[<] Calcul de sommes [>] Quotient terme sur somme

 
Exercice 1  2516    CCP (MP)Correction  

Soient

un=13nn!k=1n(3k-2)etvn=1n3/4.
  • (a)

    Montrer que pour n assez grand,

    un+1unvn+1vn.
  • (b)

    En déduire que un diverge.

    On pourra utiliser unvn.

Solution

  • (a)
    un+1un=n+3n+13(n+1)=1-231n+1=1-23n+o(1n)

    et

    vn+1vn=n+1(1+1/n)3/4=1-34n+o(1n)

    On en déduit que pour n assez grand,

    un+1unvn+1vn.
  • (b)

    La suite de terme général unvn est positive et croissante à partir d’un certain rang. Il existe donc α>0 et N tels que pour tout nN, unαvn. Or vn diverge et donc un aussi.

 
Exercice 2  2800     MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Soient (un)n0 et (vn)n0 deux suites réelles, λ. On suppose:

    n,un0,|vn| converge et un+1un=1-λn+vn.

    Montrer que (nλun) converge.

  • (b)

    Donner la nature de la série de terme général

    nnn!enpt

Solution

  • (a)

    Le rapport un+1un tend vers 1 donc la suite (un) est de signe constant à partir d’un certain rang; quitte à passer à l’opposé on peut supposer un>0 pour n assez grand.
    Posons

    wn=ln((n+1)λun+1)-ln(nλun).

    On a

    wn=λln(1+1n)+ln(1-λn+vn)

    est le terme général d’une série absolument convergente. Par conséquent, la suite (ln(nλun)) converge et donc (nλun) aussi.

  • (b)

    Posons un=nnn!en. On a

    un+1un=1-12n+O(1n2).

    En reprenant l’étude qui précède on peut affirmer que n1/2un>0 donc un diverge.
    Ce résultat peut être confirmé par la formule de Stirling.

 
Exercice 3  1029   Correction  

(Règle de Raabe-Duhamel)

Soient (un)n et (vn)n deux suites de réels strictement positifs.

  • (a)

    On suppose qu’à partir d’un certain rang

    un+1unvn+1vn.

    Montrer que un=n+O(vn).

  • (b)

    On suppose que

    un+1un=n+1-αn+o(1n) avec α>1.

    Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série de Riemann, que la série un converge.

  • (c)

    On suppose cette fois-ci que

    un+1un=n+1-αn+o(1n) avec α<1.

    Montrer que la série un diverge.

Solution

  • (a)

    Via télescopage, on obtient pour tout nN

    0<unuNvNvn

    donc un=O(vn).

  • (b)

    Soit 1<β<α et vn=1nβ.

    vn+1vn=1(1+1n)β=1-βn+o(1n).

    À partir d’un certain rang

    un+1unvn+1vn

    donc un=O(vn) or vn converge absolument donc un aussi.

  • (c)

    Pour n assez grand

    un+1un1-1n+1=1/(n+1)1/n

    donc

    1n=O(un).

    Puisque la série 1/n est divergente, un argument de comparaison de séries à termes positifs permet de conclure que un est aussi divergente.

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Édité le 08-11-2019

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