[<] Études asymptotiques [>] Application à l'étude de suites

 
Exercice 1  1097  Correction  

Soit (un) la suite définie par u0[0;π] et pour tout n,

un+1=1-cos(un).

Montrer que un0 et déterminer la nature de la série de terme général un.

Solution

La fonction x1-cos(x)-x est négative sur [0;+[ et ne s’annule qu’en 0. Par conséquent, la suite (un) est décroissante, or elle est clairement minorée par 0 donc elle converge. Sa limite annulant la précédente fonction ne peut être que 0. Puisque

un+1=2sin2(un2)

on a

un+112un2.

Par suite,

un=n+O(1/2n)

et la série à termes positifs un converge .

 
Exercice 2  1098  Correction  

Soit (un) la suite définie par u0>0 et pour tout n,

un+1=1+un.

Montrer que (un) converge vers un réel .
Quelle est la nature de la série de terme général un-?

Solution

Par étude de point fixe de la relation de récurrence, la valeur

=(1+5)/2

est la seule limite possible de la suite (un) qui est clairement à termes positifs.

|un+1-|=|un-|1+un+1+12|un-|

donc

un-=n+O(1/2n)

On en déduit que la série étudiée converge.

 
Exercice 3  1099   Correction  

Soient u0]0;π/2[ et un+1=sin(un) pour tout n.

  • (a)

    Montrer que un0+.

  • (b)

    Exploiter un+1-un pour montrer que n0un3 converge.

  • (c)

    Exploiter ln(un+1)-ln(un) pour montrer que n0un2 diverge.

Solution

  • (a)

    Aisément la suite est strictement positive, décroissante et de limite [0;π/2] vérifiant sin()=.

  • (b)

    un+1-un est le terme général d’une série télescopique convergente. Or un+1-un-16un3 donc par équivalence de suite de signe constant, on conclut.

  • (c)

    ln(un+1)-ln(un) est le terme général d’une série télescopique divergente. Or ln(un+1)-ln(un)ln(1-16un2)-16un2 donc par équivalence de suite de signe constant, on conclut.

 
Exercice 4  1101   

Soit (un) la suite récurrente définie par

u0]0;1[etun+1=un-un2pour tout n.
  • (a)

    Étudier la convergence de la suite (un).

  • (b)

    Étudier la convergence et donner la somme de la série un2.

  • (c)

    Étudier la convergence de la série ln(1-un).

  • (d)

    Quelle est la nature de la série de terme général un?

 
Exercice 5  2801      MINES (MP)

Soient α dans *, a et b dans . On considère la suite (un) déterminée par

u0=αetun+1=n-an-bunpour tout n.
  • (a)

    Montrer l’existence d’un réel A0 tel que

    unn+Ana-b.
  • (b)

    Déterminer la nature de la série de terme général un et calculer sa somme lorsqu’elle converge.

 
Exercice 6  1100   

Soient (an) une suite positive et (un) la suite définie par

u0>0etun+1=un+anunpour tout n.

Montrer que la suite (un) converge si, et seulement si, la série de terme général an converge.

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Édité le 08-11-2019

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