[<] Quotient de deux termes successifs [>] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente
Soit une suite réelle strictement positive et convergeant vers 0. On pose
Montrer que les séries et ont même nature.
Solution
Puisque la suite est croissante
et donc . On en tire
La série converge si, et seulement si, la suite converge et donc si, et seulement si, la série télescopique converge. Par équivalence de série à termes positifs, cela équivaut à affirmer la convergence de la série .
Soit une suite de réels strictement positifs.
On pose, pour ,
Déterminer la nature de .
Solution
Si converge alors en notant sa somme (strictement positive), et donc converge.
Supposons désormais que diverge et montrons qu’il en est de même de .
Par la décroissante de , on a
En sommant ces inégalités
Or
car donc par comparaison diverge.
Puisque
Si alors diverge.
Si alors et à nouveau diverge.
Finalement, les séries et sont de même nature.
Soit une suite de réels strictement positifs de limite nulle et telle que diverge. Pour , on pose
Étudier la limite de et en déduire la nature de la série .
Solution
Pour ,
Puisque est une série à termes positifs divergente, la suite des sommes partielles tend vers et donc tend vers .
Les différents facteurs étant strictement positifs, on peut composer par la fonction et cela donne
La série est donc divergente. Or
et donc
Par équivalence de séries à termes de signe constant, diverge.
Soit une suite réelle strictement positive et strictement croissante.
Déterminer la nature de la série de terme général
Soit une suite réelle strictement positive telle que la série de terme général converge.
On note le reste d’ordre
Étudier la nature des séries de termes généraux et .
Solution
et la décroissance de ,
On a
donc la série à termes positifs diverge car puisque .
Par comparaison de séries à termes positifs, diverge.
Si alors diverge.
Si alors et donc diverge encore.
Dans tous les cas, diverge.
Soit une suite de réels strictement positifs telle que la série converge.
Pour , on introduit
Établir
En déduire la nature de la série
Solution
La suite est de limite nulle. Puisque les termes sont strictement positifs, la suite est aussi strictement décroissante. La fonction est décroissante sur et donc
ce qui se relit
Cela donne l’inégalité11 1 Une démarche alternative consiste à appliquer l’inégalité des accroissements finis à entre et . voulue.
La série télescopique a la nature de la suite , c’est donc une série convergente. Par comparaison de séries à termes positifs, la série converge.
Soient une suite de réels strictement positifs et .
On suppose que la série converge, donner la nature de .
On suppose que la série diverge, montrer
En déduire la nature de .
On suppose toujours la divergence de la série . Quelle est la nature de ?
Solution
Puisque la série converge, on peut introduire sa somme
Les termes sommés étant strictement positifs, on a et donne alors
On en déduit
La série converge, donc converge aussi et, par équivalence de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de la série .
Comme les termes sont positifs, on a et donc
La série à termes positifs étant supposée divergente, la suite tend vers et donc est de limite nulle. La nature de la série télescopique étant celle de la suite , on peut affirmer la convergence de la série
puis celle de par comparaison de séries à termes positifs.
On peut écrire
Cas: ne tend pas vers . La série étudiée diverge grossièrement.
Cas: tend vers . On emploie l’équivalent
pour affirmer
et donc
La suite diverge. Par le lien suite-série, la série diverge aussi. Par équivalence de séries à termes positifs, la série diverge.
Soit une série divergente de réels strictement positifs. On pose
Soit . Étudier la nature de la série .
Même question avec .
Soit une suite strictement croissante de réels strictement positifs de limite . Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants:
avec .
[<] Quotient de deux termes successifs [>] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente
Édité le 14-10-2023
Bootstrap 3 - LaTeXML - Powered by MathJax