Soit $f$ la limite uniforme d’une suite de fonctions $(f_n)$ d’éléments de $F$. Puisque la convergence uniforme oblige la convergence simple, $f\in F$.

L’espace $F$ est fermé pour la norme de la convergence uniforme: $\overline{F}=F$.

Soit $f\in E$. Pour $n\in \mathbb{N}$, $n⩾2$, considérons la fonction continue

La suite de fonctions $(f{\phi }_n)$ est formée d’éléments de $F$ et converge en moyenne vers $f$ car

L’espace $F$ est dense dans $E$ pour la norme de la convergence en moyenne: $\overline{F}=E$

Pour la norme de la convergence uniforme ou pour la norme de la convergence en moyenne, l’intérieur de $F$ est vide car, au voisinage de chaque élément de $F$, il existe des fonctions qui ne s’annulent pas en $0$ (idem en $1$).

• (a)

  Par théorème, une matrice $A$ de ${ℳ}_n(ℂ)$ est nilpotente si, et seulement si, $A^n={\mathrm{O}}_n$. L’ensemble $𝒩$ apparaît donc comme l’image réciproque de $\{{\mathrm{O}}_n\}$ par l’application continue $M\mapsto M^n$. L’ensemble $𝒩$ est donc fermé: $\overline{𝒩}=𝒩$.

  Pour tout $\alpha >0$, la matrice $\alpha {\mathrm{I}}_n+N$ n’est pas nilpotente car $\alpha$ en est une valeur propre non nulle. Au voisinage de $N$, il existe donc des matrices non nilpotentes. L’intérieur de $𝒩$ est vide.

• (b)

  Soit $M\in {ℳ}_n(ℂ)$ telle que la matrice nulle soit adhérente à la classe de similitude de $M$. Il existe une suite ${(M_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ de matrices, toutes semblables à $M$, et de limite ${\mathrm{O}}_n$. L’application $M\mapsto {\chi }_M$ (avec ${\chi }_M$ le polynôme caractéristique de $M$) est continue donc

  $${\chi }_{M_n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\chi }_{{\mathrm{O}}_n}=X^n$$

  Or le polynôme caractéristique est un invariant de similitude et donc $({\chi }_{M_n})$ est une suite constante égale à ${\chi }_M$. On en déduit ${\chi }_M=X^n$ et la matrice $M$ est donc nilpotente.

  Soit $M\in {ℳ}_n(ℂ)$ nilpotente. La matrice $M$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte $T$. Pour $\epsilon >0$ considérons la matrice diagonale $P_{\epsilon }=\mathrm{diag}(1,\epsilon ,\mathrm{\dots },{\epsilon }^{n-1})$. Par le calcul, on observe

  $$\forall 1⩽i<j⩽n,{\left[P_{\epsilon }^{-1}T{P}_{\epsilon }\right]}_{i,j}={\epsilon }^{j-i}{\left[T\right]}_{i,j}\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\overset{}{\to }}0$$

  Les autres coefficients de $P_{\epsilon }^{-1}T{P}_{\epsilon }$ étant nuls, on obtient

  $$P_{\epsilon }^{-1}T{P}_{\epsilon }\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\overset{}{\to }}{\mathrm{O}}_n$$

  La matrice nulle est adhérente à la classe de similitude de $M$.

  En conclusion, la matrice nulle est adhérente à la classe de similitude de $M\in {ℳ}_n(ℂ)$ si, et seulement si, $M$ est nilpotente.

• (a)

  $(⟹)$ Le polynôme $P$ possède exactement $n$ racines réelles comptées avec multiplicité que l’on note ${\lambda }_1,\mathrm{\dots },{\lambda }_n$. Sachant de plus que le polynôme est unitaire, on écrit

  $$P=(X-{\lambda }_1)\mathrm{\dots }(X-{\lambda }_n)\text{.}$$

  Pour tout $z\in ℂ$, on a alors

  $$\left|P(z)\right|=\prod _{k=1}^n|z-{\lambda }_k|⩾{\left|\mathrm{Im}(z)\right|}^n$$

  car

  $$|z-{\lambda }_k|=\sqrt{{\left(\mathrm{Re}(z)-{\lambda }_k\right)}^2+{\left(\mathrm{Im}(z)\right)}^2}⩾\left|\mathrm{Im}(z)\right|\text{.}$$

  $(⟸)$ Supposons ${\left|\mathrm{Im}(z)\right|}^n⩽\left|P(z)\right|$ pour tout $z\in ℂ$.

  On sait que le polynôme $P$ est assurément scindé sur $ℂ$. Or, si $z$ est une racine de $P$, on a ${\left|\mathrm{Im}(z)\right|}^n⩽\left|P(z)\right|=0$ et donc $z\in ℝ$. Ainsi, les racines de $P$ sont toutes réelles et le polynôme $P$ est scindé sur $ℝ$.

