[<] Opérations sur les ouverts, les fermés [>] Parties convexes
Justifier que est une partie ouverte de .
Montrer que est une partie ouverte.
Montrer que est une partie fermée.
Montrer que est une partie fermée.
Soit un -espace vectoriel normé de dimension finie.
Montrer que l’ensemble des projecteurs de est une partie fermée de .
Solution
Considérons l’application déterminée par .
L’application est continue par opérations sur les fonctions continues, notamment parce que l’application est continue (elle s’obtient à partir du produit dans l’algèbre ).
Puisque est une partie fermée de , l’ensemble est un fermé relatif à , donc un fermé de .
Montrer que est une partie fermée de .
Solution
On sait que l’application est continue sur et que le singleton est une partie fermée de . L’ensemble est donc une partie fermée de en tant qu’image réciproque d’un fermé par une application continue définie sur .
Montrer que est une partie ouverte de .
Soit un -espace vectoriel de dimension finie. Montrer que
est une partie fermée de .
Solution
Considérons l’application
L’application est continue par opérations sur les fonctions continues. En effet, est continue car linéaire au départ d’un espace de dimension finie et est continue par composition des applications
qui sont continues, pour la première car linéaire au départ d’un espace de dimension finie, pour la seconde car bilinéaire au départ d’un produit d’espaces de dimensions finies.
On observe . La partie apparaît comme l’image réciproque d’un fermé par une application continue, c’est donc un fermé relatif à , c’est-à-dire un fermé de .
Dans , on considère les normes
L’ensemble
est-il ouvert pour la norme ? pour la norme ?
Solution
Posons l’application définie par .
L’application est linéaire et puisque , cette application est continue. On en déduit que est un ouvert relatif à c’est-à-dire un ouvert de pour la norme .
Pour la norme , montrons que la partie n’est pas ouverte en observant qu’elle n’est pas voisinage de son point . Pour cela considérons la fonction continue donnée par le graphe suivant:
Par le théorème d’approximation de Weierstrass, il existe une suite de polynômes vérifiant
et en particulier
Considérons alors la suite de polynômes avec
Pour tout , donc et
donc
Puisque la partie n’est pas voisinage de chacun de ses points, elle n’est pas ouverte pour la norme .
Soit un espace vectoriel euclidien.
Montrer que l’ensemble est un ouvert de .
Pour , on note l’ensemble des matrices de de rang supérieur à .
Montrer que est un ouvert de .
Solution
Soit . La matrice possède un déterminant extrait non nul d’ordre . Par continuité du déterminant, au voisinage de , toute matrice à ce même déterminant extrait non nul et est donc de rang supérieur à . Ainsi la matrice est intérieure à .
Soit un endomorphisme d’un espace normé .
Montrer que l’endomorphisme est continu si, et seulement si, l’ensemble est une partie fermée de .
Solution
Supposons l’endomorphisme continu. La partie
est l’image réciproque du fermé par l’application continue . La partie est donc un fermé relatif à , c’est donc une partie fermée de .
Par contraposition. Supposons que l’endomorphisme ne soit pas continu. Il ne satisfait la propriété de lipschitzianité en et donc
Pour , en considérant , on peut définir une suite d’éléments de telle que
Les vecteurs ne peuvent pas être nuls et l’on peut introduire
On vérifie
On forme ainsi une suite convergeant vers le vecteur nul qui n’appartient pas à . La partie n’est pas fermée.
Montrer qu’une forme linéaire d’un espace normé est continue si, et seulement si, son noyau est fermé.
Soient un espace normé de dimension quelconque et un endomorphisme de vérifiant
Pour tout , on pose
Simplifier .
Montrer que
On suppose de dimension finie, établir
On suppose de nouveau de dimension quelconque.
Montrer que si
alors la suite converge simplement et l’espace est une partie fermée de .
Étudier la réciproque.
Solution
Par télescopage
donc
Soit . On peut écrire et l’on a .
On en déduit
Or
car
On en déduit .
Par la formule du rang
et puisque les deux espaces sont en somme directe, ils sont supplémentaires.
Soit . On peut écrire avec et .
On a alors avec, comme dans l’étude du b), . On en déduit .
Ainsi, la suite de fonctions converge simplement vers la projection sur parallèlement à .
Puisque pour tout , on a
on obtient à la limite . On en déduit que la projection est continue puis que est une partie fermée.
Supposons la convergence simple de la suite de fonctions et la fermeture de .
Soit . Posons et .
D’une part, puisque
on obtient à la limite
car l’application linéaire est continue et . On en déduit .
D’autre part
et
donc . On en déduit car est fermé.
Finalement, on a écrit avec
Soient et deux espaces normés et .
