[>] Nature de séries à termes positifs abstraites
Déterminer la nature11 1 Étudier la nature d’une série consiste à savoir si celle-ci est convergente ou non. Ce problème peut être résolu conjointement au calcul de la somme de la série ou préalablement, par exemple, par un argument de comparaison. des séries dont les termes généraux sont les suivants:
.
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:
Solution
On a
Par équivalence de séries à termes positifs, la série diverge.
On sait quand tend vers et donc
Par équivalence de séries à termes positifs, la série converge (la série de terme général est géométrique de raison ).
Après réduction au même dénominateur et multiplication par la quantité conjuguée,
Par équivalence de séries à termes positifs, la série converge.
Par développement limité,
On a donc
Par équivalence de séries à termes positifs (au moins à partir d’un certain rang), la série diverge.
Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:
Solution
donc et la série est absolument convergente.
donc par comparaison de séries à termes positifs, la série est divergente.
donc la série est absolument convergente
Déterminer la nature de la série de terme général
Solution
On a
donc pour assez grand
et par comparaison de série à termes positifs on peut affirmer que diverge.
Vérifier que pour tout ,
Retrouver par cette comparaison la nature de la série de terme général .
Déterminer la nature de la série de terme général
Nature de la série de terme général
Solution
On a
et
donc
Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée converge.
Étudier la nature de la série
Solution
Pour ,
puis
donc
Par conséquent,
Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée diverge.
On énumère en ordre croissant les nombres premiers par une suite :
Soit . Vérifier
En déduire la nature de la série .
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Édité le 29-08-2023
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