Exercice 1 3355 Correction

Soient ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite de réels positifs et ${(v_{n})}_{n \in ℕ}$ la suite déterminée par

v_{n} = u_{2 n} + u_{2 n + 1} .

Montrer

\sum u_{n} converge \Leftrightarrow \sum v_{n} converge.

Solution

Supposons la convergence de la série $\sum u_{n}$ .
Pour tout $n \in ℕ$

\sum_{k = 0}^{n} v_{k} = \sum_{k = 0}^{n} (u_{2 k} + u_{2 k + 1}) = \sum_{k = 0}^{2 n + 1} u_{k} \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} u_{k} .

Puisque $\sum v_{n}$ est une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées, celle-ci converge.
Supposons la convergence de la série $\sum v_{n}$ . Pour tout $n \in ℕ$

\sum_{k = 0}^{n} u_{k} \leq \sum_{k = 0}^{⌊ n / 2 ⌋} v_{k} \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} v_{k} .

Puisque $\sum u_{n}$ est une série à termes positifs dont les sommes partielles sont majorées, celle-ci converge. En substance, on observe aussi

\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} v_{n} .

Exercice 2 1022 Correction

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer que les suivantes sont aussi convergentes

\sum \max (u_{n}, v_{n}), \sum \sqrt{u_{n} v_{n}} et \sum \frac{u_{n} v_{n}}{u_{n} + v_{n}} .

Solution

On exploite les comparaisons

\max (u_{n}, v_{n}) \leq u_{n} + v_{n}, \sqrt{u_{n} v_{n}} \leq \frac{1}{2} (u_{n} + v_{n})

(obtenue par $2 a b \leq (a^{2} + b^{2})$ ). Aussi,

\frac{u_{n} v_{n}}{u_{n} + v_{n}} = \frac{u_{n}}{u_{n} + v_{n}} v_{n} \leq v_{n} .

Par comparaison de série à termes positifs, on peut alors conclure.

Exercice 3 1023 Correction

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes positifs convergente.

(a)

Étudier la convergence de $\sum \sqrt{u_{n} u_{n + 1}}$ .
(b)

Que dire de la réciproque?
(c)

On suppose $(u_{n})$ décroissante. Montrer la réciproque.

Solution

(a)

Puisque $2 a b \leq a^{2} + b^{2}$ on a

$\sqrt{u_{n} u_{n + 1}} \leq \frac{1}{2} (u_{n} + u_{n + 1}) .$

Or $\sum u_{n}$ et $\sum u_{n + 1}$ convergent. Par comparaison de séries à termes positifs, $\sum \sqrt{u_{n} u_{n + 1}}$ converge.
(b)

La réciproque est fausse. Prendre

$u_{n} = {\begin{matrix} 1 / n^{4} & si n est impair \\ 1 & si n est pair. \end{matrix}$
(c)

Si la suite $(u_{n})$ est décroissante

$u_{n} \leq \sqrt{u_{n} u_{n - 1}} pour tout n \geq 1$

et donc $\sum u_{n}$ converge.

Exercice 4 5025

Soit $\sum a_{n}$ une série convergente à termes strictement positifs.

À quelle condition existe-t-il une suite $(b_{n})$ de réels strictement positifs telle que

\sum \frac{a_{n}}{b_{n}} et \sum b_{n} convergent?

Exercice 5 2447 Correction

Soit $\sum a_{n}$ une série à termes positifs convergente.
Peut-on préciser la nature de la série de terme général

u_{n} = a_{0} a_{1} \dots a_{n} ?.

Solution

La série de terme général $u_{n}$ est convergente.
En effet, puisque $\sum a_{n}$ converge, $a_{n} \to 0$ et donc il existe un rang $N \in ℕ$ tel que

\forall n \geq N, a_{n} \leq 1 .

En posant $M = a_{0} a_{1} \dots a_{N - 1}$ , on peut écrire pour tout $n \geq N$

0 \leq u_{n} \leq M a_{N} \dots a_{n - 1} a_{n} \leq M a_{n} .

Par comparaison de série à termes positifs, on obtient la convergence voulue.

Exercice 6 1024

(Règle de Cauchy)

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes positifs. On suppose que

\sqrt[n]{u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} ℓ \in ℝ_{+} .

(a)

Montrer que, si $ℓ > 1$ , alors la série $\sum u_{n}$ diverge.
(b)

Montrer que, si $ℓ < 1$ , alors la série $\sum u_{n}$ converge.
(c)

Observer que, dans le cas $ℓ = 1$ , on ne peut rien conclure.