• (b)

  Soit ${(A_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite convergente de matrices diagonalisables de ${ℳ}_n\left(ℝ\right)$. Notons $A$ sa limite. Les coefficients du polynôme caractéristique étant des polynômes en les coefficients de la matrice, on observe

  $$\forall z\in ℂ,{\chi }_{A_n}(z)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}{\chi }_A(z)\text{.}$$

  Les matrices $A_n$ étant diagonalisables, les polynômes caractéristiques ${\chi }_{A_n}$ sont scindés sur $ℝ$ et puisqu’il sont unitaires de degré $n$, on a

  $$\forall z\in ℂ,\forall n\in \mathbb{N},\left|{\chi }_{A_n}(z)\right|⩾{\left|\mathrm{Im}(z)\right|}^n\text{.}$$

  À la limite quand $n$ tend vers l’infini

  $$\forall z\in ℂ,\left|{\chi }_A(z)\right|⩾{\left|\mathrm{Im}(z)\right|}^n\text{.}$$

  On en déduit que le polynôme ${\chi }_A$ est scindé sur $ℝ$. La matrice $A$ est donc trigonalisable.

  Ainsi, l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables est incluse dans l’ensemble des matrices trigonalisables.

  En reprenant le raisonnement avec $(A_n)$ une suite convergente de matrices trigonalisables, on établit que l’ensemble des matrices trigonalisables est une partie fermée de ${ℳ}_n(ℝ)$.

  On peut alors conclure que l’adhérence de l’ensemble des matrices diagonalisables est exactement l’ensemble des matrices trigonalisables.

• (a)

  Pour $A\in E$, il existe $n\in {\mathbb{N}}^{*}$ tel que $X^n-1$ annule $A$. Les valeurs propres de $A$ sont alors des racines de l’unité donc des complexes de module $1$.

• (b)

  Pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

  $$\alpha -\frac{1}{n}<\frac{\lfloor n\alpha \rfloor }{n}⩽\alpha \text{.}$$

  Par encadrement,

  $$\frac{\lfloor n\alpha \rfloor }{n}\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}\alpha \text{.}$$

  Soit $A\in F$. Notons ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\alpha }$ et ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\beta }$ ses deux valeurs propres.

  Cas: ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\alpha }\ne {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\beta }$. La matrice $A$ est diagonalisable et l’on peut écrire

  $$A=PD{P}^{-1}\mathit{\hspace{1em}}\text{avec}\mathit{\hspace{1em}}D=\left(\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\alpha }\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\beta }\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Posons alors, pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$,

  $$A_n=P{D}_n{P}^{-1}\mathit{\hspace{1em}}\text{avec}\mathit{\hspace{1em}}{D}_n=\left(\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\lfloor n\alpha \rfloor /n}\hfill & \hfill 0\hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\lfloor n\beta \rfloor /n}\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  On vérifie $D_n^n={\mathrm{I}}_2$ et donc $A_n^n={\mathrm{I}}_2$. Ainsi, ${(A_n)}_{n⩾1}$ est une suite d’éléments de $E$. Par opérations sur les limites, ${(A_n)}_{n⩾1}$ tend vers $A$.

  Cas: ${\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\alpha }={\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\beta }$. La matrice $A$ est seulement trigonalisable. On écrit

  $$A=PT{P}^{-1}\mathit{\hspace{1em}}\text{avec}\mathit{\hspace{1em}}T=\left(\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\alpha }\hfill & \hfill \gamma \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\alpha }\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Posons alors pour $n\in {\mathbb{N}}^{*}$

  $$A_n=P{D}_n{P}^{-1}\mathit{\hspace{1em}}\text{avec}\mathit{\hspace{1em}}{D}_n=\left(\begin{array}{cc}\hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\lfloor n\alpha \rfloor /n}\hfill & \hfill \gamma \hfill \\ \hfill 0\hfill & \hfill {\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}\left(\lfloor n\alpha \rfloor /n+1/n\right)}\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  La matrice $D_n$ est diagonalisable car ses deux valeurs propres sont distinctes. Par cette diagonalisation, on vérifie alors $D_n^n={\mathrm{I}}_2$ et l’on conclut comme dans le cas précédent.

• (c)

  Soit ${(A_n)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite convergente d’éléments de $F$. Notons $A_{\mathrm{\infty }}$ sa limite.

  Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $\left|\det (A_n)\right|=1$ par produit des valeurs propres comptées avec multiplicité. À la limite, on obtient $\left|\det (A_{\mathrm{\infty }})\right|=1$. Cela assure que le module du produit des deux valeurs propres de $A_{\mathrm{\infty }}$ vaut $1$.

  Pour tout $n\in \mathbb{N}$, $A_n$ admet au moins une valeur propre ${\lambda }_n$ et celle-ci est de module $1$. La suite bornée $({\lambda }_n)$ possède donc une suite convergente $({\lambda }_{\phi (n)})$ de limite ${\lambda }_{\mathrm{\infty }}$ avec ${\lambda }_{\mathrm{\infty }}$ de module $1$.

  Pour tout $n\in \mathbb{N}$, ${\chi }_{A_{\phi (n)}}({\lambda }_{\phi (n)})=0$. Par continuité du polynôme caractéristique, on obtient ${\chi }_{A_{\mathrm{\infty }}}({\lambda }_{\mathrm{\infty }})=0$. La matrice $A_{\mathrm{\infty }}$ possède au moins une valeur propre de module $1$. Le produit des deux valeurs propres de $A_{\mathrm{\infty }}$ étant de module $1$, les deux valeurs propres de $A_{\mathrm{\infty }}$ sont de module $1$.

  Finalement, $A_{\mathrm{\infty }}\in F$.

  En vertu de la caractérisation séquentielle des parties fermées, $F$ est fermée.

  L’ensemble de ce qui précède permet alors d’affirmer que l’adhérence de $E$ vaut $F$.