Exercice 1 1730 Correction

Soient $C_{1}$ et $C_{2}$ deux parties convexes d’un espace vectoriel réel $E$ .
Montrer que l’ensemble $C$ formé des milieux des vecteurs $u_{1}$ et $u_{2}$ avec $u_{1} \in C_{1}$ et $u_{2} \in C_{2}$ est convexe.

Solution

Soient $λ \in [0; 1]$ et $u, v \in C$ . Étudions $λ u + (1 - λ) v$ .
On peut écrire $u = \frac{1}{2} (u_{1} + u_{2})$ et $v = \frac{1}{2} (v_{1} + v_{2})$ avec $u_{1}, v_{1} \in 𝒞_{1}$ et $u_{2}, v_{2} \in 𝒞_{2}$ .
On observe alors

λ u + (1 - λ) v = \frac{1}{2} (w_{1} + w_{2})

avec

w_{1} = (λ u_{1} + (1 - λ) v_{1}) \in 𝒞_{1} et w_{2} = \frac{1}{2} (λ u_{2} + (1 - λ) v_{2}) \in 𝒞_{2} .

Ainsi $λ u + (1 - λ) v \in 𝒞$ .

Exercice 2 5519 Correction

Soit $A$ une partie d’un espace vectoriel réel $E$ .

Montrer qu’il existe un convexe de $E$ contenant $A$ et inclus dans tout convexe contenant $A$ .

Ce convexe est le plus petit convexe qui contient $A$ , on l’appelle l’enveloppe convexe de $A$ et on le note $Conv (A)$ .

Solution

Soit $𝒮$ l’ensemble constitué des parties convexes $X$ de $E$ contenant $A$ . Considérons

Conv (A) = ⋂_{X \in 𝒮} X .

L’ensemble $Conv (A)$ est une intersection de parties convexes, c’est donc une partie convexe.

L’ensemble $Conv (A)$ est une intersection de parties contenant $A$ , c’est donc une partie contenant $A$ .

Enfin, si $X$ est une partie convexe,

	$A \subset X$	$⟹ X \in 𝒮$
		$⟹ Conv (A) \subset X$

car $X$ figure parmi les ensembles intersectés pour définir $Conv (A)$ .

Exercice 3 4671

Montrer que

A = {(x_{1}, \dots, x_{n}) \in {[0; + \infty [}^{n} | x_{1} + \dots + x_{n} \leq 1}

est une partie bornée et convexe de $ℝ^{n}$ .

Exercice 4 4674

Soient $E$ un espace vectoriel réel et $N : E \to ℝ_{+}$ une application vérifiant, pour tout $λ \in ℝ$ et tout $x \in E$ ,

N (λ . x) = | λ | N (x) et N (x) = 0 ⟹ x = 0_{E} .

Montrer que $N$ définit une norme si, et seulement si, l’ensemble

B = {x \in E | N (x) \leq 1}

est une partie convexe de $E$ .

Exercice 5 4681

Soit $A$ une partie fermée non vide d’un espace normé $E$ . Pour tout $x \in E$ , on introduit la distance de $x$ à $A$ définie par

d (x, A) = inf_{a \in A} ∥ x - a ∥ .

Montrer que la partie $A$ est convexe si, et seulement si, pour tous vecteurs $x$ et $y$ dans $E$ et tout $λ \in [0; 1]$ , on a l’inégalité

d ((1 - λ) . x + λ . y, A) \leq (1 - λ) d (x, A) + λ d (y, A) .

Exercice 6 4682

Soit $B$ une partie d’un espace vectoriel réel $E$ de dimension finie.

À quelle(s) condition(s) sur $B$ peut affirmer qu’il existe une norme sur $E$ pour laquelle $B$ en soit la boule unité fermée?

[<] Continuité et topologie [>] Connexité par arcs

Édité le 29-08-2023

Parties convexes