Exercice 1 4914

Déterminer les natures des séries numériques suivantes:

(a)

$\sum \frac{{(- 1)}^{n}}{n} \sin (\frac{1}{n})$
(b)

$\sum \frac{\cos (n)}{{(\ln (n))}^{\ln (n)}}$
(c)

$\sum (e - {(1 + \frac{1}{n})}^{n})$ .

Exercice 2 5469 Correction

Soit $\sum a_{n}$ une série numérique absolument convergente.

Montrer que les séries $\sum a_{2 p}$ et $\sum a_{2 p + 1}$ convergent et

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{2 p} + \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{2 p + 1} .

Solution

Pour $N \in ℕ$ , on obtient par adjonction de termes positifs

	$\sum_{p = 0}^{N} \| a_{2 p} \|$	$= \| a_{0} \| + \| a_{2} \| + \dots + \| a_{2 N} \|$
		$\leq \| a_{0} \| + \| a_{1} \| + \| a_{2} \| + \dots + \| a_{2 N - 1} \| + \| a_{2 N} \|$
		$\leq \sum_{n = 0}^{2 N} \| a_{n} \| \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} \| a_{n} \| .$

Les sommes partielles de la série à termes positifs $\sum | a_{2 p} |$ sont majorées, cette série est donc convergente. Ainsi, la série $\sum a_{2 p}$ converge absolument et donc converge. On établit de même la convergence de $\sum a_{2 p + 1}$ .

Aussi, en séparant¹¹ 1 Cette séparation est réalisée par commutativité de l’opération d’addition. On pourrait imaginer pouvoir réaliser cette séparation directement sur les sommes infinies mais cela nécessite une « infinité » de commutations et le problème est moins trivial qu’il n’y paraît. Hors du cadre de l’absolue convergence, il est possible de changer la valeur d’une somme en réorganisant ses termes! les termes d’indices pairs de ceux d’indices impairs, il vient pour $N \in ℕ$

\sum_{n = 0}^{N} a_{n} = \sum_{p = 0}^{⌊ N / 2 ⌋} a_{2 p} + \sum_{p = 0}^{⌊ (N - 1) / 2 ⌋} a_{2 p + 1} .

En passant à la limite quand $N$ tend vers l’infini,

\sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{2 p} + \sum_{p = 0}^{+ \infty} a_{2 p + 1} .

Exercice 3 1033 Correction

Montrer que la somme d’une série semi-convergente et d’une série absolument convergente n’est que semi-convergente.

Solution

Soient $\sum u_{n}$ une série semi-convergente et $\sum v_{n}$ une série absolument convergente. La série $\sum u_{n} + v_{n}$ est convergente et si celle-ci était absolument convergente alors $\sum u_{n}$ le serait aussi car $| u_{n} | \leq | u_{n} + v_{n} | + | v_{n} |$ . La série $\sum u_{n} + v_{n}$ n’est donc que semi-convergente.

[<] Nature de séries dépendant d'un paramètre [>] Calcul de sommes

Édité le 29-08-2023

	$\sum_{p = 0}^{N} \| a_{2 p} \|$	$= \| a_{0} \| + \| a_{2} \| + \dots + \| a_{2 N} \|$
		$\leq \| a_{0} \| + \| a_{1} \| + \| a_{2} \| + \dots + \| a_{2 N - 1} \| + \| a_{2 N} \|$
		$\leq \sum_{n = 0}^{2 N} \| a_{n} \| \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} \| a_{n} \| .$

Convergence absolue