Exercice 1 5233

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un espace normé $E$ telles que $A \subset B$ .

(a)

Établir $A^{\circ} \subset B^{\circ}$ .
(b)

Montrer que $\bar{A} \subset \bar{B}$ de trois façons différentes.

Exercice 2 1121 Correction

Soient $A_{1}, \dots, A_{n}$ des parties d’un espace vectoriel normé $E$ .

(a)

Établir $\bar{⋃_{i = 1}^{n} A_{i}} = ⋃_{i = 1}^{n} \bar{A_{i}}$ .
(b)

Comparer $\bar{⋂_{i = 1}^{n} A_{i}}$ et $⋂_{i = 1}^{n} \bar{A_{i}}$ .

Solution

(a)

$⋃_{i = 1}^{n} \bar{A_{i}}$ est un fermé qui contient $⋃_{i = 1}^{n} A_{i}$ donc $\bar{⋃_{i = 1}^{n} A_{i}} \subset ⋃_{i = 1}^{n} \bar{A_{i}}$ .
Pour tout $j \in {1, \dots, n}$ , $A_{j} \subset \bar{⋃_{i = 1}^{n} A_{i}}$ et $\bar{⋃_{i = 1}^{n} A_{i}}$ est fermé donc $\bar{A_{j}} \subset \bar{⋃_{i = 1}^{n} A_{i}}$ puis $⋃_{i = 1}^{n} \bar{A_{i}} \subset \bar{⋃_{i = 1}^{n} A_{i}}$ .
(b)

$⋂_{i = 1}^{n} \bar{A_{i}}$ est un fermé qui contient $⋂_{i = 1}^{n} A_{i}$ donc $\bar{⋂_{i = 1}^{n} A_{i}} \subset ⋂_{i = 1}^{n} \bar{A_{i}}$ .
Il ne peut y avoir égalité: pour $A_{1} = ℚ$ , $A_{2} = ℝ ∖ ℚ$ on a $\bar{A_{1} \cap A_{2}} = \emptyset$ et $\bar{A_{1}} \cap \bar{A_{2}} = ℝ$ .

Exercice 3 1115

Montrer que si $F$ est un sous-espace vectoriel d’un espace normé $E$ , son adhérence $\bar{F}$ est aussi un sous-espace vectoriel de $E$ .

Exercice 4 3279 Correction

Soit $A$ une partie d’un espace vectoriel normé $E$ . Établir

Vect (\bar{A}) \subset \bar{Vect (A)} .

Solution

Puisque $A \subset Vect (A)$ , on a $\bar{A} \subset \bar{Vect (A)}$ .
Puisque $Vect (A)$ est un sous-espace vectoriel, on montrer aisément que $\bar{Vect (A)}$ l’est aussi. Puisqu’il contient $\bar{A}$ , on obtient

Vect (\bar{A}) \subset \bar{Vect (A)} .

Exercice 5 1119 Correction

On suppose que $A$ est une partie convexe d’un espace vectoriel normé $E$ .

(a)

Montrer que $\bar{A}$ est convexe.
(b)

La partie $A^{\circ}$ est-elle convexe?

Solution

(a)

Soient $a, b \in \bar{A}$ . Il existe $(a_{n}) \in A^{ℕ}$ et $(b_{n}) \in A^{ℕ}$ telles que $a_{n} \to a$ et $b_{n} \to b$ .
Pour tout $λ \in [0; 1]$ ,

$λ a + (1 - λ) b = lim_{n \to + \infty} (λ a_{n} + (1 - λ) b_{n})$

avec $λ a_{n} + (1 - λ) b_{n} \in [a_{n}; b_{n}] \subset A$ donc $λ a + (1 - λ) b \in \bar{A}$ .
(b)

Soient $a, b \in A^{\circ}$ . Il existe $α_{a}, α_{b} > 0$ tel que $B (a, α_{a}), B (b, α_{b}) \subset A$ . Posons $α = \min (α_{a}, α_{b}) > 0$ .
Pour tout $λ \in [0; 1]$ et tout $x \in B (λ a + (1 - λ) b, α)$ on a $x = (λ a + (1 - λ) b) + α u$ avec $u \in B (0,1)$ .
$a^{'} = a + α u \in B (a, α) \subset A$ et $b^{'} = b + α u \in B (b, α) \subset A$ donc $[a^{'}; b^{'}] \subset A$ puisque $A$ est convexe donc $λ a^{'} + (1 - λ) b^{'} = x \in A$ . Ainsi $B (λ a + (1 - λ) b, α) \subset A$ et donc $λ a + (1 - λ) b \in A^{\circ}$ .

Finalement, $A^{\circ}$ est convexe.

Exercice 6 4672

Soit $A$ une partie de $ℝ$ non vide et majorée. Montrer que $sup (A) \in \bar{A}$ .

Exercice 7 1122 Correction

Soient $f : E \to F$ continue bornée et $A \subset E$ , $A$ non vide. Montrer

{∥ f ∥}_{\infty, A} = {∥ f ∥}_{\infty, \bar{A}} .

Solution

Pour tout $x \in A$ , $x \in \bar{A}$ et donc $| f (x) | \leq {∥ f ∥}_{\infty, \bar{A}}$ . Ainsi,

{∥ f ∥}_{\infty, A} \leq {∥ f ∥}_{\infty, \bar{A}} .

