Exercice 1 1097 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} \in [0; π]$ et pour tout $n \in ℕ$ ,

u_{n + 1} = 1 - \cos (u_{n}) .

Montrer que $u_{n} \to 0$ et déterminer la nature de la série de terme général $u_{n}$ .

Solution

La fonction $x \mapsto 1 - \cos (x) - x$ est négative sur $[0; + \infty [$ et ne s’annule qu’en $0$ . Par conséquent, la suite $(u_{n})$ est décroissante, or elle est clairement minorée par $0$ donc elle converge. Sa limite annulant la précédente fonction ne peut être que $0$ . Puisque

u_{n + 1} = 2 \sin^{2} (\frac{u_{n}}{2})

on a

u_{n + 1} \leq \frac{1}{2} u_{n}^{2} .

Par suite,

u_{n} \underset{n \to + \infty}{=} O (1 / 2^{n})

et la série à termes positifs $\sum u_{n}$ converge .

Exercice 2 1098 Correction

Soit $(u_{n})$ la suite définie par $u_{0} > 0$ et pour tout $n \in ℕ$ ,

u_{n + 1} = \sqrt{1 + u_{n}} .

Montrer que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ .
Quelle est la nature de la série de terme général $u_{n} - ℓ$ ?

Solution

Par étude de point fixe de la relation de récurrence, la valeur

ℓ = (1 + \sqrt{5}) / 2

est la seule limite possible de la suite $(u_{n})$ qui est clairement à termes positifs.

| u_{n + 1} - ℓ | = \frac{| u_{n} - ℓ |}{\sqrt{1 + u_{n}} + \sqrt{1 + ℓ}} \leq \frac{1}{2} | u_{n} - ℓ |

donc

u_{n} - ℓ \underset{n \to + \infty}{=} O (1 / 2^{n}) .

On en déduit que la série étudiée converge.

Exercice 3 1099 Correction

Soient $a \in] 0; π / 2 [$ et la suite ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ déterminée par

u_{0} = a et u_{n + 1} = \sin (u_{n}) pour tout n \in ℕ

pour tout $n \in ℕ$ .

(a)

Montrer que $u_{n} > 0$ pour tout $n \in ℕ$ .
(b)

Étudier la monotonie de $(u_{n})$ .
(c)

Montrer que $u_{n} \to 0$ .
(d)

Exploiter $u_{n + 1} - u_{n}$ pour montrer que $\sum_{n \geq 0} u_{n}^{3}$ converge.
(e)

Exploiter $\ln (u_{n + 1}) - \ln (u_{n})$ pour montrer que $\sum_{n \geq 0} u_{n}^{2}$ diverge.

Solution

(a)

Par récurrence, on vérifie $u_{n} > 0$ pour tout $n \in ℕ$ en employant

$\forall x \in] 0; π / 2 [, \sin (x) > 0 .$
(b)

Par étude de fonction, on vérifie $\sin (x) \leq x$ pour tout $x \in [0; + \infty [$ . On en déduit $u_{n + 1} \leq u_{n}$ pour tout $n \in ℕ$ .
(c)

La suite $(u_{n})$ est décroissante et minorée par $0$ , elle admet donc une limite $ℓ \geq 0$ . En passant la relation de récurrence $u_{n + 1} = \sin (u_{n})$ a la limite, il vient $ℓ = \sin (ℓ)$ . Seul $ℓ = 0$ est solution de cette équation.
(d)

Par le lien suite-série, $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ a la nature de la suite $(u_{n})$ c’est-à-dire convergente. Or

$u_{n + 1} - u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{1}{6} u_{n}^{3} .$

Par équivalence de suites de signe constant, on peut affirmer la convergence de $\sum u_{n}^{3}$ .
(e)

Par le lien suite-série, la série $\sum (\ln (u_{n + 1}) - \ln (u_{n}))$ est une série télescopique divergente. Or

$\ln (u_{n + 1}) - \ln (u_{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} \ln (1 - \frac{1}{6} u_{n}^{2}) \sim - \frac{1}{6} u_{n}^{2} .$

Par équivalence de suites de signe constant, on conclut.

Exercice 4 1101

Soit $(u_{n})$ la suite récurrente définie par

u_{0} \in] 0; 1 [et u_{n + 1} = u_{n} - u_{n}^{2} pour tout n \in ℕ .

(a)

Étudier la convergence de la suite $(u_{n})$ .
(b)

Étudier la convergence et donner la somme de la série $\sum u_{n}^{2}$ .
(c)

Étudier la convergence de la série $\sum \ln (1 - u_{n})$ .
(d)

Quelle est la nature de la série de terme général $u_{n}$ ?

Exercice 5 2801 MINES (MP)

Soient $α$ dans $ℝ^{*}$ , $a$ et $b$ dans $ℝ ∖ ℕ$ . On considère la suite $(u_{n})$ déterminée par

u_{0} = α et u_{n + 1} = \frac{n - a}{n - b} u_{n} pour tout n \in ℕ .

(a)

Montrer l’existence d’un réel $A \neq 0$ tel que

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{A}{n^{a - b}} .$
(b)

Déterminer la nature de la série de terme général $u_{n}$ et calculer sa somme lorsqu’elle converge.

Exercice 6 1100

Soient $(a_{n})$ une suite positive et $(u_{n})$ la suite définie par

u_{0} > 0 et u_{n + 1} = u_{n} + \frac{a_{n}}{u_{n}} pour tout n \in ℕ .

Montrer que la suite $(u_{n})$ converge si, et seulement si, la série de terme général $a_{n}$ converge.

[<] Études asymptotiques [>] Application à l'étude de suites

Édité le 29-08-2023

Série dont le terme est défini par récurrence