Exercice 1 1149 Correction

Montrer que l’image d’un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.

Solution

L’image d’un arc continu par une application continue est un arc continu. Ainsi, si $X$ est connexe par arcs et $f$ continue définie sur $X$ alors pour tout $f (x), f (y) \in f (X)$ , l’image par $f$ d’un arc continu reliant $x$ et à $y$ est un arc continue reliant $f (x)$ à $f (y)$ et donc $f (X)$ est connexe par arcs.

Exercice 2 5444 Correction

Soit $p$ une application continue de $[0; 1]$ vers $ℳ_{n} (ℝ)$ . On suppose que pour tout $t \in [0; 1]$ , $p (t)$ est un projecteur.

Montrer que le rang de $p (t)$ ne dépend pas de $t$ .

Solution

Puisque $p (t)$ est un projecteur, on sait

rg (p (t)) = tr (p (t)) .

Or l’application linéaire trace est continue car au départ d’un espace de dimension finie. Celle-ci ne prend que des valeurs entières car c’est un rang, elle est constante.

Exercice 3 6097 Correction

Soit $f : 𝕌 \to ℝ$ une fonctioncontinue et $ω = e^{2 i π / n}$ (avec $n ⩾ 2$ ).

Montrons qu’il existe au moins deux nombres complexes $z \in 𝕌$ tels que $f (ω z) = f (z)$ .

Solution

Posons $g : 𝕌 \to ℝ$ définie par

g (z) = f (ω z) - f (z) .

Il s’agit de montrer que $g$ s’annule au moins deux fois dans $𝕌$ .

On remarque

\sum_{k = 0}^{n - 1} g (ω^{k}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} (f (ω^{k + 1}) - f (ω^{k})) = f (ω^{n}) - f (1) = 0 .

Si tous les termes de la somme sont nuls, on obtient immédiatement $n ⩾ 2$ points $z$ tels que $g (z) = 0$ .

Sinon, il existe au moins un $k$ pour lequel $g (ω^{k}) > 0$ et au moins un autre pour lequel $g (ω^{k}) < 0$ . La fonction $g$ étant continue sur l’ensemble $U$ , qui est connexe par arcs, elle s’annule donc en un premier point $z_{0} \in U$ .

Considérons ensuite la fonction $g$ restreinte à $U ∖ {z_{0}}$ . Celle-ci reste continue, définie sur un ensemble connexe par arcs, et y prend encore une valeur strictement positive et une valeur strictement négative. Elle s’y annule donc également. Ainsi, $g$ possède au moins deux annulations dans $U$ .

Finalement, l’égalité $f (ω z) = f (z)$ a lieur pour au moins deux valeurs de $z$ .

Exercice 4 1151 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue et injective.

(a)

Justifier que l’ensemble $X = {(x, y) \in ℝ^{2} | x < y}$ est convexe.
(b)

Établir que $f$ est strictement monotone.

Solution

(a)

Soient $a = (x, y) \in X$ et $b = (x^{'}, y^{'}) \in X$ . On sait $x < y$ et $x^{'} < y^{'}$ .

Pour tout $λ \in [0; 1]$ ,

$(1 - λ) . a + λ . b = ((1 - λ) x + λ x^{'}, (1 - λ) y + λ y^{'}) .$

Sachant $1 - λ$ et $λ$ positifs et non tous deux nuls,

$(1 - λ) x + λ x^{'} < (1 - λ) y + λ y^{'}$

et donc $(1 - λ) . a + λ . b \in X$ . Ainsi, $[a; b] \subset X$ .

La partie $X$ est donc convexe.
(b)

Considérons l’application $V : X \to ℝ$ définie par

$V (x, y) = f (y) - f (x) pour tout (x, y) \in X .$

L’application $V$ est continue par opérations sur les fonctions continues. L’ensemble $X$ est convexe donc connexe par arcs. L’ensemble $V (X)$ est donc une partie connexe par arcs de $ℝ$ , c’est-à-dire un intervalle.

Puisque $f$ est injective, l’application $V$ ne prend pas la valeur $0$ et donc $V (X)$ est un intervalle inclus dans $ℝ_{+}^{*}$ ou $ℝ_{-}^{*}$ .

Si $V (X) \subset ℝ_{+}^{*}$ , on peut affirmer

$\forall (x, y) \in ℝ^{2}, x < y$ $⟹ (x, y) \in X$

$⟹ V (x, y) > 0$

$⟹ f (x) < f (y) .$

La fonction $f$ est alors strictement croissante.

Dans le cas, $V (X) \subset ℝ_{-}^{*}$ , on obtient $f$ strictement décroissante.

Exercice 5 1150 Correction

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction dérivable. On suppose que $f^{'}$ prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir que $f^{'}$ s’annule.

