Exercice 1 5444 Correction

Soit $p$ une application continue de $[0; 1]$ vers $ℳ_{n} (ℝ)$ . On suppose que pour tout $t \in [0; 1]$ , $p (t)$ est un projecteur.

Montrer que le rang de $p (t)$ ne dépend pas de $t$ .

Solution

Puisque $p (t)$ est un projecteur, on sait

rg (p (t)) = tr (p (t)) .

Or l’application linéaire trace est continue car au départ d’un espace de dimension finie. Celle-ci ne prend que des valeurs entières car c’est un rang, elle est constante.

Exercice 2 1151 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ continue et injective.

(a)

Justifier que l’ensemble $X = {(x, y) \in ℝ^{2} | x < y}$ est convexe.
(b)

Établir que $f$ est strictement monotone.

Solution

(a)

Soient $a = (x, y) \in X$ et $b = (x^{'}, y^{'}) \in X$ . On sait $x < y$ et $x^{'} < y^{'}$ .

Pour tout $λ \in [0; 1]$ ,

$(1 - λ) . a + λ . b = ((1 - λ) x + λ x^{'}, (1 - λ) y + λ y^{'}) .$

Sachant $1 - λ$ et $λ$ positifs et non tous deux nuls,

$(1 - λ) x + λ x^{'} < (1 - λ) y + λ y^{'}$

et donc $(1 - λ) . a + λ . b \in X$ . Ainsi, $[a; b] \subset X$ .

La partie $X$ est donc convexe.
(b)

Considérons l’application $V : X \to ℝ$ définie par

$V (x, y) = f (y) - f (x) pour tout (x, y) \in X .$

L’application $V$ est continue par opérations sur les fonctions continues. L’ensemble $X$ est convexe donc connexe par arcs. L’ensemble $V (X)$ est donc une partie connexe par arcs de $ℝ$ , c’est-à-dire un intervalle.

Puisque $f$ est injective, l’application $V$ ne prend pas la valeur $0$ et donc $V (X)$ est un intervalle inclus dans $ℝ_{+}^{*}$ ou $ℝ_{-}^{*}$ .

Si $V (X) \subset ℝ_{+}^{*}$ , on peut affirmer

$\forall (x, y) \in ℝ^{2}, x < y$ $⟹ (x, y) \in X$

$⟹ V (x, y) > 0$

$⟹ f (x) < f (y) .$

La fonction $f$ est alors strictement croissante.

Dans le cas, $V (X) \subset ℝ_{-}^{*}$ , on obtient $f$ strictement décroissante.

Exercice 3 1150 Correction

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction dérivable. On suppose que $f^{'}$ prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir que $f^{'}$ s’annule.

(a)

Établir que $A = {(x, y) \in I^{2}, x < y}$ est une partie connexe par arcs de $I^{2}$ .
(b)

On note $δ : A \to ℝ$ l’application définie par $δ (x, y) = f (y) - f (x)$ . Établir que $0 \in δ (A)$ .
(c)

Conclure en exploitant le théorème de Rolle

Solution

(a)

$A$ est une partie convexe donc connexe par arcs.
(b)

L’application $δ$ est continue donc $δ (A)$ est connexe par arcs c’est donc un intervalle de $ℝ$ . Puisque $f^{'}$ prend des valeurs strictement positives et strictement négative, la fonction $f$ n’est pas monotone et par conséquent des valeurs positives et négatives appartiennent à l’intervalle $δ (A)$ . Par conséquent, $0 \in δ (A)$ .
(c)

Puisque $0 \in δ (A)$ , il existe $a < b \in I$ tels que $f (a) = f (b)$ . On applique le théorème de Rolle sur $[a; b]$ avant de conclure.

Exercice 4 5443 Correction

Montrer qu’il n’existe pas d’applications continues injectives de ${[0; 1]}^{2}$ dans $ℝ$ .

Solution

Par l’absurde, supposons qu’une telle application $f : {[0; 1]}^{2} \to ℝ$ existe. L’ensemble $f ({[0; 1]}^{2})$ est une partie connexe par arcs de $ℝ$ car image continue d’un connexe par arcs, c’est donc un intervalle. Aussi, $f ({[0; 1]}^{2})$ est une partie compacte car image continue d’un compact. Il existe donc $a < b \in ℝ$ tels que

f ({[0; 1]}^{2}) = [a; b] .

Considérons alors $c \in] a; b [$ et $(x, y) \in {[0; 1]}^{2}$ tel que $f (x, y) = c$ . D’une part, l’ensemble ${[0; 1]}^{2} ∖ {(x, y)}$ est connexe par arcs. D’autre part, son image par $f$ qui est $[a; b] ∖ {c}$ ne l’est pas. C’est absurde.

Exercice 5 3737

(Théorème de Darboux)

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction dérivable définie sur un intervalle $I$ de $ℝ$ .

(a)

Montrer que $U = {(x, y) \in I^{2} | x < y}$ est une partie connexe par arcs de $ℝ^{2}$ .

On note $τ : U \to ℝ$ l’application définie par

τ (x, y) = \frac{f (y) - f (x)}{y - x} .

(b)

Justifier $τ (U) \subset f^{'} (I) \subset \bar{τ (U)}$ .
(c)

En déduire que $f^{'} (I)$ est un intervalle¹¹ 1 En conséquence, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas forcément une fonction continue, elle satisfait l’affirmation du théorème des valeurs intermédiaires. de $ℝ$ .

Exercice 6 5455 Correction

Soit $A$ une partie à la fois ouverte et fermée d’un espace normé $E$ .

(a)

Donner deux exemples de parties $A$ possibles.
(b)

Montrer que la fonction indicatrice de $A$ est continue sur $E$ .
(c)

En déduire que la partie $A$ est vide ou égale à $E$ .

Solution

(a)

L’ensemble vide et la partie $E$ sont à la fois ouverte et fermée.
(b)

Étudions la continuité de $1_{A}$ en $a \in E$ .

Cas: $a \in A$ . Puisque la partie $A$ est ouverte, il existe une boule ouverte centrée en $a$ incluse dans $A$ . La fonction $1_{A}$ est constante égale à $1$ sur cette boule et, en particulier, la fonction $1_{A}$ est continue en $a$ .

Cas: $a \notin A$ . Puisque le complémentaire de $A$ est aussi une partie ouverte, il existe une boule centrée en $a$ incluse dans ce complémentaire. À nouveau, la fonction $1_{A}$ est continue en $a$ , cette fois-ci car constante égale à $0$ au voisinage de $a$ .
(c)

L’image du connexe par arcs $E$ par la fonction continue $1_{A}$ est donc une partie connexe par arcs de $ℝ$ , c’est donc un intervalle. Or la fonction indicatrice prend seulement ses valeurs dans ${0,1}$ . On en déduit

$1_{A} (E) = {0} ou 1_{A} (E) = {1} .$

La partie $A$ est donc égale à $\emptyset$ ou à $E$ .

[<] Connexité par arcs [>] Parties denses

Édité le 29-08-2023

	$\forall (x, y) \in ℝ^{2}, x < y$	$⟹ (x, y) \in X$
		$⟹ V (x, y) > 0$
		$⟹ f (x) < f (y) .$

Applications de la connexité par arcs