[>] Nature de séries à termes positifs abstraites

 
Exercice 1  4908  

Déterminer la nature11 1 Étudier la nature d’une série consiste à savoir si celle-ci est convergente ou non. Ce problème peut être résolu conjointement au calcul de la somme de la série ou préalablement, par exemple, par un argument de comparaison. des séries dont les termes généraux sont les suivants:

  • (a)

    cos(n)

  • (b)

    1n+n

  • (c)

    1n+n2

  • (d)

    (-1)nn!

  • (e)

    ln(n)n2

  • (f)

    ln(n)n+1.

 
Exercice 2  1020  Correction  

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:

  • (a)

    un=nn2+1

  • (b)

    un=ch(n)ch(2n)

  • (c)

    un=1n2-1-1n2+1

  • (d)

    un=e-(1+1n)n

Solution

  • (a)

    On a

    unn+1n.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série un diverge.

  • (b)

    On sait ch(n)en/2 quand n tend vers + et donc

    unn+ene2n=e-n.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série un converge (la série de terme général e-n est géométrique de raison e-1[0;1[).

  • (c)

    Après réduction au même dénominateur et multiplication par la quantité conjuguée,

    un=2n2-1+n2+11n2-1n2+1n+1n3.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série un converge.

  • (d)

    Par développement limité,

    (1+1n)n=exp(nln(1+1n))=e-12en+o(1n).

    On a donc

    unn+e2n.

    Par équivalence de séries à termes positifs (au moins à partir d’un certain rang), la série un diverge.

 
Exercice 3  2353  Correction  

Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:

  • (a)

    un=(nn+1)n2

  • (b)

    un=1ncos2(n)

  • (c)

    un=1(ln(n))ln(n)

Solution

  • (a)

    un=exp(-n2ln(1+1/n))=exp(-n+o(n)) donc n2unn+0 et la série est absolument convergente.

  • (b)

    un1/n donc par comparaison de séries à termes positifs, la série est divergente.

  • (c)

    n2un=n2(ln(n))ln(n)=e2ln(n)-ln(n)ln(ln(n))n+0 donc la série est absolument convergente

 
Exercice 4  3195    ENTPECorrection  

Déterminer la nature de la série de terme général

un=(1n)1+1n.

Solution

On a

nun=(1n)1/n=exp(-1nln(n))n+1

donc pour n assez grand

un12n

et par comparaison de série à termes positifs on peut affirmer que un diverge.

 
Exercice 5  4909  
  • (a)

    Vérifier que pour tout n*,

    ln(n+1)-ln(n)1n.
  • (b)

    Retrouver par cette comparaison la nature de la série de terme général 1/n.

 
Exercice 6  1021   

Déterminer la nature de la série de terme général

un={1/n si n est un carré1/n2 sinon(avec n*).
 
Exercice 7  2789     MINES (MP)Correction  

Nature de la série de terme général

e-(1+1n)nn3/2-n3/2+n.

Solution

On a

e-(1+1n)nn+e2n

et

n3/2-n3/2+n=n+O(1)n+n

donc

e-(1+1n)nn3/2-n3/2+nn+e2n2

Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée converge.

 
Exercice 8  4920    

On énumère en ordre croissant les nombres premiers par une suite (pn)n1:

p1=2,p2=3,p3=5,
  • (a)

    Soit N*. Vérifier

    n=1N11-1/pnn=1N1n.
  • (b)

    En déduire la nature de la série 1/pn.

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Édité le 08-11-2019

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