(a)

Établir que $A = {(x, y) \in I^{2}, x < y}$ est une partie connexe par arcs de $I^{2}$ .
(b)

On note $δ : A \to ℝ$ l’application définie par $δ (x, y) = f (y) - f (x)$ . Établir que $0 \in δ (A)$ .
(c)

Conclure en exploitant le théorème de Rolle

Solution

(a)

$A$ est une partie convexe donc connexe par arcs.
(b)

L’application $δ$ est continue donc $δ (A)$ est connexe par arcs c’est donc un intervalle de $ℝ$ . Puisque $f^{'}$ prend des valeurs strictement positives et strictement négative, la fonction $f$ n’est pas monotone et par conséquent des valeurs positives et négatives appartiennent à l’intervalle $δ (A)$ . Par conséquent, $0 \in δ (A)$ .
(c)

Puisque $0 \in δ (A)$ , il existe $a < b \in I$ tels que $f (a) = f (b)$ . On applique le théorème de Rolle sur $[a; b]$ avant de conclure.

Exercice 6 5443 Correction

Montrer qu’il n’existe pas d’applications continues injectives de ${[0; 1]}^{2}$ dans $ℝ$ .

Solution

Par l’absurde, supposons qu’une telle application $f : {[0; 1]}^{2} \to ℝ$ existe. L’ensemble $f ({[0; 1]}^{2})$ est une partie connexe par arcs de $ℝ$ car image continue d’un connexe par arcs, c’est donc un intervalle. Aussi, $f ({[0; 1]}^{2})$ est une partie compacte car image continue d’un compact. Il existe donc $a < b \in ℝ$ tels que

f ({[0; 1]}^{2}) = [a; b] .

Considérons alors $c \in] a; b [$ et $(x, y) \in {[0; 1]}^{2}$ tel que $f (x, y) = c$ . D’une part, l’ensemble ${[0; 1]}^{2} ∖ {(x, y)}$ est connexe par arcs. D’autre part, son image par $f$ qui est $[a; b] ∖ {c}$ ne l’est pas. C’est absurde.

Exercice 7 3737

(Théorème de Darboux)

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction dérivable définie sur un intervalle $I$ de $ℝ$ .

(a)

Montrer que $U = {(x, y) \in I^{2} | x < y}$ est une partie connexe par arcs de $ℝ^{2}$ .

On note $τ : U \to ℝ$ l’application définie par

τ (x, y) = \frac{f (y) - f (x)}{y - x} .

(b)

Justifier $τ (U) \subset f^{'} (I) \subset \bar{τ (U)}$ .
(c)

En déduire que $f^{'} (I)$ est un intervalle¹¹ 1 En conséquence, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas forcément une fonction continue, elle satisfait l’affirmation du théorème des valeurs intermédiaires. de $ℝ$ .

Exercice 8 5455 Correction

Soit $A$ une partie à la fois ouverte et fermée d’un espace normé $E$ .

(a)

Donner deux exemples de parties $A$ possibles.
(b)

Montrer que la fonction indicatrice de $A$ est continue sur $E$ .
(c)

En déduire que la partie $A$ est vide ou égale à $E$ .

Solution

(a)

L’ensemble vide et la partie $E$ sont à la fois ouverte et fermée.
(b)

Étudions la continuité de $1_{A}$ en $a \in E$ .

Cas: $a \in A$ . Puisque la partie $A$ est ouverte, il existe une boule ouverte centrée en $a$ incluse dans $A$ . La fonction $1_{A}$ est constante égale à $1$ sur cette boule et, en particulier, la fonction $1_{A}$ est continue en $a$ .

Cas: $a \notin A$ . Puisque le complémentaire de $A$ est aussi une partie ouverte, il existe une boule centrée en $a$ incluse dans ce complémentaire. À nouveau, la fonction $1_{A}$ est continue en $a$ , cette fois-ci car constante égale à $0$ au voisinage de $a$ .
(c)

L’image du connexe par arcs $E$ par la fonction continue $1_{A}$ est donc une partie connexe par arcs de $ℝ$ , c’est donc un intervalle. Or la fonction indicatrice prend seulement ses valeurs dans ${0,1}$ . On en déduit

$1_{A} (E) = {0} ou 1_{A} (E) = {1} .$

La partie $A$ est donc égale à $\emptyset$ ou à $E$ .

[<] Connexité par arcs [>] Parties denses

Édité le 09-01-2026

	$\forall (x, y) \in ℝ^{2}, x < y$	$⟹ (x, y) \in X$
		$⟹ V (x, y) > 0$
		$⟹ f (x) < f (y) .$

Applications de la connexité par arcs