[<] Parties denses [>] Approximations uniformes
Déterminer les fonctions continues vérifiant
Solution
Soit une fonction solution.
On a donc
Par une récurrence facile,
De plus, puisque , on a .
Par suite,
Pour ,
Aussi,
donc avec .
Les fonctions et sont continues et coïncident sur partie dense dans donc ces deux fonctions sont égales sur .
Au final, est une fonction linéaire.
Inversement, une telle fonction est évidemment solution.
Soit une fonction continue telle que
Montrer que est dense dans .
Montrer que si s’annule en et en alors .
Conclure que est une fonction affine.
Solution
Soit . On remarque
avec pour tout . La partie est dense dans .
Supposons que s’annule en et .
Pour tout ,
On en déduit que la fonction est impaire.
Par récurrence double, montrons pour tout .
Pour et , la propriété est acquise par hypothèse.
Supposons la propriété établie aux rangs et .
L’égalité
donne, en vertu de l’hypothèse de récurrence, .
La récurrence est établie.
Par l’imparité, on complète
Par récurrence sur , montrons
Pour , on vient d’obtenir la propriété.
Supposons la propriété établie au rang .
Soit . Par la relation fonctionnelle vérifiée par ,
La récurrence est établie.
Enfin, puisque est continue et nulle sur une partie
dense dans , est identiquement nulle sur .
Posons et .
La fonction est continue et vérifie la propriété
On en déduit que la fonction est identiquement nulle ce qui conduit à affine.
Soient et . On note l’application définie par
Montrer que est une norme sur si, et seulement si, est dense dans .
Solution
est bien définie et l’on vérifie immédiatement
Il reste à étudier la véracité de l’implication
Supposons: dense dans .
Si alors et donc pour tout , on a car .
Puisque la fonction continue est nulle sur la partie dense dans , cette fonction est nulle sur .
Supposons: non dense dans .
Puisque le complémentaire de l’adhérence est l’intérieur du complémentaire, la partie est d’intérieur non vide et donc il existe tels que .
Considérons la fonction définie sur par
Cette fonction est continue sur , ce n’est pas la fonction nulle mais en revanche la fonction est la fonction nulle. Ainsi, on a formé un élément non nul de tel que . On en déduit que n’est pas une norme.
Soit un naturel au moins égal à .
Montrer que est une partie dense de .
Calculer pour .
Soit . Vérifier
Solution
Cas: est inversible. On sait
et de même
Or
ce qui se relit
Sachant , on simplifie et l’on obtient
Cas général: Les applications
sont continues sur car leurs fonctions coordonnées sont des polynômes en les coefficients de . Aussi, ces fonctions sont égales sur qui est une partie dense dans . Ces fonctions sont donc égales sur .
Pour , calculer .
Solution
Si est inversible alors
(1) |
La comatrice de est aussi inversible et donc
On simplifie le second membre
car en vertu de (1).
Par coïncidence d’applications continues sur une partie dense, pour tout ,
Montrer
Solution
Cas: . On sait
et
donc
puis
et enfin
Cas général: Posons
Pour assez grand et donc
Or la fonction est continue donc par passage à la limite
Soit avec .
Montrer que les comatrices de deux matrices semblables de sont elles aussi semblables.
Montrer que l’application qui à une matrice de associe son polynôme caractéristique est continue.
On rappelle que est dense dans .
Montrer l’égalité pour toutes matrices dans .
On rappelle que l’ensemble des matrices diagonalisables est dense dans .
Montrer l’égalité (Théorème de Cayley-Hamilton).
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Édité le 14-10-2023
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