Exercice 1 5587 Correction

Sachant

\frac{π}{4} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1}

Établir

\frac{8}{3} \leq π \leq \frac{52}{15}

Solution

La série $\sum \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n + 1}$ converge en vérifiant le critère spécial des séries alternées, sa somme est comprise entre ses sommes partielles consécutives. Or

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} et 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{13}{15}

On en déduit

\frac{8}{3} \leq π \leq \frac{52}{15}

Exercice 2 1036 Correction

Montrer que

\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n} 8^{n}}{(2 n)!}

est un réel négatif.

Solution

À partir du rang $n = 2$ , on peut applique le critère spécial des séries alternées. Le reste étant majorée par la valeur absolue du premier terme

x = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n} 8^{n}}{(2 n)!} = 1 - 4 + r

avec $| r | \leq \frac{64}{24}$ donc $x < 0$ .

Exercice 3 1038 Correction

(a)

Justifier l’existence, pour $n \in ℕ$ de

$R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k} .$
(b)

Montrer que

$R_{n} + R_{n + 1} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k (k + 1)} .$
(c)

Déterminer un équivalent de $R_{n}$ .
(d)

Donner la nature des séries de termes généraux $R_{n}$ et $| R_{n} |$ .

Solution

(a)

$R_{n}$ est le reste de rang $n$ de la série $\sum_{k \geq 1} \frac{{(- 1)}^{k}}{k}$ qui converge en vertu du critère spécial.
(b)

Par glissement d’indice dans la deuxième somme

$R_{n} + R_{n + 1} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k + 1} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k (k + 1)} .$
(c)

Puisque

$R_{n} - R_{n + 1} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1}$

on a

$2 R_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1} + \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k (k + 1)} .$

Or, par le critère spécial,

$\sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{k (k + 1)} \underset{n \to + \infty}{=} O (\frac{1}{n^{2}})$

donc

$2 R_{n} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1} + o (\frac{1}{n + 1}) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1}$

puis

$R_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n} .$
(d)

On a

$R_{n} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}})$

D’une part, $\sum \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{2 n}$ converge par le critère spécial. D’autre part, $\sum O (\frac{1}{n^{2}})$ converge absolument par comparaison à une série de Riemann. La série $\sum R_{n}$ est donc convergente.

On a

$| R_{n} | \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{2 n}$

La série $\sum | R_{n} |$ est donc divergente par équivalence de séries à termes positifs.

Exercice 4 4131 CENTRALE (PSI)Correction

On pose

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} et u_{n} = \ln (e^{s_{n}} - 1) .

(a)

Énoncer le théorème des séries spéciales alternées, en faire la preuve.
(b)

Prouver que les suites ${(s_{n})}_{n \geq 1}$ et ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ convergent.
(c)

Étudier la nature de $\sum u_{n}$ .

Solution

(a)

Si $(v_{n})$ est une suite alternée dont la valeur absolue décroît vers 0 alors la série $\sum v_{n}$ converge.
Ce résultat s’obtient en constatant l’adjacence des suites extraites de rangs pairs et impairs de la suite des sommes partielles.
(b)

La suite ${(s_{n})}_{n \geq 1}$ converge en vertu du critère spécial énoncé ci-dessus. En fait, il est « connu » que ${(s_{n})}_{n \geq 1}$ tend vers $\ln (2)$ et donc ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ tend vers 0.
(c)

On peut écrire

$s_{n} = \ln (2) - r_{n}$

avec

$r_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} .$

On a

$r_{n} - r_{n + 1} = \frac{{(- 1)}^{n}}{n + 1} et r_{n} + r_{n + 1} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k (k + 1)} = O (\frac{1}{n^{2}})$

car par, application du critère spécial à la série $\sum \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k (k + 1)}$ , on peut majorer le reste par la valeur absolue du premier terme qui l’exprime. On en déduit

$r_{n} = \frac{{(- 1)}^{n}}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

On sait

$\ln (x) \underset{x \to 1}{=} x - 1 + O ({(x - 1)}^{2})$

et donc

$u_{n} = e^{s_{n}} - 2 + O ({(e^{s_{n}} - 2)}^{2})$

avec

$e^{s_{n}} - 2 = 2 (e^{- r_{n}} - 1) = - 2 r_{n} + O (r_{n}^{2}) = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

Ainsi,

$u_{n} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

La série $\sum u_{n}$ converge car c’est la somme d’une série vérifiant le critère spécial et d’une autre absolument convergente.

Exercice 5 6069 Correction

(a)

Justifier l’existence pour tout $n \in ℕ$ de

$u_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k} .$
(b)

Établir que pour tout $n \in ℕ$

$| u_{n} | = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k + n} .$
(c)

Montrer la convergence de $\sum u_{n}$ .

