[<] Quotient de deux termes successifs [>] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente

 
Exercice 1  3750     MINES (MP)Correction  

Soit (un) une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose

vn=un+1Sn avec Sn=k=0nuk.

Montrer que les séries un et vn ont même nature.

Solution

Puisque la suite (Sn) est croissante

0vnun+1S00

et donc vn0. On en tire

vnln(1+vn)=ln(Sn+1Sn)=ln(Sn+1)-ln(Sn).

La série un converge si, et seulement si, la suite ln(Sn) converge et donc si, et seulement si, la série télescopique (ln(Sn+1)-ln(Sn)) converge. Par équivalence de série à termes positifs, cela équivaut à affirmer la convergence de la série vn.

 
Exercice 2  2956     X (MP)Correction  

Soit (un)n1 une suite de réels strictement positifs.

On pose, pour n*,

vn=unSn avec Sn=u1++un.

Déterminer la nature de vn.

Solution

Si un converge alors en notant S sa somme (strictement positive), vnun/S et donc vn converge.
Supposons désormais que un diverge et montrons qu’il en est de même de vn.
Par la décroissante de t1/t, on a

Sn-1SndttSn-Sn-1Sn-1=unSn-1.

En sommant ces inégalités

S1Sndttk=2nukSk-1.

Or

S1Sndtt=ln(Sn)-ln(S1)+

car Sn+ donc par comparaison unSn-1 diverge.
Puisque

unSn-1=unSn-un=vn11-vn.

Si vn↛0 alors vn diverge.
Si vn0 alors vnunSn-1 et à nouveau vn diverge.

Finalement, les séries un et vn sont de même nature.

 
Exercice 3  5889   Correction  

Soit (un) une suite de réels strictement positifs de limite nulle et telle que un diverge. Pour n, on pose

Sn=k=0nuketPn=k=1n(1-ukSk).

Étudier la limite de (Pn) et en déduire la nature de la série unSn.

Solution

Pour n*,

Pn=k=1nSk-ukSk=k=1nSk-1Sk=S0Sn.

Puisque un est une série à termes positifs divergente, la suite (Sn) des sommes partielles tend vers + et donc (Pn) tend vers 0.

Les différents facteurs étant strictement positifs, on peut composer par la fonction ln() et cela donne

ln(Pn)=k=1nln(1-ukSk)n+-.

La série ln(1-unSn) est donc divergente. Or

unSnn+0

et donc

ln(1-unSn)n+-unSn.

Par équivalence de séries à termes de signe constant, unSn diverge.

 
Exercice 4  2959     X (MP)

Soit (un)n une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Déterminer la nature de la série de terme général

un+1-unun.
 
Exercice 5  2958     X (MP)Correction  

Soit (un) une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général un converge.
On note le reste d’ordre n

Rn=k=n+1+uk.

Étudier la nature des séries de termes généraux un/Rn et un/Rn-1.

Solution

un=Rn-1-Rn et la décroissance de t1/t,

RnRn-1dttRn-1-RnRn=unRn.

On a

RnRn-1dtt=ln(Rn-1)-ln(Rn)

donc la série à termes positifs RnRn-1dtt diverge car ln(Rn)- puisque Rn0.
Par comparaison de séries à termes positifs, un/Rn diverge.

unRn=unRn-1-un=unRn-111-un/Rn-1.

Si un/Rn-1↛0 alors un/Rn-1 diverge.
Si un/Rn-10 alors unRn-1unRn et donc un/Rn-1 diverge encore.
Dans tous les cas, un/Rn-1 diverge.

 
Exercice 6  5887   Correction  

Soit (an) une suite de réels strictement positifs telle que la série an converge.

Pour n, on introduit

Rn=k=n+1+ak.
  • (a)

    Établir

    n,an+1Rn2(Rn-Rn+1).
  • (b)

    En déduire la nature de la série

    an+1Rn.

Solution

  • (a)

    La suite (Rn) est de limite nulle. Puisque les termes an sont strictement positifs, la suite (Rn) est aussi strictement décroissante. La fonction t1/t est décroissante sur [Rn+1;Rn]]0;+[ et donc

    Rn+1Rn1tdtRn+1Rn1Rndt

    ce qui se relit

    [2t]RnRn+1Rn-Rn+1Rn.

    Cela donne l’inégalité11 1 Une démarche alternative consiste à appliquer l’inégalité des accroissements finis à tt entre Rn+1 et Rn. voulue.

  • (b)

    La série télescopique 2(Rn-Rn+1) a la nature de la suite (Rn)n, c’est donc une série convergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série an+1Rn converge.

 
Exercice 7  3716     CCINP (MP)Correction  

Soient (an) une suite de réels strictement positifs et Sn=k=0nak.

  • (a)

    On suppose que la série an converge, donner la nature de anSn.

  • (b)

    On suppose que la série an diverge, montrer

    anSn21Sn11Snpour tout n*.

    En déduire la nature de anSn2.

  • (c)

    On suppose toujours la divergence de la série an. Quelle est la nature de anSn?

Solution

  • (a)

    Puisque la série an converge, on peut introduire sa somme

    S=n=0+an.

    Les termes sommés étant strictement positifs, on a S>0 et Snn+S donne alors

    Snn+S.

    On en déduit

    anSnn+anS.

    La série an converge, donc an/S converge aussi et, par équivalence de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de la série anSn.

  • (b)

    Comme les termes sont positifs, on a SnSn1 et donc

    anSn2=SnSn1SnSnSnSn1SnSn1=1Sn11Sn.

    La série à termes positifs an étant supposée divergente, la suite (Sn) tend vers + et donc (1/Sn) est de limite nulle. La nature de la série télescopique (unun1) étant celle de la suite (un), on peut affirmer la convergence de la série

    (1Sn11Sn)

    puis celle de anSn2 par comparaison de séries à termes positifs.

  • (c)

    On peut écrire

    anSn=SnSn1Sn=1Sn1Sn.

    Cas: (Sn1/Sn) ne tend pas vers 1. La série étudiée diverge grossièrement.

    Cas: (Sn1/Sn) tend vers 1. On emploie l’équivalent

    ln(x)x1x1

    pour affirmer

    Sn1Sn1n+ln(Sn1Sn)

    et donc

    anSnn+ln(Sn1Sn)=ln(Sn)ln(Sn1).

    La suite (ln(Sn)) diverge. Par le lien suite-série, la série (ln(Sn)ln(Sn1)) diverge aussi. Par équivalence de séries à termes positifs, la série anSn diverge.

 
Exercice 8  1067    

Soit un une série divergente de réels strictement positifs. On pose

Sn=k=0nukpour tout n.
  • (a)

    Soit α>1. Étudier la nature de la série unSnα.

  • (b)

    Même question avec α1.

 
Exercice 9  5045    

Soit (un)n une suite strictement croissante de réels strictement positifs de limite +. Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:

  • (a)

    un-un-1un-1

  • (b)

    un-un-1un

  • (c)

    un-un-1unα avec α.

[<] Quotient de deux termes successifs [>] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente



Édité le 14-10-2023

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax