[>] Étude de convexité

 
Exercice 1  1730  Correction  

Soient C1 et C2 deux parties convexes d’un espace vectoriel réel E.
Montrer que l’ensemble C formé des milieux des vecteurs u1 et u2 avec u1C1 et u2C2 est convexe.

Solution

Soient λ[0;1] et u,vC. Étudions λu+(1-λ)v.
On peut écrire u=12(u1+u2) et v=12(v1+v2) avec u1,v1𝒞1 et u2,v2𝒞2.
On observe alors

λu+(1-λ)v=12(w1+w2)

avec

w1=(λu1+(1-λ)v1)𝒞1 et w2=12(λu2+(1-λ)v2)𝒞2.

Ainsi λu+(1-λ)v𝒞.

 
Exercice 2  1731   Correction  

Soit V une partie non vide d’un -espace vectoriel E.
Montrer que si tout barycentre d’éléments de V est encore dans V alors V est un sous-espace affine.

Solution

Soient aV et F={b-a|bV}. Montrons que F est un sous-espace vectoriel de E, ce qui, puisque V=a+F assure que V est un sous-espace affine.
FE et 0E=a-aF.
Soient λ et uF. Puisque aV et a+uV on a

a+λu=(1-λ)a+λ(a+u)V

donc λ.uF.
Soient u,vF. On a a+uV et b+vV donc

a+12(u+v)=12(a+u)+12(a+v)V

et donc 12(u+v)F puis u+vF en vertu de la propriété précédente.

Finalement, F est un sous-espace vectoriel de E.

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Édité le 08-11-2019

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