Solution

(a)

La série $\sum_{k ⩾ 1} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k}$ converge en application du critère spécial des séries alternées. Le terme $u_{n}$ se comprend comme le reste de rang $n$ de cette série convergente.
(b)

Par le critère spécial des séries alternées, le reste de rang $n$ est du signe de son premier terme. Ainsi, $u_{n}$ est du signe de ${(- 1)}^{n}$ . On en déduit $| u_{n} | = {(- 1)}^{n} u_{n}$ et l’on poursuit en s’aidant d’un glissement d’indice

$| u_{n} | = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k + n - 1}}{k} = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k + n} .$
(c)

La série $\sum u_{n}$ est alternée car $u_{n}$ est du signe de ${(- 1)}^{n}$ .

De plus, par ce qui précède et pour $n \in ℕ$ ,

$| u_{n} | - | u_{n + 1} | = \sum_{k = 1}^{+ \infty} (\frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k + n} - \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k + n + 1}) = \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{(k + n) (k + n + 1)} .$

Cette dernière série converge par application du critère spécial des séries alternées. Sa somme est du signe de son premier terme, ici positif. Ainsi, $| u_{n} | - | u_{n + 1} | ⩾ 0$ : la suite ${(| u_{n} |)}_{n ⩾ 0}$ est décroissante.

Enfin, $(u_{n})$ est de limite nulle car c’est le reste d’une série convergente.

Finalement, par une nouvelle application du critère spécial des séries alternées, on conclut $\sum u_{n}$ converge.

Exercice 6 3207 X (PC)Correction

Soit $E$ l’ensemble des suites réelles ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ telles que

u_{n + 2} = (n + 1) u_{n + 1} + u_{n} .

(a)

Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension 2.
(b)

Soient $a$ et $b$ deux éléments de $E$ déterminés par

${\begin{matrix} a_{0} & = 1 \\ a_{1} & = 0 \end{matrix} et {\begin{matrix} b_{0} & = 0 \\ b_{1} & = 1 . \end{matrix}$

Montrer que les deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ divergent vers $+ \infty$ .
(c)

Calculer

$w_{n} = a_{n + 1} b_{n} - a_{n} b_{n + 1} .$
(d)

On pose $c_{n} = a_{n} / b_{n}$ lorsque l’entier $n$ est supérieur ou égal à 1. Démontrer l’existence de

$ℓ = lim_{n \to + \infty} c_{n} .$
(e)

Démontrer l’existence d’un unique réel $r$ tel que

$lim_{n \to + \infty} (a_{n} + r b_{n}) = 0 .$

Solution

(a)

Il est immédiat de vérifier que $E$ est un sous-espace vectoriel de l’espace $ℝ^{ℕ}$ des suites réelles. L’application
$φ : E \to ℝ^{2}$ définie par $φ (u) = (u_{0}, u_{1})$ étant un isomorphisme (car un élément de $E$ est déterminé de façon unique par la donnée de ses deux premiers termes), on peut affirmer que l’espace $E$ est de dimension 2.
(b)

Il est immédiat de vérifier que les suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ sont formés d’entiers naturels, qu’elles sont croissantes à partir du rang 1 et qu’elles sont à termes strictement positifs à partir du rang 2.
Ainsi,

$\forall n \geq 2, a_{n}, b_{n} \geq 1$

et donc

$a_{n + 2} \geq n + 1 et b_{n + 2} \geq n + 1 .$

Ainsi, les deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ tendent vers $+ \infty$ en croissant (seulement à partir du rang $1$ pour la première)
(c)

On a

$w_{n + 1} = ((n + 1) a_{n + 1} + a_{n}) b_{n + 1} - a_{n + 1} ((n + 1) b_{n + 1} + b_{n}) .$

Après simplification, on obtient

$w_{n + 1} = - w_{n}$

et donc

$w_{n} = {(- 1)}^{n} w_{0} = {(- 1)}^{n + 1} .$
(d)

On a

$c_{n + 1} - c_{n} = \frac{w_{n}}{b_{n} b_{n + 1}} = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{b_{n} b_{n + 1}} .$

Puisque la suite de terme général $b_{n} b_{n + 1}$ croît vers $+ \infty$ , on peut appliquer le critère spécial des séries alternées et affirmer que la série numérique $\sum (c_{n + 1} - c_{n})$ converge. Par conséquent, la suite $(c_{n})$ converge.
(e)

On a

$ℓ - c_{n} = \sum_{k = n}^{+ \infty} (c_{k + 1} - c_{k}) .$

Par le critère spécial des séries alternées, on peut borner ce reste par la valeur absolue de son premier terme

$| ℓ - c_{n} | \leq \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}} .$

On peut ainsi écrire

$c_{n} = ℓ + o (\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}) .$

On a alors

$a_{n} + r b_{n} = b_{n} (c_{n} + r) = b_{n} (ℓ + r) + o (\frac{1}{b_{n + 1}}) .$

Sachant $b_{n} \to + \infty$ , on peut affirmer

$a_{n} + r b_{n} \to 0 \Leftrightarrow r = - ℓ .$

Emploi du critère spécial des séries alternées