Exercice 7 3225

Soit $f : [1; + \infty [\to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ strictement positive telle que

\frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \to_{x \to + \infty}^{} ℓ \in ℝ \cup {\pm \infty} .

(a)

On suppose $ℓ > - 1$ . Montrer la divergence de la série $\sum f (n)$ .
(b)

On suppose $ℓ < - 1$ . Montrer la convergence de la série $\sum f (n)$ .

Exercice 8 1026

Soient $(u_{n})$ une suite de réels positifs et $(v_{n})$ la suite déterminée par

v_{n} = \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} .

Montrer que les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.

Exercice 9 1027 Correction

Soit $(u_{n})$ une suite de réels strictement positifs.

(a)

Pour tout $n \in ℕ$ , on pose

$v_{n} = \frac{u_{n}}{1 + u_{n}} .$

Montrer que $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.
(b)

Même question avec

$v_{n} = \frac{u_{n}}{u_{1} + \dots + u_{n}} .$

On pourra étudier $\ln (1 - v_{n})$ dans le cadre de la divergence.

Solution

(a)

Si $\sum u_{n}$ converge alors $(u_{n})$ tend vers $0$ et donc $v_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} u_{n}$ . La série $\sum v_{n}$ est alors convergente par équivalence de série à termes positifs.

Si $\sum v_{n}$ converge alors $(v_{n})$ tend vers $0$ et l’on en déduit par opérations que

$u_{n} = \frac{v_{n}}{1 - v_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

On conclut comme ci-dessus.
(b)

Si $\sum u_{n}$ converge et est de somme $S$ alors

$v_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{S} u_{n}$

On peut alors conclure que $\sum v_{n}$ converge.

Si $\sum u_{n}$ diverge alors

$\sum_{n = 2}^{N} \ln (1 - v_{n}) = \ln (\frac{u_{1}}{u_{1} + \dots + u_{N}}) \to_{n \to + \infty}^{} - \infty .$

Cas: $(v_{n})$ tend vers $0$ . On a

$- \ln (1 - v_{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} v_{n}$

Par équivalence de séries à termes positifs, $\sum v_{n}$ diverge.

Cas: $(v_{n})$ ne tend pas vers $0$ . La série $\sum v_{n}$ diverge grossièrement.

Exercice 10 3119 MINES (PC)Correction

Soient ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ et ${(v_{n})}_{n \geq 0}$ dans ${(ℝ_{+})}^{ℕ}$ telles que

\forall n \in ℕ, v_{n} = \frac{1}{1 + n^{2} u_{n}} .

Montrer que si la série de terme général $v_{n}$ converge alors la série de terme général $u_{n}$ diverge.

Solution

Supposons la série $\sum v_{n}$ convergente. On a $v_{n} \to 0^{+}$ donc $1 + n^{2} u_{n} \to + \infty$ et l’on en déduit

v_{n} \sim \frac{1}{n^{2} u_{n}}

puis

\sqrt{u_{n} v_{n}} \sim \frac{1}{n} .

Par comparaison de séries à termes positifs, il y a divergence de la série $\sum \sqrt{u_{n} v_{n}}$ .
Or, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

{(\sum_{k = 0}^{n} \sqrt{u_{k} v_{k}})}^{2} \leq \sum_{k = 0}^{n} u_{n} \sum_{k = 0}^{n} v_{k} \leq \sum_{k = 0}^{n} u_{n} \sum_{k = 0}^{+ \infty} v_{k} .

On en déduit la divergence de la série $\sum u_{n}$ .

Exercice 11 3674 Correction

Soit $\sum a_{n}$ une série à termes strictement positifs convergente.

Établir la convergence de la série $\sum a_{n}^{1 - 1 / n}$ .

Solution

Pour $n \geq 2$ , on observe

a_{n}^{1 - 1 / n} \leq 2 a_{n} \Leftrightarrow a_{n} \geq \frac{1}{2^{n}} .

On a donc

a_{n}^{1 - 1 / n} \leq \max (2 a_{n}, \frac{1}{{(2^{n})}^{1 - 1 / n}}) \leq 2 (a_{n} + \frac{1}{2^{n}}) .

Par comparaison de séries à termes positifs, on peut conclure à la convergence de $\sum a_{n}^{1 - 1 / n}$ .