On suppose que pour toute partie ouverte de , l’ensemble est une partie ouverte de .
Établir que est continue.
Solution
Il s’agit ici d’établir un résultat réciproque de celui du cours affirmant que l’image réciproque par une application continue d’une partie ouverte est un ouvert relatif à l’ensemble de départ de cette application.
Soit . Pour tout , la boule ouverte est une partie ouverte de . Par hypothèse, son image réciproque
est un ouvert de . Or est élément de cette image réciproque et l’on sait qu’un ouvert est voisinage de chacun de ses points. Par conséquent, il existe tel que
ce qui signifie
On a ainsi établi la continuité de en .
Or cela vaut pour , l’application est donc continue.
Soient et deux espaces vectoriels normés et .
Montrer qu’il y a équivalence entre les quatre assertions suivantes:
est continue;
;
;
.
Soit vérifiant
est un segment;
est une partie fermée.
Montrer que est continue.
Solution
Par l’absurde, supposons discontinue en . On peut alors construire une suite vérifiant
avec convenable.
Soit , puisque est un segment contenant et , il contient aussi l’intermédiaire (le étant déterminé par la position relative de par rapport à ). Il existe donc compris entre et vérifiant
La suite évolue dans le fermé et converge vers donc . C’est absurde.
Pour , désigne l’ensemble des polynômes réels de degré scindés à racines simples et l’ensemble des polynômes de scindés à racines simples.
Ces ensembles sont-ils ouverts dans ?
Solution
Soit . En notant ses racines, on peut écrire
avec .
Posons les milieux des segments .
Posons aussi et .
est du signe de , est du signe de ,…, est du signe de , du signe de . Pour simplifier l’exposé de ce qui suit, on va supposer . La résolution se transposera aisément au cas .
Considérons l’application
L’application est continue et donc et sont des parties ouvertes de .
Considérons l’intersection des ouverts
Les éléments de sont des polynômes réels alternant de signe entre . Par application du théorème des valeurs intermédiaires, un tel polynôme admet racines distinctes et donc est scindé à racines simples. Ainsi, . Or et est ouvert donc est voisinage de puis est voisinage de .
Au final est ouvert car voisinage de chacun de ses éléments.
Dans le cas : et donc est ouvert.
Dans le cas : réunit les polynômes avec (que soit égal à 0 ou non). L’application étant continue, on peut affirmer que est encore ouvert car image réciproque d’un ouvert pas une application continue.
Dans le cas : est une suite de polynômes non scindés convergeant vers scindé à racines simples. Par suite, n’est pas ouvert.
Soient et des fonctions continues de dans telles que .
Montrer que l’ensemble des points fixes de possède un plus grand et un plus petit élément.
Montrer l’existence de tel que .
Solution
L’ensemble des points fixes de est , c’est donc une partie fermée de . Étant fermée et bornée c’est une partie compacte. Étant de plus non vide, cette partie admet un plus petit et un plus grand élément.
Soient les deux éléments précédents. L’égalité donne et .
Les réels et étant points fixes de , on a l’encadrement
Considérons alors la fonction continue .
On a et .
Par application du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction s’annule.
Soit une application continue vérifiant
Montrer que l’ensemble
est un intervalle fermé et non vide.
Donner l’allure d’une fonction non triviale vérifiant les conditions précédentes.
On suppose de plus que est dérivable. Montrer que est constante ou égale à l’identité.
Solution
Notons
On a évidemment , mais inversement, pour , on peut écrire et alors
Ainsi, , puis, par double inclusion, .
On en déduit que est un segment de de la forme car image d’un compact par une fonction réelle continue.
Une fonction d’allure suivante convient
Soit une fonction solution dérivable.
Cas: . est constante égale à cette valeur commune.
Cas: . On a car sur .
Par suite, si , prend des valeurs strictement inférieures à ce qui est contradictoire avec l’étude qui précède. On en déduit .
De même, on obtient et l’on conclut .
Chercher les fonctions continues vérifiant
Même question avec les fonctions dérivables.
Solution
Soit solution. Formons
On a évidemment , mais inversement, pour , on peut écrire et alors
Ainsi, , puis, par double inclusion, .
On en déduit que est un segment de de la forme car c’est l’image d’un segment par une fonction réelle continue.
Pour tout , et pour tout , .
Inversement, une fonction continue vérifiant les deux conditions précédente est solution.
Cela peut apparaître sous la forme d’une fonction ayant l’allure suivante
Soit solution dérivable.
Cas: . est constante égale à cette valeur commune.
Cas: . On a car sur .
Par suite, si , prend des valeurs strictement inférieur à ce qui est contradictoire avec l’étude qui précède. On en déduit .
De même, on obtient et l’on conclut .
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Édité le 22-03-2024
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