Exercice 1 1730 Correction

Soient $C_{1}$ et $C_{2}$ deux parties convexes d’un espace vectoriel réel $E$ .
Montrer que l’ensemble $C$ formé des milieux des vecteurs $u_{1}$ et $u_{2}$ avec $u_{1} \in C_{1}$ et $u_{2} \in C_{2}$ est convexe.

Solution

Soient $λ \in [0; 1]$ et $u, v \in C$ . Étudions $λ u + (1 - λ) v$ .
On peut écrire $u = \frac{1}{2} (u_{1} + u_{2})$ et $v = \frac{1}{2} (v_{1} + v_{2})$ avec $u_{1}, v_{1} \in 𝒞_{1}$ et $u_{2}, v_{2} \in 𝒞_{2}$ .
On observe alors

λ u + (1 - λ) v = \frac{1}{2} (w_{1} + w_{2})

avec

w_{1} = (λ u_{1} + (1 - λ) v_{1}) \in 𝒞_{1} et w_{2} = \frac{1}{2} (λ u_{2} + (1 - λ) v_{2}) \in 𝒞_{2} .

Ainsi $λ u + (1 - λ) v \in 𝒞$ .

Exercice 2 1731 Correction

Soit $V$ une partie non vide d’un $ℝ$ -espace vectoriel $E$ .
Montrer que si tout barycentre d’éléments de $V$ est encore dans $V$ alors $V$ est un sous-espace affine.

Solution

Soient $a \in V$ et $F = {b - a | b \in V}$ . Montrons que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , ce qui, puisque $V = a + F$ assure que $V$ est un sous-espace affine.
$F \subset E$ et $0_{E} = a - a \in F$ .
Soient $λ \in ℝ$ et $u \in F$ . Puisque $a \in V$ et $a + u \in V$ on a

a + λ u = (1 - λ) a + λ (a + u) \in V

donc $λ . u \in F$ .
Soient $u, v \in F$ . On a $a + u \in V$ et $b + v \in V$ donc

a + \frac{1}{2} (u + v) = \frac{1}{2} (a + u) + \frac{1}{2} (a + v) \in V

et donc $\frac{1}{2} (u + v) \in F$ puis $u + v \in F$ en vertu de la propriété précédente.

Finalement, $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Barycentre et parties convexes