[<] Comportement asymptotique du terme d'une série convergente [>] Nature de séries dépendant d'un paramètre via comparaison intégrale

 
Exercice 1  77    ENSTIM (MP)Correction  

À l’aide d’une comparaison avec une intégrale, donner la nature de la série

n21nln(n).

Solution

On a

(1xln(x))=-ln(x)+1(xln(x))2.

La fonction x1/xln(x) est décroissante sur ]1;+[. On en déduit

n=2N1nln(n)2N+1dttln(t)=ln(ln(N+1))-ln(ln(2))n++.
 
Exercice 2  1061  Correction  

En exploitant une comparaison avec des intégrales, établir:

  • (a)

    k=1nk23nn

  • (b)

    ln(n!)nln(n)

  • (c)

    k=2n1kln(k)ln(ln(n))

Solution

  • (a)

    Par croissance de la fonction .

    k-1ktdtkkk+1tdt

    donc

    0ntdtk=1nk1n+1tdt

    et l’on conclut aisément.

  • (b)

    On a

    ln(n!)=k=1nln(k)

    et, par croissance de la fonction ln,

    k-1kln(t)dtln(k)kk+1ln(t)dt

    donc

    1nln(t)dtln(n!)1n+1ln(t)dt

    puis on peut conclure.

  • (c)

    Par décroissance de la fonction x1/xln(x) sur [1/e;+[,

    kk+1dttln(t)1kln(k)k-1kdttln(t)

    donc

    2n+1dttln(t)k=2n1kln(k)1ndttln(t)

    puis on conclut via

    dttln(t)=ln(ln(t))+Ctet++.
 
Exercice 3  1068   Correction  

Pour α>1, on pose

ζ(α)=n=1+1nα.

Déterminer la limite de (α-1)ζ(α) quand α tend vers 1+.

Solution

Soit N*. Puisque x1xα est décroissante,

1N+1dxxαk=1N1kα1+1Ndxxα.

On calcule les intégrales et l’on passe à la limite quand N tend vers + pour obtenir

1α-1ζ(α)1+1α-1.

Par suite,

(α-1)ζ(α)α1+1.
 
Exercice 4  664   Correction  

Soit a]0;1[. Déterminer la nature de la série n0an.

Solution

Notons que les termes sommés sont positifs.
La fonction xax est décroissante donc

ann-1naxdx

puis

k=0nak1+0naxdx=1+20nuaudu

or 0+uaudu est définie donc

n0an<+.
 
Exercice 5  1069   Correction  

En exploitant une comparaison série-intégrale, déterminer

lima+n=1+an2+a2.

Solution

Notons que an2+a2an2 donc n=1+an2+a2 existe.
La fonction xax2+a2 est décroissante sur [0;+[ donc par comparaison série-intégrale

1N+1ax2+a2dxn=1Nan2+a20Nax2+a2dx

puis sachant

ax2+a2=arctan(xa)+Cte

on obtient

arctan(N+1a)-arctan(1a)n=1Nan2+a2arctan(Na).

Quand N+,

π2-arctan(1a)n=1+an2+a2π2.

Par le théorème des gendarmes,

lima+n=1+an2+a2=π2.
 
Exercice 6  2431     CENTRALE (MP)Correction  

Soient a,b>0. Pour n*, on pose

An=1nk=1n(a+bk)etBn=k=1n(a+bk)1/n.

Trouver limn+BnAn en fonction de e.

Solution

On a

An=a+b(n+1)2etln(Bn)=1nk=1nln(a+bk).

Posons f(t)=ln(a+bt) fonction croissante.
À l’aide d’une comparaison série-intégrale

k=1nf(k)=nln(a+bn)-n+o(n)

donc

ln(BnAn)=ln(Bn)-ln(An)=ln(a+bna+bn/2)-1+o(1)n+ln(2)-1

puis

BnAnn+2e.

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Édité le 08-11-2019

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