[<] Quotient de deux termes successifs [>] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente

 
Exercice 1  3750     MINES (MP)Correction  

Soit (un) une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose

vn=un+1Sn avec Sn=k=0nuk.

Montrer que les séries un et vn ont même nature.

Solution

Puisque la suite (Sn) est croissante

0vnun+1S00

et donc vn0. On en tire

vnln(1+vn)=ln(Sn+1Sn)=ln(Sn+1)-ln(Sn).

La série un converge si, et seulement si, la suite ln(Sn) converge et donc si, et seulement si, la série télescopique (ln(Sn+1)-ln(Sn)) converge. Par équivalence de série à termes positifs, cela équivaut à affirmer la convergence de la série vn.

 
Exercice 2  2956     X (MP)Correction  

Soit (un)n1 une suite de réels strictement positifs.

On pose, pour n*,

vn=unSn avec Sn=u1++un.

Déterminer la nature de vn.

Solution

Si un converge alors en notant S sa somme (strictement positive), vnun/S et donc vn converge.
Supposons désormais que un diverge et montrons qu’il en est de même de vn.
Par la décroissante de t1/t, on a

Sn-1SndttSn-Sn-1Sn-1=unSn-1.

En sommant ces inégalités

S1Sndttk=2nukSk-1.

Or

S1Sndtt=ln(Sn)-ln(S1)+

car Sn+ donc par comparaisonunSn-1 diverge.
Puisque

unSn-1=unSn-un=vn11-vn.

Si vn↛0 alors vn diverge.
Si vn0 alors vnunSn-1 et à nouveau vn diverge.

Finalement, les séries un et vn sont de même nature.

 
Exercice 3  2959     X (MP)

Soit (un)n une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Déterminer la nature de la série de terme général

un+1-unun.
 
Exercice 4  2958     X (MP)Correction  

Soit (un) une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général un converge.
On note le reste d’ordre n

Rn=k=n+1+uk.

Étudier la nature des séries de termes généraux un/Rn et un/Rn-1.

Solution

un=Rn-1-Rn et la décroissance de t1/t,

RnRn-1dttRn-1-RnRn=unRn.

On a

RnRn-1dtt=ln(Rn-1)-ln(Rn)

donc la série à termes positifs RnRn-1dtt diverge car ln(Rn)- puisque Rn0.
Par comparaison de séries à termes positifs, un/Rn diverge.

unRn=unRn-1-un=unRn-111-un/Rn-1.

Si un/Rn-1↛0 alors un/Rn-1 diverge.
Si un/Rn-10 alors unRn-1unRn et donc un/Rn-1 diverge encore.
Dans tous les cas, un/Rn-1 diverge.

 
Exercice 5  3716     CCP (MP)Correction  

Soient (an) une suite de réels strictement positifs et Sn=k=0nak.

  • (a)

    On suppose que la série an converge, donner la nature de anSn.

  • (b)

    On suppose que la série an diverge, montrer

    anSn21Sn-1-1Snpour tout n*.

    En déduire la nature de anSn2.

  • (c)

    On suppose toujours la divergence de la série an. Quelle est la nature de anSn?

Solution

  • (a)

    Puisque la série an converge, on peut introduire sa somme

    S=n=0+an.

    Les termes sommés étant strictement positifs, on a S>0 et SnS donne alors

    Snn+S.

    On en déduit

    anSnn+anS.

    La série an converge, donc an/S converge aussi et, par équivalence de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de la série anSn.

  • (b)

    Comme les termes sont positifs, on a SnSn-1 et donc

    anSn2Sn-Sn-1SnSn-1=1Sn-1-1Sn.

    La série à termes positifs an étant supposée divergente, la suite (Sn) tend vers + et donc (1/Sn) est de limite nulle. La nature de la série un-un-1 étant celle de la suite (un), on peut affirmer la convergence de la série

    1Sn-1-1Sn

    puis celle de anSn2 par comparaison de séries à termes positifs.

  • (c)

    On peut écrire

    anSn=Sn-Sn-1Sn=1-Sn-1Sn.

    Si (Sn-1/Sn) ne tend pas vers 1, la série étudiée diverge grossièrement.
    Si (Sn-1/Sn) tend vers 1 alors

    ln(Sn-1Sn)n+Sn-1Sn-1

    et donc

    anSnn+ln(Sn)-ln(Sn-1).

    La suite (ln(Sn)) diverge, donc la série ln(Sn)-ln(Sn-1) diverge aussi et, enfin, anSn diverge par argument de comparaison de séries à termes positifs.

 
Exercice 6  1067    

Soit un une série divergente de réels strictement positifs. On pose

Sn=k=0nukpour tout n.
  • (a)

    Soit α>1. Étudier la nature de la série unSnα.

  • (b)

    Même question avec α1.

 
Exercice 7  5045    

Soit (un)n une suite strictement croissante de réels strictement positifs de limite +. Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:

  • (a)

    un-un-1un-1

  • (b)

    un-un-1un

  • (c)

    un-un-1unα avec α.

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Édité le 08-11-2019

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