[<] Nature de séries à termes positifs abstraites [>] Convergence absolue

 
Exercice 1  1081  Correction  

Déterminer en fonction du paramètre α la nature des séries de termes généraux:

  • (a)

    un=e-nα

  • (b)

    un=ln(n)nα

  • (c)

    un=exp(-(ln(n))α)

Solution

  • (a)

    Si α0, il y a divergence grossière. Si α>0 alors n2un0 et la série est absolument convergente.

  • (b)

    Si α1 alors un1/n pour n assez grand et il y a divergence par comparaison de séries à termes positifs.
    Si α>1 alors pour γ]1;α[ on a nγun0 et il y a absolue convergence.

  • (c)

    Si α1 alors un1 et la série est grossièrement divergente.
    Si α>1 alors n2un=exp(2ln(n)-(ln(n))α)0 donc la série est absolument convergente.

 
Exercice 2  1086  Correction  

Soit λ un réel. Étudier la nature des séries de terme général

un=λn1+λ2n,vn=λ2n1+λ2n,wn=11+λ2n.

Solution

Si |λ|=1 il y a divergence grossière dans les trois cas.
Si |λ|>1 alors un1λn, vn1 et wn1λ2n. Les séries un et wn convergent et vn diverge.
Si |λ|<1 alors unλn, vnλ2n et wn1. Les séries un et vn convergent tandis que wn diverge.

 
Exercice 3  1083     CENTRALE (MP)Correction  

Soient a,b. Déterminer la nature de la série

n1(ln(n)+aln(n+1)+bln(n+2)).

Calculer la somme lorsqu’il y a convergence.

Solution

On a

ln(n)+aln(n+1)+bln(n+2)=(1+a+b)ln(n)+a+2bn+O(1n2).

Il y a convergence si, et seulement si, 1+a+b=0 et a+2b=0 ce qui correspond à a=-2 et b=1.
Dans ce cas:

n=1Nln(n)+aln(n+1)+bln(n+2)=n=1Nln(n)-2n=2N+1ln(n)+n=3N+2ln(n)

puis

n=1Nln(n)+aln(n+1)+bln(n+2)=ln(1)+ln(2)-2ln(2)-2ln(N+1)+ln(N+1)+ln(N+2)-ln(2).
 
Exercice 4  1084   

Soient a,b. Déterminer la nature de la série

n1(n+an+1+bn+2)

et calculer sa somme lorsqu’il y a convergence.

 
Exercice 5  1085   Correction  

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les réels a,b,c pour qu’il y ait convergence de la suite de terme général

a1+b2+c3+a4+b5+c6+

Solution

Posons un le terme général de la suite étudiée.

u3n+3=k=1na3k+1+b3k+2+c3k+3.

Or

a3k+1+b3k+2+c3k+3=a+b+c3k+o(1k)

donc a+b+c=0 est une condition nécessaire pour la convergence de (u3n+3) et donc a fortiori pour la convergence de (un). Inversement, si cette condition est satisfaite alors

a3k+1+b3k+2+c3k+3=O(1kk)

et donc (u3n+3) converge.
De plus, u3n+1=u3n+3+o(1) et u3n+2=u3n+3+o(1) donc les trois suites (u3n+1), (u3n+2) et (u3n+3) convergent vers une même limite, on peut donc conclure que (un) converge.

 
Exercice 6  2799     MINES (MP)Correction  

Soient α>0 et (un) une suite de réels strictement positifs vérifiant

un1/n=1-1nα+o(1nα).

La série de terme général un converge-t-elle?

Solution

On a

un=(1-1nα+o(1nα))n=exp(-1nα-1+o(1nα-1)).

Si α1 alors (un) ne tend pas vers zéro et un est grossièrement divergente.
Si α]0;1[ alors n2un0 et un est convergente.

 
Exercice 7  2798     MINES (MP)Correction  

Soient α et f𝒞0([0;1],) telle que f(0)0. Étudier la convergence de la série de terme général

un=1nα01/nf(tn)dt.

Solution

Pour t[0;1/n], on peut affirmer tn[0;1/n] donc

|01/nf(tn)dt-1nf(0)|1nsupt[0;1/n]|f(t)-f(0)|.

Par continuité de f en 0, on peut affirmer,

supt[0;1/n]|f(t)-f(0)|n+0

et donc

01/nf(tn)dtn+1nf(0).

Ainsi,

unn+f(0)nα+1

Par équivalence de séries à termes positifs, un converge si, et seulement si, α>0.

 
Exercice 8  1071   Correction  

Soit a>0.

  • (a)

    Déterminer la limite de la suite de terme général

    un=a(a+1)(a+n-1)n!.
  • (b)

    Quelle est la nature de la série de terme général un?

