudre sur ]-1;1[ l’équation

(1-x2)y′′-xy+4y=arccos(x)

en procédant au changement de variable x=cos(t).

Solution

x=cos(t),t=arccos(x),x]-1;1[,t]0;π[.

Soit y une fonction deux fois dérivable définie sur ]-1;1[.

Posons z la fonction définie sur ]0;π[ par z(t)=y(x)=y(cos(t)). Celle-ci est deux fois dérivable et, après calculs, y est solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si, z est solution de l’équation différentielle

z′′+4z=t

La solution générale de l’équation en z est

z(t)=λcos(2t)+μsin(2t)+14t avec (λ,μ)2.

La solution générale de l’équation initiale est

y(x)=λ(2x2-1)+2μx1-x2+14arccos(x) avec (λ,μ)2.
 
Exercice 8  2540     CCP (MP)Correction  

On veut résoudre

(E):(x+1)y′′-(3x+4)y+3y=(3x+2)e3x.

Si Δ est l’opérateur de dérivation et Q(X)=X-3, on a Q(Δ)(y)=y-3y.
Montrer l’existence d’un polynôme P de la forme a(x)X+b(x) tel que (E) devienne

(P(Δ)Q(Δ))(y)=(3x+2)e3x.

Résoudre l’équation à l’aide du changement de variable z=Q(Δ)(y).

Solution

P=(x+1)X-1 convient.

(E)(x+1)z-z=(3x+2)e3x.

Après résolution avec recollement la solution générale de cette dernière équation est z(x)=λ(x+1)+e3x.

(E)y-3y=λ(x+1)+e3x.

La solution générale est

y(x)=λ(3x+4)+μe3x+xe3x.

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Édité le 08-11-2019

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