[<] Nature de séries à termes positifs concrètes [>] Nature de séries dépendant d'un paramètre

 
Exercice 1  3355  Correction  

Soient (un)n une suite de réels positifs et (vn)n la suite déterminée par

vn=u2n+u2n+1.

Montrer

un converge vn converge.

Solution

Supposons la convergence de la série un.
Pour tout n

k=0nvk=k=0n(u2k+u2k+1)=k=02n+1ukk=0+uk.

Puisque vn est une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées, celle-ci converge.
Supposons la convergence de la série vn. Pour tout n

k=0nukk=0n/2vkk=0+vk.

Puisque un est une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées, celle-ci converge. En substance, on observe aussi

n=0+un=n=0+vn.
 
Exercice 2  1022  Correction  

Soient un et vn deux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer que les suivantes sont aussi convergentes

max(un,vn),unvnetunvnun+vn.

Solution

On exploite les comparaisons

max(un,vn)un+vn,unvn12(un+vn)

(obtenue par 2ab(a2+b2)). Aussi,

unvnun+vn=unun+vnvnvn.

Par comparaison de série à termes positifs, on peut alors conclure.

 
Exercice 3  1023  Correction  

Soit un une série à termes positifs convergente.

  • (a)

    Étudier la convergence de unun+1.

  • (b)

    Que dire de la réciproque?

  • (c)

    On suppose (un) décroissante. Montrer la réciproque.

Solution

  • (a)

    Puisque 2aba2+b2 on a

    unun+112(un+un+1).

    Or un et un+1 convergent. Par comparaison de séries à termes positifs, unun+1 converge.

  • (b)

    La réciproque est fausse. Prendre

    un={1/n4si n est impair1si n est pair.
  • (c)

    Si la suite (un) est décroissante

    ununun-1pour tout n1

    et donc un converge.

 
Exercice 4  5025  

Soit an une série convergente à termes strictement positifs.

À quelle condition existe-t-il une suite (bn) de réels strictement positifs telle que

anbnetbnconvergent?
 
Exercice 5  2447  Correction  

Soit an une série à termes positifs convergente.
Peut-on préciser la nature de la série de terme général

un=a0a1an?.

Solution

La série de terme général un est convergente.
En effet, puisque an converge, an0 et donc il existe un rangN tel que

nN,an1.

En posant M=a0a1aN-1, on peut écrire pour tout nN

0unMaNan-1anMan.

Par comparaison de série à termes positifs, on obtient la convergence voulue.

 
Exercice 6  1024   

(Règle de Cauchy)

Soit un une série à termes positifs. On suppose que

unnn++.
  • (a)

    Montrer que, si >1, alors la série un diverge.

  • (b)

    Montrer que, si <1, alors la série un converge.

  • (c)

    Observer que, dans le cas =1, on ne peut rien conclure.

 
Exercice 7  3225   

Soit f:[1;+[ une fonction de classe 𝒞1 strictement positive telle que

xf(x)f(x)x+{±}.
  • (a)

    On suppose >-1. Montrer la divergence de la série f(n).

  • (b)

    On suppose <-1. Montrer la convergence de la série f(n).

 
Exercice 8  1026   

Soient (un) une suite de réels positifs et (vn) la suite déterminée par

vn=un1+un.

Montrer que les séries un et vn sont de même nature.

 
Exercice 9  1027   Correction  

Soit (un) une suite de réels strictement positifs.

  • (a)

    Pour tout n, on pose

    vn=un1+un.

    Montrer que un et vn sont de même nature.

  • (b)

    Même question avec

    vn=unu1++un.

    On pourra étudier ln(1-vn) dans le cadre de la divergence.

Solution

  • (a)

    Si un converge alors un0 et vnun donc vn converge par équivalence de série à termes positifs. Si vn converge alors vn0 et aisément un0 donc vnun et l’on conclut comme ci-dessus.

  • (b)

    Si un converge et est de somme S alors vnun/S et l’on peut conclure.
    Si un diverge alors

    n=2Nln(1-vn)=ln(u1u1++uN)-.

    Si vn0, ln(1-vn)-vn donc vn diverge car les séries sont de signe constant.
    Si vn↛0, vn diverge grossièrement.

 
Exercice 10  3119     MINES (PC)Correction  

Soient (un)n0 et (vn)n0 dans (+) telles que

n,vn=11+n2un.

Montrer que si la série de terme général vn converge alors la série de terme général un diverge.

Solution

Supposons la série vn convergente. On a vn0+ donc 1+n2un+ et l’on en déduit

vn1n2un

puis

unvn1n.

Par comparaison de séries à termes positifs, il y a divergence de la série unvn.
Or, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

(k=0nukvk)2k=0nunk=0nvkk=0nunk=0+vk.

On en déduit la divergence de la série un.

 
Exercice 11  3674   Correction  

Soit an une série à termes strictement positifs convergente.

Établir la convergence de la série an1-1/n.

Solution

Pour n2, on observe

an1-1/n2anan12n

On a donc

an1-1/nmax(2an,1(2n)1-1/n)2(an+12n).

Par comparaison de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de an1-1/n.

 
Exercice 12  2957     X (MP)Correction  

Soit (un) une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général

k=1nuk-nun

est bornée.
Montrer que la série de terme général un converge.

Solution

Posons vn=k=1nuk-nun. On a

vn+1-vn=n(un-un+1)0.

La suite (vn) est croissante et majorée donc convergente. Posons sa limite.
On a

un-un+1=1n(vn+1-vn)

donc

k=n+(uk-uk+1)=k=n+1k(vk+1-vk)1nk=n+(vk+1-vk)

ce qui donne

un1n(-vn).

On en déduit 0nun-vn et donc nun0 puis k=1nuk.

Finalement, la série un converge.

 
Exercice 13  3235   Correction  

Soit (un)n1 une suite de réels positifs. On considère la suite (vn) définie par

vn=1n(n+1)k=1nkuk.

Montrer que les séries un et vn ont même nature et qu’en cas de convergence

n=1+un=n=1+vn.

Solution

Par permutation de sommes,

n=1Nvn=k=1Nn=kNkukn(n+1)

donc

n=1Nvn=k=1Nkukn=kN(1n-1n+1)=k=1NN+1-kN+1uk

et donc

n=1Nvn=k=1Nuk-NvN.

Supposons que la série un converge. Puisque vn est une série à termes positifs et que ses sommes partielles sont majorées car

n=1Nvnk=1Nukk=1+uk

la série vn converge.

Supposons que la série vn converge. On a

nvn=k=1nuk-k=1nvk

donc, par croissance des sommes partielles d’une série à termes positifs, la suite (nvn) admet une limite {+}.

Si cette limite est non nulle, la série vn diverge ce qui est contraire à l’hypothèse initiale. On en déduit

nvnn+0

et donc

k=1Nuk=n=1Nvn+NunN+n=1+vn.

Ainsi, un converge et

n=1+un=n=1+vn.
 
Exercice 14  5225   

Soient (un)n1 une suite réelle et (vn)n1 la suite de ses moyennes de Cesàro:

vn=1n(u1++un)pour tout n1.
  • (a)

    Montrer que

    (n+1)vn2-(n-1)vn-122unvnpour tout n2.

On suppose désormais que la série de terme général un2 converge.

  • (b)

    Montrer que la série de terme général vn2 converge et vérifier

    n=1+vn24n=1+un2.

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Édité le 08-11-2019

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