Exercice 12 2957 X (MP)Correction

Soit $(u_{n})$ une suite réelle strictement positive, décroissante, de limite nulle.
On suppose que la suite de terme général

\sum_{k = 1}^{n} u_{k} - n u_{n}

est bornée.
Montrer que la série de terme général $u_{n}$ converge.

Solution

Posons $v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} - n u_{n}$ . On a

v_{n + 1} - v_{n} = n (u_{n} - u_{n + 1}) \geq 0 .

La suite $(v_{n})$ est croissante et majorée donc convergente. Posons $ℓ$ sa limite.
On a

u_{n} - u_{n + 1} = \frac{1}{n} (v_{n + 1} - v_{n})

donc

\sum_{k = n}^{+ \infty} (u_{k} - u_{k + 1}) = \sum_{k = n}^{+ \infty} \frac{1}{k} (v_{k + 1} - v_{k}) \leq \frac{1}{n} \sum_{k = n}^{+ \infty} (v_{k + 1} - v_{k})

ce qui donne

u_{n} \leq \frac{1}{n} (ℓ - v_{n}) .

On en déduit $0 \leq n u_{n} \leq ℓ - v_{n}$ et donc $n u_{n} \to 0$ puis $\sum_{k = 1}^{n} u_{k} \to ℓ$ .

Finalement, la série $\sum u_{n}$ converge.

Exercice 13 3235 Correction

Soit ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ une suite de réels positifs. On considère la suite $(v_{n})$ définie par

v_{n} = \frac{1}{n (n + 1)} \sum_{k = 1}^{n} k u_{k} .

Montrer que les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ ont même nature et qu’en cas de convergence

\sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} v_{n} .

Solution

Par permutation de sommes,

\sum_{n = 1}^{N} v_{n} = \sum_{k = 1}^{N} \sum_{n = k}^{N} \frac{k u_{k}}{n (n + 1)}

donc

\sum_{n = 1}^{N} v_{n} = \sum_{k = 1}^{N} k u_{k} \sum_{n = k}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{N + 1 - k}{N + 1} u_{k}

et donc

\sum_{n = 1}^{N} v_{n} = \sum_{k = 1}^{N} u_{k} - N v_{N} .

Supposons que la série $\sum u_{n}$ converge. Puisque $\sum v_{n}$ est une série à termes positifs et que ses sommes partielles sont majorées car

\sum_{n = 1}^{N} v_{n} \leq \sum_{k = 1}^{N} u_{k} \leq \sum_{k = 1}^{+ \infty} u_{k}

la série $\sum v_{n}$ converge.

Supposons que la série $\sum v_{n}$ converge. On a

n v_{n} = \sum_{k = 1}^{n} u_{k} - \sum_{k = 1}^{n} v_{k}

donc, par croissance des sommes partielles d’une série à termes positifs, la suite $(n v_{n})$ admet une limite $ℓ \in ℝ \cup {+ \infty}$ .

Si cette limite est non nulle, la série $\sum v_{n}$ diverge ce qui est contraire à l’hypothèse initiale. On en déduit

n v_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0

et donc

\sum_{k = 1}^{N} u_{k} = \sum_{n = 1}^{N} v_{n} + N u_{n} \to_{N \to + \infty}^{} \sum_{n = 1}^{+ \infty} v_{n} .

Ainsi, $\sum u_{n}$ converge et

\sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n} = \sum_{n = 1}^{+ \infty} v_{n} .

Exercice 14 5225

Soient ${(u_{n})}_{n \geq 1}$ une suite réelle et ${(v_{n})}_{n \geq 1}$ la suite de ses moyennes de Cesàro:

v_{n} = \frac{1}{n} (u_{1} + \dots + u_{n}) pour tout n \geq 1 .

(a)

Montrer que

$(n + 1) v_{n}^{2} - (n - 1) v_{n - 1}^{2} \leq 2 u_{n} v_{n} pour tout n \geq 2 .$

On suppose désormais que la série de terme général $u_{n}^{2}$ converge.

(b)

Montrer que la série de terme général $v_{n}^{2}$ converge et vérifier

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} v_{n}^{2} \leq 4 \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n}^{2} .$
(c)

Justifier que la série de terme général $u_{n} v_{n}$ converge et établir

$\sum_{n = 1}^{+ \infty} v_{n}^{2} \leq 2 \sum_{n = 1}^{+ \infty} u_{n} v_{n} .$

[<] Nature de séries à termes positifs concrètes [>] Nature de séries dépendant d'un paramètre

Édité le 29-08-2023

Nature de séries à termes positifs abstraites