Exercice 1 1025

Soit $(u_{n})$ une suite réelle décroissante. On suppose que la série $\sum u_{n}$ converge et l’on note $S_{n}$ sa somme partielle de rang $n$ .

Exercice 2 3233 Correction

Soient $(u_{n})$ une suite décroissante de réels positifs et $α$ un réel positif.
On suppose la convergence de la série

\sum n^{α} u_{n} .

Montrer

n^{α + 1} u_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Solution

Posons

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k^{α} u_{k} .

Par la décroissance de la suite $(u_{n})$ , on a

S_{2 n} - S_{n} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} k^{α} u_{k} \geq \sum_{k = n + 1}^{2 n} n^{α} u_{2 n} = n^{α + 1} u_{2 n} \geq 0 .

Puisque la suite $(S_{n})$ converge, $S_{2 n} - S_{n} \to 0$ et l’on en déduit ${(2 n)}^{α + 1} u_{2 n} \to 0$ .
Puisque

0 \leq {(2 n + 1)}^{α + 1} u_{2 n + 1} \leq \frac{{(2 n + 1)}^{α + 1}}{{(2 n)}^{α + 1}} {(2 n)}^{α + 1} u_{2 n}

on a aussi ${(2 n + 1)}^{α + 1} u_{2 n + 1} \to 0$ et l’on peut donc conclure $n^{α + 1} u_{n} \to 0$ .

Édité le 29-08-2023

Comportement asymptotique du terme d'une série convergente