[<] Nature de séries dépendant d'un paramètre via comparaison intégrale [>] Série dont le terme est défini par récurrence

 
Exercice 1  4913  

Soit α un réel positif. Déterminer un équivalent quand n tend vers l’infini de

Sn=k=1nkα.
 
Exercice 2  4911  

Déterminer un équivalent quand n tend vers l’infini de

Hn=k=1n1k.
 
Exercice 3  1059  Correction  

Soit α<1. Déterminer un équivalent de

k=1n1kα.

Solution

Selon que α<0 ou α0, on encadre 1/kα en exploitant la monotonie de x1/xα.
Sachant que

dttα=11-αt1-α+Ctet++

on obtient

k=1n1kαn1-α1-α.
 
Exercice 4  4912  

Soit α un réel strictement supérieur à 1. Déterminer un équivalent quand n tend vers l’infini de

Rn=k=n+1+1kα.
 
Exercice 5  1032   Correction  

Montrer la convergence de

k=0+1k!

puis la majoration du reste

k=n+1+1k!1nn!.

Solution

La convergence de k=0+1k! s’obtient entre autre par le critère d’Alembert puisque

|1/(k+1)!1/k!|=1k+1k+0<1.

On peut alors majorer le reste de la série en prenant appui sur une somme géométrique

k=n+1+1k!1n!(1n+1+1(n+1)2+)=1n!1n+111-1/n+1=1nn!.

Notons que raisonner par récurrence ne marche pas.

 
Exercice 6  4916   

Déterminer un équivalent quand n croît vers l’infini de

k=2n1kln(k).
 
Exercice 7  1066   Correction  

Pour α>1, on pose

SN=n=1N1nαetRN=n=N+1+1nα.

Étudier la nature de la série n1RnSn selon la valeur du réel α.

Solution

Puisque x1xα est décroissante,

nn+1dxxα1nαn-1ndxxα

donc

N+1+dxxαRNN+dxxα

d’où l’on obtient

Rnn+1(α-1)nα-1

puis

RnSnn+1(α-1)Snα-1.

La série n1RnSn converge si, et seulement si, α>2.

 
Exercice 8  1063   

Déterminer la nature de la série de terme général

un=k=n+1+1k2.
 
Exercice 9  3047      X (MP)Correction  

Soit (un) une suite complexe telle que pour tout p*, upn-un0. Peut-on affirmer que la suite (un) converge?

Solution

Non. En effet, considérons

un=k=2n1kln(k).

Pour tout p*, on a

unp-un=k=n+1np1kln(k)

On en déduit

0unp-unnp-(n+1)+1nln(n)=p-1ln(n)n+0

alors que

unk=2nkk+1dttln(t)=2n+1dttln(t)=[ln(ln(t))]2n+1+.

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Édité le 08-11-2019

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