Soit $x \in \bar{A}$ , il existe $(u_{n}) \in A^{ℕ}$ tel que $u_{n} \to x$ et alors $f (u_{n}) \to f (x)$ par continuité de $f$ . Or $| f (u_{n}) | \leq {∥ f ∥}_{\infty, A}$ donc à la limite $| f (x) | \leq {∥ f ∥}_{\infty, A}$ puis

{∥ f ∥}_{\infty, \bar{A}} \leq {∥ f ∥}_{\infty, A} .

Exercice 8 1113

Soit $F$ un sous-espace vectoriel d’un espace normé $E$ .

On suppose que l’intérieur de $F$ est non vide. Montrer qu’alors $F = E$ .

Exercice 9 2943 X (MP)

Déterminer l’adhérence et l’intérieur de l’ensemble $𝒟_{n} (ℂ)$ des matrices diagonalisables de $ℳ_{n} (ℂ)$ .

Exercice 10 3470 Correction

Dans $ℳ_{2} (ℂ)$ , on introduit

	$𝒰$	$= {M \in ℳ_{2} (ℂ) \| \forall λ \in Sp (M), \| λ \| = 1} et$
	$ℛ$	$= {M \in ℳ_{2} (ℂ) \| \exists n \in ℕ^{*}, M^{n} = I_{2}} .$

(a)

Comparer les ensembles $ℛ$ et $𝒰$ .
(b)

Montrer que $𝒰$ est une partie fermée de $ℳ_{2} (ℂ)$ .
(c)

Montrer que $𝒰$ est inclus dans l’adhérence de $ℛ$ .
(d)

Qu’en déduire?

Solution

(a)

Une matrice de $ℛ$ est annulée par un polynôme de la forme $X^{n} - 1$ dont les racines sont de module 1. Puisque les valeurs propres figurent parmi les racines des polynômes annulateurs

$ℛ \subset 𝒰 .$
(b)

Une matrice $M \in ℳ_{2} (ℂ)$ admet deux valeurs propres comptées avec multiplicité $λ, μ$ . Celles-ci sont déterminées comme les solutions du système

${\begin{matrix} λ + μ & = tr (M) \\ λ μ & = \det (M) . \end{matrix}$

Pour alléger les notations, posons $p = (tr (M)) / 2$ et $q = \det (M)$ . Les valeurs propres $λ$ et $μ$ sont les deux racines du polynôme

$X^{2} - p X + q$

et en posant $δ \in ℂ$ tel que $δ^{2} = p^{2} - q$ , ces racines sont

$λ = p + δ et μ = p - δ$

de sorte que

${| λ |}^{2}$ $= {| p |}^{2} + {| δ |}^{2} + 2 Re (\bar{p} δ) et$

${| μ |}^{2}$ $= {| p |}^{2} + {| δ |}^{2} - 2 Re (\bar{p} δ) .$

On en déduit que la fonction $f$ qui à $M \in ℳ_{2} (ℂ)$ associe le réel

${({| λ |}^{2} - 1)}^{2} + {({| μ |}^{2} - 1)}^{2} = {({| λ |}^{2} + {| μ |}^{2})}^{2} - 2 ({| λ |}^{2} + {| μ |}^{2} + {| λ μ |}^{2} - 1)$

s’exprime par opérations à partir de $tr (M)$ et $\det (M)$ sous la forme d’une fonction continue.
Puisque $𝒰 = f^{- 1} ({0})$ avec ${0}$ fermé, $𝒰$ est une partie fermée de $ℳ_{2} (ℂ)$ .
(c)

Soit $M \in 𝒰$ . La matrice $M$ est trigonalisable et donc il existe $P \in {GL}_{2} (ℂ)$ et $T \in 𝒯_{2}^{+} (ℂ)$ telle que

$M = P T P^{- 1} avec T = (\begin{matrix} λ & ν \\ 0 & μ \end{matrix}), | λ | = | μ | = 1 .$

On peut écrire $λ = e^{i α}$ et $μ = e^{i β}$ avec $α, β \in ℝ$ .
Pour $n \in ℕ^{*}$ , posons

$α_{n} = 2 π \frac{⌊ n α / 2 π ⌋}{n} et β_{n} = 2 π \frac{⌊ n β / 2 π ⌋ + 1}{n}$

et considérons la matrice

$M_{n} = P T_{n} P^{- 1} avec T_{n} = (\begin{matrix} e^{i α_{n}} & ν \\ 0 & e^{i β_{n}} \end{matrix}) .$

Par construction,

$e^{i α_{n}} \neq e^{i β_{n}}$

au moins pour $n$ assez grand et ce même lorsque $α = β$ .
On en déduit que pour ces valeurs de $n$ la matrice $T_{n}$ est diagonalisable.
De plus, puisque

${(e^{i α_{n}})}^{n} = {(e^{i β_{n}})}^{n} = 1$

on a alors $T_{n}^{n} = I_{2}$ et donc $M_{n} \in ℛ$ .
Enfin, on a évidemment $M_{n} \to M$ .
(d)

$𝒰$ est un fermé contenant $ℛ$ donc $\bar{ℛ} \subset 𝒰$ et par double inclusion $\bar{ℛ} = 𝒰$ .

[>] Frontière

Édité le 29-08-2023

	${\| λ \|}^{2}$	$= {\| p \|}^{2} + {\| δ \|}^{2} + 2 Re (\bar{p} δ) et$
	${\| μ \|}^{2}$	$= {\| p \|}^{2} + {\| δ \|}^{2} - 2 Re (\bar{p} δ) .$

Intérieur et adhérence