Posons $u_n$ le terme général de la suite étudiée.

$$u_{3n+3}=\sum _{k=1}^n\frac{a}{\sqrt{3k+1}}+\frac{b}{\sqrt{3k+2}}+\frac{c}{\sqrt{3k+3}}\text{.}$$

Or

$$\frac{a}{\sqrt{3k+1}}+\frac{b}{\sqrt{3k+2}}+\frac{c}{\sqrt{3k+3}}=\frac{a+b+c}{\sqrt{3k}}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)$$

donc $a+b+c=0$ est une condition nécessaire pour la convergence de $(u_{3n+3})$ et donc a fortiori pour la convergence de $(u_n)$. Inversement, si cette condition est satisfaite alors

$$\frac{a}{\sqrt{3k+1}}+\frac{b}{\sqrt{3k+2}}+\frac{c}{\sqrt{3k+3}}=\mathrm{O}\left(\frac{1}{k\sqrt{k}}\right)$$

et donc $(u_{3n+3})$ converge.
De plus, $u_{3n+1}=u_{3n+3}+\mathrm{o}(1)$ et $u_{3n+2}=u_{3n+3}+\mathrm{o}(1)$ donc les trois suites $(u_{3n+1})$, $(u_{3n+2})$ et $(u_{3n+3})$ convergent vers une même limite, on peut donc conclure que $(u_n)$ converge.

On a

$$u_n={\left(1-\frac{1}{n^{\alpha }}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n^{\alpha }}\right)\right)}^n=\exp \left(-\frac{1}{n^{\alpha -1}}+\mathrm{o}\left(\frac{1}{n^{\alpha -1}}\right)\right)\text{.}$$

Si $\alpha \ge 1$ alors $(u_n)$ ne tend pas vers zéro et $\sum u_n$ est grossièrement divergente.
Si $\alpha \in ]0;1[$ alors $n^2{u}_n\to 0$ et $\sum u_n$ est convergente.

Pour $t\in [0;1/n]$, on peut affirmer $t^n\in [0;1/n]$ donc

$$\left|{\int }_0^{1/n}f(t^n)dt-\frac{1}{n}f(0)\right|\le \frac{1}{n}\underset{t\in [0;1/n]}{sup}\left|f(t)-f(0)\right|\text{.}$$

Par continuité de $f$ en 0, on peut affirmer,

$$\underset{t\in [0;1/n]}{sup}\left|f(t)-f(0)\right|\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}0$$

et donc

$${\int }_0^{1/n}f(t^n)dt\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{1}{n}f(0)\text{.}$$

Ainsi,

$$u_n\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{f(0)}{n^{\alpha +1}}\text{.}$$

Par équivalence de séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge si, et seulement si, $\alpha >0$.

• (a)

  $u_n>0$ et

  $$\ln (u_n)=\sum _{k=1}^n\ln \left(1+\frac{a-1}{k}\right)\text{.}$$

  Si $a=1$ alors $u_n=1\to 1$.

  Si $a>1$ alors

  $$\ln \left(1+\frac{a-1}{n}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{a-1}{n}$$

  donc $\ln (u_n)\to +\mathrm{\infty }$ puis $u_n\to +\mathrm{\infty }$.

  Si $a<1$ alors $\ln (u_n)\to -\mathrm{\infty }$ et donc $u_n\to 0$.

• (b)

  Si $a\ge 1$ il y a divergence grossière de la série.
  Si $a\in ]0;1[$ alors

  $$\ln (u_n)\sim \sum _{k=1}^n\frac{a-1}{k}=(a-1)\ln (n)$$

  et donc

  $$\ln (n{u}_n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\ln (n)+(a-1)\ln (n)+\mathrm{o}\left(\ln (n)\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }a\ln (n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\text{.}$$

  Ainsi $n{u}_n\to +\mathrm{\infty }$ et à partir d’un certain rang $u_n\ge 1/n$.
  La série de terme général $u_n$ s’avère divergente

• (a)

  $$\ln (u_{n+1})-\ln (u_n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\sim }-\frac{1}{2}\cdot \frac{x}{n}$$

  avec $x>0$ donc

  $$\sum _{k=1}^n\ln (u_{k+1})-\ln (u_k)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}-\mathrm{\infty }$$

  puis $u_n\to 0$.

