[<] Emploi du critère spécial des séries alternées [>] Quotient terme sur somme

Exercice 1 2516 CCINP (MP)Correction

Soient

u_{n} = \frac{1}{3^{n} n!} \prod_{k = 1}^{n} (3 k - 2) et v_{n} = \frac{1}{n^{3 / 4}} .

(a)

Montrer que pour $n$ assez grand,

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \geq \frac{v_{n + 1}}{v_{n}} .$
(b)

En déduire que $\sum u_{n}$ diverge.

On pourra utiliser $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ .

Solution

(a)

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{3 n + 1}{3 (n + 1)} = 1 - \frac{2}{3} \frac{1}{n + 1} = 1 - \frac{2}{3 n} + o (\frac{1}{n})$

et

$\frac{v_{n + 1}}{v_{n}} \underset{n \to + \infty}{=} \frac{1}{{(1 + 1 / n)}^{3 / 4}} = 1 - \frac{3}{4 n} + o (\frac{1}{n}) .$

On en déduit que pour $n$ assez grand,

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \geq \frac{v_{n + 1}}{v_{n}} .$
(b)

La suite de terme général $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ est positive et croissante à partir d’un certain rang. Il existe donc $α > 0$ et $N \in ℕ$ tels que pour tout $n \geq N$ , $u_{n} \geq α v_{n}$ . Or $\sum v_{n}$ diverge et donc $\sum u_{n}$ aussi.

Exercice 2 2800 MINES (MP)Correction

(a)

Soient ${(u_{n})}_{n \geq 0}$ et ${(v_{n})}_{n \geq 0}$ deux suites réelles, $λ \in ℝ$ . On suppose:

$\forall n \in ℕ, u_{n} \geq 0, \sum | v_{n} | converge et \frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = 1 - \frac{λ}{n} + v_{n} .$

Montrer que $(n^{λ} u_{n})$ converge.
(b)

Donner la nature de la série de terme général

$\frac{n^{n}}{n! e^{n}} .$

Solution

(a)

Le rapport $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ tend vers 1 donc la suite $(u_{n})$ est de signe constant à partir d’un certain rang; quitte à passer à l’opposé on peut supposer $u_{n} > 0$ pour $n$ assez grand.
Posons

$w_{n} = \ln ({(n + 1)}^{λ} u_{n + 1}) - \ln (n^{λ} u_{n}) .$

On a

$w_{n} = λ \ln (1 + \frac{1}{n}) + \ln (1 - \frac{λ}{n} + v_{n})$

est le terme général d’une série absolument convergente. Par conséquent, la suite $(\ln (n^{λ} u_{n}))$ converge et donc $(n^{λ} u_{n})$ aussi.
(b)

Posons $u_{n} = \frac{n^{n}}{n! e^{n}}$ . On a

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = 1 - \frac{1}{2 n} + O (\frac{1}{n^{2}}) .$

En reprenant l’étude qui précède on peut affirmer que $n^{1 / 2} u_{n} \to ℓ > 0$ donc $\sum u_{n}$ diverge.
Ce résultat peut être confirmé par la formule de Stirling.

Exercice 3 1029 Correction

(Règle de Raabe-Duhamel)

Soient ${(u_{n})}_{n \in ℕ}$ et ${(v_{n})}_{n \in ℕ}$ deux suites de réels strictement positifs.

(a)

On suppose qu’à partir d’un certain rang

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq \frac{v_{n + 1}}{v_{n}} .$

Montrer que $u_{n} \underset{n \to + \infty}{=} O (v_{n})$ .
(b)

On suppose que

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{n \to + \infty}{=} 1 - \frac{α}{n} + o (\frac{1}{n}) avec α > 1 .$

Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de Riemann, que la série $\sum u_{n}$ converge.
(c)

On suppose cette fois-ci que

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \underset{n \to + \infty}{=} 1 - \frac{α}{n} + o (\frac{1}{n}) avec α < 1 .$

Montrer que la série $\sum u_{n}$ diverge.

Solution

(a)

Via télescopage, on obtient pour tout $n \geq N$

$0 < u_{n} \leq \frac{u_{N}}{v_{N}} v_{n}$

donc $u_{n} = O (v_{n})$ .
(b)

Soit $1 < β < α$ et $v_{n} = \frac{1}{n^{β}}$ .

$\frac{v_{n + 1}}{v_{n}} = \frac{1}{{(1 + \frac{1}{n})}^{β}} = 1 - \frac{β}{n} + o (\frac{1}{n}) .$

À partir d’un certain rang

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \leq \frac{v_{n + 1}}{v_{n}}$

donc $u_{n} = O (v_{n})$ or $\sum v_{n}$ converge absolument donc $\sum u_{n}$ aussi.
(c)

Pour $n$ assez grand

$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} \geq 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{1 / (n + 1)}{1 / n}$

donc

$\frac{1}{n} = O (u_{n}) .$

Puisque la série $\sum 1 / n$ est divergente, un argument de comparaison de séries à termes positifs permet de conclure que $\sum u_{n}$ est aussi divergente.

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Édité le 29-08-2023

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