Exercice 1 4638

Déterminer la nature des séries suivantes:

(a)

$\sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n - 1}}{\sqrt{n}}$
(b)

$\sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n} + n}$
(c)

$\sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} + 3 n \sin (n)}$ .

Exercice 2 5502 Correction

Étudier la convergence de la série $\sum_{n \geq 1} u_{n}$ avec

u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} .

Solution

La série étudiée est alternée. La suite ${(| u_{n} |)}_{n \geq 1}$ est décroissante car $| u_{n + 1} |$ est la moyenne des valeurs $1, 1 / 2, \dots, 1 / n, 1 / (n + 1)$ tandis que $| u_{n} |$ est la moyenne de $1, 1 / 2, \dots, 1 / n$ . Enfin,

u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 car \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \underset{n \to + \infty}{\sim} \ln (n) .

Par le critère spécial des séries alternées, on peut affirmer la convergence de la série $\sum_{n \geq 1} u_{n}$ .

Exercice 3 5315 ENSTIM (MP)Correction

Donner la nature de la série

\sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n}}{n + \cos (n)} .

(a)

Par développement limité.
(b)

En étudiant la série

$\sum_{n \geq 1} (\frac{{(- 1)}^{n}}{n + \cos (n)} - \frac{{(- 1)}^{n}}{n}) .$
(c)

En observant que le critère des séries alternées s’applique.

Solution

(a)

Par développement limité,

$\frac{{(- 1)}^{n}}{n + \cos (n)} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n}}{n} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

La série étudiée converge en tant que somme d’une série convergeant par le critère spécial et d’une autre convergeant absolument par comparaison.
(b)

Pour $n \geq 1$ ,

$\frac{{(- 1)}^{n}}{n + \cos (n)} - \frac{{(- 1)}^{n}}{n} = \frac{{(- 1)}^{n} \cos (n)}{n (n + \cos (n))} \underset{n \to + \infty}{=} O (\frac{1}{n^{2}}) .$

On peut reprendre les arguments précédents, la méthode n’est pas franchement différente de la résolution ci-dessus…
(c)

La série est alternée et son terme général tend vers $0$ . Il reste à vérifier qu’il décroît en valeur absolue. Pour $x \in ℝ$ , on remarque

$\cos (x + 1) - \cos (x) = - 2 \sin (\frac{1}{2}) \sin (\frac{x + 1}{2}) \geq - 2 \sin (\frac{1}{2}) \geq - 1$

car on sait $\sin (x) \leq x$ pour tout $x \in ℝ_{+}$ . On en déduit

$n + 1 + \cos (n + 1) \geq n + \cos (n) pour tout n \in ℕ$

et l’on peut conclure que le critère spécial s’applique.

Exercice 4 1039 Correction

Déterminer la nature de

\sum_{n \geq 1} \sin (n π + \frac{π}{n}) .

Solution

On sait

\forall x \in ℝ, \sin (x + π) = - \sin (x) .

On en déduit

\forall x \in ℝ, \forall n \in ℤ, \sin (x + n π) = {(- 1)}^{n} \sin (x) .

On a donc, pour tout $n \in ℕ^{*}$

\sin (n π + \frac{π}{n}) = {(- 1)}^{n} \sin (\frac{π}{n}) = {(- 1)}^{n} u_{n} avec u_{n} = \sin (\frac{π}{n}) .

La suite ${(u_{n})}_{n \geq 2}$ est décroissante car la suite ${(π / n)}_{n \geq 2}$ l’est et prend ses valeurs dans $[0; π / 2]$ où la fonction sinus est croissante. Aussi, la suite ${(u_{n})}_{n \geq 2}$ est de limite nulle. Par le critère spécial des séries alternées, la série $\sum_{n \geq 2} \sin (n π + π / n)$ converge. Le rang initial n’affectant pas la nature de la série, la série $\sum_{n \geq 1} \sin (n π + π / n)$ converge aussi.

Exercice 5 5507 Correction

Déterminer la nature de la série

\sum \cos (π \sqrt{n^{2} + n + 1}) .

Solution

Par développement limité,

	$\cos (π \sqrt{n^{2} + n + 1})$	$= \cos (n π + \frac{π}{2} + \frac{3 π}{8 n} + O (\frac{1}{n^{2}}))$
		$= {(- 1)}^{n} \cos (\frac{π}{2} + \frac{3 π}{8 n} + O (\frac{1}{n^{2}}))$
		$= {(- 1)}^{n + 1} \sin (\frac{3 π}{8 n} + O (\frac{1}{n^{2}}))$
		$= {(- 1)}^{n + 1} \frac{3 π}{8 n} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

Le terme de la série étudiée est la somme d’un terme d’une série qui converge par le critère spécial et d’un autre d’une série absolument convergente. La série étudiée converge.

Exercice 6 1088

Déterminer en fonction de $α \in ℝ_{+}^{*}$ la nature de

\sum_{n \geq 1} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{α} + {(- 1)}^{n - 1}} .

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Édité le 12-05-2025

Critère spécial des séries alternées