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Exercice 1  1136  Correction  

Soit f: continue vérifiant

x,y,f(x+y)=f(x)+f(y).

Déterminer f.

Solution

Soit f une fonction solution.

On a f(0+0)=f(0)+f(0) donc f(0)=0

Par une récurrence facile,

n,x,f(nx)=nf(x).

De plus, puisque f(-x+x)=f(-x)+f(x), on a f(-x)=-f(x).

Par suite,

n,x,f(nx)=nf(x).

Pour x=p/q,

f(x)=f(pq)=f(p×1q)=pf(1q)

Aussi,

f(1)=f(qq)=qf(1q)

donc f(x)=ax avec a=f(1).

Les fonctions xf(x) et xax sont continues et coïncident sur partie dense dans donc ces deux fonctions sont égales sur .

Au final, f est une fonction linéaire.

Inversement, une telle fonction est évidemment solution.

 
Exercice 2  1139   Correction  

Soit f: une fonction continue telle que

(x,y)2,f(x+y2)=12(f(x)+f(y)).
  • (a)

    Montrer que 𝒟={p/2n|p,n} est dense dans .

  • (b)

    Montrer que si f s’annule en 0 et en 1 alors f=0.

  • (c)

    Conclure que f est une fonction affine.

Solution

  • (a)

    Soit x. Puisque

    un=2nx2nx

    avec un𝒟, la partie 𝒟 est dense dans .

  • (b)

    Supposons que f s’annule en 0 et 1.

    12(f(-x)+f(x))=f(0)

    donc la fonctionf est impaire.
    Par récurrence double, montrons n,f(n)=0.
    Pour n=0 ou n=1: ok
    Supposons la propriété établie aux rangs n1 et n-10.

    f(n+1)+f(n-1)2=f(n)

    donne en vertu de l’hypothèse de récurrence: f(n+1)=0.
    Récurrence établie.
    Par l’imparité

    p,f(p)=0.

    Par récurrence sur n, montrons

    p,f(p2n)=0.

    Pour n=0: ok
    Supposons la propriété établie au rang n.
    Soit p,

    f(p2n+1)=f(12(0+p2n))=12(f(0)+f(p2n))=HR0.

    Récurrence établie.
    Puisque f est continue et nulle sur une partie

    𝒟={p2n|p,n}

    dense dans , f est nulle sur .

  • (c)

    Posons β=f(0) et α=f(1)-β.
    La fonction g:xf(x)-αx+β est continue et vérifie la propriété

    g(x+y2)=12(g(x)+g(y))

    donc g est nulle puis f affine.

 
Exercice 3  3059   Correction  

Soient E=𝒞([0;1],) et φE. On note Nφ:E l’application définie par

Nφ(f)=fφ.

Montrer que Nφ est une norme sur E si, et seulement si, φ-1(*) est dense dans [0;1].

Solution

Nφ:E+ est bien définie et l’on vérifie immédiatement

Nφ(λf)=|λ|Nφ(f) et Nφ(f+g)Nφ(f)+Nφ(g).

Il reste à étudier la véracité de l’implication

Nφ(f)=0f=0.

Supposons: φ-1(*) dense dans [0;1].
Si Nφ(f)=0 alors fφ=0 et donc pour tout xφ-1(*), on a f(x)=0 car φ(x)0.
Puisque la fonction continue f est nulle sur la partie φ-1(*) dense dans [0;1], cette fonction est nulle sur [0;1].
Supposons: φ-1(*) non dense dans [0;1].
Puisque le complémentaire de l’adhérence est l’intérieur du complémentaire, la partie φ-1({0}) est d’intérieur non vide et donc il existe a<b[0;1] tels que [a;b]φ-1({0}).
Considérons la fonction f définie sur [0;1] par

f(x)={(x-a)(b-x) si x[a;b]0 sinon.

Cette fonction f est continue sur [0;1], ce n’est pas la fonction nulle mais en revanche la fonction fφ est la fonction nulle. Ainsi, on a formé un élément f non nul de E tel que Nφ(f)=0. On en déduit que Nφ n’est pas une norme.

 
Exercice 4  4698   

Soit n un naturel au moins égal à 2.

  • (a)

    Montrer que GLn(𝕂) est une partie dense de n(𝕂).

  • (b)

    Calculer det(Com(A)) pour An(𝕂).

 
Exercice 5  750   Correction  

Pour An(𝕂), calculer Com(Com(A)).

Solution

Si A est inversible alors

Com(A)=det(A)A-1t. (1)

La comatrice de A est aussi inversible et donc

Com(Com(A))=det(Com(A)A-1t)(A-1t)-1t.

On simplifie le second membre

Com(Com(A))=det(Com(A))det(A-1)A=det(A)n-2A.

car det(Com(A)))=det(A)n-1 en vertu de (1).

Par coïncidence d’applications continues sur une partie dense, pour tout An(𝕂),

Com(Com(A))=det(A)n-2A.
 
Exercice 6  3275   Correction  

Montrer

A,Bn(),Com(AB)=Com(A)Com(B).

Solution

Cas: A,BGLn(). On sait

A-1=1det(A)(Com(A))t,B-1=1det(B)(Com(B))t

et

(AB)-1=1det(AB)(Com(AB))t=B-1A-1

donc

(AB)-1=1det(AB)(Com(AB))t=1det(A)det(B)(Com(B))t(Com(A))t

puis

(Com(AB))t=(Com(A)Com(B))t

et enfin

Com(AB)=Com(A)Com(B).

Cas général: Posons

Ap=A+1pInetBp=B+1pIn.

Pour p assez grand Ap,BpGLn() et donc

Com(ApBp)=Com(Ap)Com(Bp).

Or la fonction MCom(M) est continue donc par passage à la limite

Com(AB)=Com(A)Com(B).
 
Exercice 7  4227   

Soit n avec n2. Montrer que les comatrices de deux matrices semblables de n() sont aussi semblables.

 
Exercice 8  4150    
  • (a)

    Montrer que l’application qui à une matrice M de n() associe son polynôme caractéristique χM est continue.

On rappelle que GLn() est dense dans n().

  • (b)

    Montrer l’égalité χAB=χBA pour toutes matrices A,B dans n().

On rappelle que l’ensemble 𝒟n() des matrices diagonalisables est dense dans n().

  • (c)

    Montrer l’égalité χA(A)=On (Théorème de Cayley-Hamilton).

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Édité le 08-11-2019

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