Solution

  • (a)

    un>0 et

    ln(un)=k=1nln(1+a-1k).

    Si a=1 alors un=11.

    Si a>1 alors

    ln(1+a-1n)n+a-1n

    donc ln(un)+ puis un+.

    Si a<1 alors ln(un)- et donc un0.

  • (b)

    Si a1 il y a divergence grossière de la série.
    Si a]0;1[ alors

    ln(un)k=1na-1k=(a-1)ln(n)

    et donc

    ln(nun)=n+ln(n)+(a-1)ln(n)+o(ln(n))n+aln(n)n++.

    Ainsi nun+ et à partir d’un certain rang un1/n.
    La série de terme général un s’avère divergente

 
Exercice 9  2429     CENTRALE (MP)Correction  

On fixe x+*. Pour n*, on pose

un=n!xnk=1nln(1+xk).
  • (a)

    Étudier la suite de terme général ln(un+1)-ln(un).
    En déduire que la suite (un)n1 converge et préciser sa limite.

  • (b)

    Établir l’existence de α tel que la série de terme général:

    ln(un+1)-ln(un)-αln(1+1n)

    converge.

  • (c)

    Établir l’existence de A* tel que unAnα.

  • (d)

    Étudier la convergence de la série de terme général un.

Solution

  • (a)
    ln(un+1)-ln(un)n+-12xn

    avec x>0 donc

    k=1nln(uk+1)-ln(uk)n+-

    puis un0.

  • (b)

    Pour α=-x/2,

    ln(un+1)-ln(un)-αln(1+1n)=n+O(1n2)

    donc il y a convergence de

    (ln(un+1)-ln(un)-αln(1+1n)).
  • (c)

    Puisque

    ln(un+1)-ln(un)-αln(1+1n)=ln(un+1(n+1)α)-ln(unnα)

    la suite de terme général ln(unnα) converge puis

    unnαn+A

    avec A>0.

  • (d)

    Par comparaison de séries à termes positifs,un converge si, et seulement si, α<-1 c’est-à-dire x>2.

 
Exercice 10  5350      MINES (MP)Correction  

Soit (un)n1 une suite réelle non nulle et périodique.

Étudier pour α la nature de la série unnα.

Solution

Notons T* une période de (un)n1:

n*,un+T=un.

Cas: α0. La suite (un/nα) ne tend pas vers 0 et la série étudiée diverge grossièrement.

Cas: α>1. On vérifie

unnα=n+O(1nα)

et la série converge (absolument).

Cas: α]0;1]. Pour N*, introduisons la somme partielle

SN=n=1Nunnα.

En regroupant les termes sommés, pour n*

SnT =k=0n-1(ukT+1(kT+1)α++ukT+T(kT+T)α)
=k=0n-1(u1(kT+1)α++uT(kT+T)α).

On a

1(kT+j)α=k+1kαTα+O(1kα+1)

et donc

u1(kT+1)α++uT(kT+T)α=k+u1++uTkαTα+O(1kα+1).

Sous-cas: u1++uT0. On a

u1++uTkαTα+O(1kα+1)k+Ckα avec C0 et α]0;1].

Par équivalence de séries à termes de signe constant, la série

(u1(kT+1)α++uT(kT+T)α)

diverge et donc unnα diverge aussi.

Sous-cas: u1++uT=0. On a

u1++uTkαTα+O(1kα+1)=k+O(1kα+1) avec C0 et α+1>1.

Par comparaison, la série

(u1(kT+1)α++uT(kT+T)α)

converge absolument. On en déduit que la suite extraite (SnT)n1 admet une limite finie. Puisque les termes sommés sont de limite nulle, les suites extraites (SnT+j)n1 pour j=1,,T admettent la même limite et la série unnα converge.

 
Exercice 11  4915    

(Séries de Bertrand11 1 Cette étude généralise celle des séries de Riemann (qui correspond au cas β=0).)

Dans ce sujet, on souhaite déterminer selon les valeurs de α,β la nature de la série un avec

un=1nα(ln(n))β pour n2.
  • (a)

    On suppose α<1. Déterminer la limite de nun quand n tend vers l’infini. Quelle est la nature de la série un?

  • (b)

    On suppose α>1 et l’on introduit λ]1;α[. Déterminer la limite de nλun quand n tend vers l’infini. Quelle est la nature de la série un?

  • (c)

    On suppose α=1 et β1 et l’on introduit

    vn=(ln(n))1-βpour n2.

    Déterminer un équivalent de vn+1-vn quand n croît vers l’infini. En déduire la nature de la série de terme général un en fonction de β.

  • (d)

    On suppose pour finir α=β=1. Déterminer la nature de un en introduisant

    wn=ln(ln(n))pour n2.

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Édité le 08-11-2019

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