• (b)

  Pour $\alpha =-x/2$,

  $$\ln (u_{n+1})-\ln (u_n)-\alpha \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)$$

  donc il y a convergence de

  $$\sum \left(\ln (u_{n+1})-\ln (u_n)-\alpha \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)\text{.}$$

• (c)

  Puisque

  $$\ln (u_{n+1})-\ln (u_n)-\alpha \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \left(\frac{u_{n+1}}{{(n+1)}^{\alpha }}\right)-\ln \left(\frac{u_n}{n^{\alpha }}\right)$$

  la suite de terme général $\ln \left(\frac{u_n}{n^{\alpha }}\right)$ converge puis

  $$\frac{u_n}{n^{\alpha }}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}A$$

  avec $A>0$.

• (d)

  Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum u_n$ converge si, et seulement si, $\alpha <-1$ c’est-à-dire $x>2$.

Notons $T\in {\mathbb{N}}^{*}$ une période de ${(u_n)}_{n\ge 1}$:

$$\forall n\in {\mathbb{N}}^{*},u_{n+T}=u_n\text{.}$$

Cas: $\alpha \le 0$. La suite $\left(u_n/n^{\alpha }\right)$ ne tend pas vers $0$ et la série étudiée diverge grossièrement.

Cas: $\alpha >1$. On vérifie

$$\frac{u_n}{n^{\alpha }}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{n^{\alpha }}\right)$$

et la série converge (absolument).

Cas: $\alpha \in ]0;1]$. Pour $N\in {\mathbb{N}}^{*}$, introduisons la somme partielle

$$S_N=\sum _{n=1}^N\frac{u_n}{n^{\alpha }}\text{.}$$

En regroupant les termes sommés, pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

	$S_{nT}$	$={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\left({\displaystyle \frac{u_{kT+1}}{{(kT+1)}^{\alpha }}}+\mathrm{\cdots }+{\displaystyle \frac{u_{kT+T}}{{(kT+T)}^{\alpha }}}\right)$
		$={\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}}\left({\displaystyle \frac{u_1}{{(kT+1)}^{\alpha }}}+\mathrm{\cdots }+{\displaystyle \frac{u_T}{{(kT+T)}^{\alpha }}}\right)\text{.}$

On a

$$\frac{1}{{(kT+j)}^{\alpha }}\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{=}\frac{1}{k^{\alpha }{T}^{\alpha }}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{k^{\alpha +1}}\right)$$

et donc

$$\frac{u_1}{{(kT+1)}^{\alpha }}+\mathrm{\cdots }+\frac{u_T}{{(kT+T)}^{\alpha }}\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{=}\frac{u_1+\mathrm{\cdots }+u_T}{k^{\alpha }{T}^{\alpha }}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{k^{\alpha +1}}\right)\text{.}$$

Sous-cas: $u_1+\mathrm{\cdots }+u_T\ne 0$. On a

$$\frac{u_1+\mathrm{\cdots }+u_T}{k^{\alpha }{T}^{\alpha }}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{k^{\alpha +1}}\right)\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{\sim }\frac{C}{k^{\alpha }}\text{ avec }C\ne 0\text{ et }\alpha \in ]0;1]\text{.}$$

Par équivalence de séries à termes de signe constant, la série

$$\sum \left(\frac{u_1}{{(kT+1)}^{\alpha }}+\mathrm{\cdots }+\frac{u_T}{{(kT+T)}^{\alpha }}\right)$$

diverge et donc ${\displaystyle \sum \frac{u_n}{n^{\alpha }}}$ diverge aussi.

Sous-cas: $u_1+\mathrm{\cdots }+u_T=0$. On a

$$\frac{u_1+\mathrm{\cdots }+u_T}{k^{\alpha }{T}^{\alpha }}+\mathrm{O}\left(\frac{1}{k^{\alpha +1}}\right)\underset{k\to +\mathrm{\infty }}{=}\mathrm{O}\left(\frac{1}{k^{\alpha +1}}\right)\text{ avec }C\ne 0\text{ et }\alpha +1>1\text{.}$$

Par comparaison, la série

$$\sum \left(\frac{u_1}{{(kT+1)}^{\alpha }}+\mathrm{\cdots }+\frac{u_T}{{(kT+T)}^{\alpha }}\right)$$

converge absolument. On en déduit que la suite extraite ${(S_{nT})}_{n\ge 1}$ admet une limite finie. Puisque les termes sommés sont de limite nulle, les suites extraites ${(S_{nT+j})}_{n\ge 1}$ pour $j=1,\mathrm{\dots },T$ admettent la même limite et la série ${\displaystyle \sum \frac{u_n}{n^{\alpha }}}$ converge.