[<] Convergence absolue [>] Critère spécial des séries alternées
Déterminer la nature et la somme de la série
Justifier la convergence et calculer la somme de
Solution
Par décomposition en éléments simples,
Pour ,
En simplifiant les termes communs,
Par passage à la limite,
avec convergence.
Donner la nature et l’éventuelle somme de la série
Solution
donc la série converge.
Par décomposition en éléments simples,
Pour ,
On simplifie les portions communes des sommes,
À la limite quand tend vers l’infini,
On donne . Calculer
après en avoir justifié l’existence.
Solution
On a
donc la série converge.
Par décomposition en éléments simples
donc
Calculer
Solution
Le calcul peut être mené dans et à ce titre la somme étudiée a un sens.
Pour ,
En reconnaissant une somme exponentielle,
Établir
Étudier la convergence et donner la valeur de
Solution
Pour tout ,
Or converge car il s’agit d’une série géométrique de raison avec . Par comparaison de séries à termes positifs, la série étudiée converge.
Pour , en séparant les termes selon la parité de l’indice,
On conclut
Soit . Vérifier l’identité
En déduire la convergence et la somme11 1 On trouvera un autre calcul de cette somme dans le sujet 5071. de la série harmonique alternée
Existence et valeur de
, ()
, ().
Pour ce dernier calcul, on pourra employer la formule .
Justifier la convergence et calculer la somme de
Solution
Par décomposition en éléments simples
Pour ,
En introduisant les termes d’indices pairs,
et donc
À l’aide d’une comparaison série-intégrale11 1 Ou l’emploi de somme de Riemann, ou introduction de la constante d’Euler.
Par encadrement,
Avec convergence, on a donc
Calculer pour
Solution
L’absolue convergence de la série est assurée par l’équivalent
On a
Par télescopage,
On obtient donc
Justifier la convergence et calculer la somme de la série
Justifier la convergence et calculer la somme de
Pour , on pose
Montrer que existe puis exprimer en fonction de .
En déduire que .
Solution
existe car, par croissance comparée,
Par glissement d’indice
donc
Par un récurrence aisée pour tout .
Soient et la suite définie par
Montrer
Pour , on introduit le polynôme réel
et les nombres
Soit . En calculant de deux façons la partie imaginaire de
établir
En déduire que les sont exactement les racines du polynôme .
Établir les identités
Montrer l’encadrement
et déterminer la valeur de la somme
[<] Convergence absolue [>] Critère spécial des séries alternées
Édité le 12-05-2025
Bootstrap 3
-
LaTeXML
-
Powered by MathJax