[<] Quotient terme sur somme [>] Comparaison séries intégrales

 
Exercice 1  1025   

Soit (un) une suite réelle décroissante. On suppose que la série un converge et l’on note Sn sa somme partielle de rang n.

  • (a)

    Déterminer la limite de S2n-Sn quand n croît vers l’infini.

  • (b)

    En déduire la limite de la suite (nu2n) puis celle de (nun).

 
Exercice 2  3233   Correction  

Soient (un) une suite décroissante de réels positifs et α un réel positif.
On suppose la convergence de la série

nαun.

Montrer

nα+1unn+0.

Solution

Posons

Sn=k=1nkαuk.

Par la décroissance de la suite (un), on a

S2n-Sn=k=n+12nkαukk=n+12nnαu2n=nα+1u2n0.

Puisque la suite (Sn) converge, S2n-Sn0 et l’on en déduit (2n)α+1u2n0.
Puisque

0(2n+1)α+1u2n+1(2n+1)α+1(2n)α+1(2n)α+1u2n

on a aussi (2n+1)α+1u2n+10 et l’on peut donc conclure nα+1un0.

[<] Quotient terme sur somme [>] Comparaison séries intégrales



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax