Exercice 1 1147 Correction

Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs.

Solution

Notons $P_{1}, \dots, P_{n}$ les points à exclure.
Considérons une droite $𝒟$ ne passant par aucun des points $P_{1}, \dots, P_{n}$ . Cette droite est une partie connexe.
Considérons un point $A$ du plan autre que $P_{1}, \dots, P_{n}$ . Il existe une infinité de droites passant par $A$ et coupant la droite $𝒟$ . Parmi celles-ci, il y en a au moins une qui ne passe par les $P_{1}, \dots, P_{n}$ . On peut dont relier $A$ à un point de la droite $𝒟$ .
En transitant par cette droite, on peut alors relier par un tracé continu excluant les $P_{1}, \dots, P_{n}$ , tout couple de points $(A, B)$ autres que les $P_{1}, \dots, P_{n}$ .

Exercice 2 1149 Correction

Montrer que l’image d’un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.

Solution

L’image d’un arc continu par une application continue est un arc continu. Ainsi, si $X$ est connexe par arcs et $f$ continue définie sur $X$ alors pour tout $f (x), f (y) \in f (X)$ , l’image par $f$ d’un arc continu reliant $x$ et à $y$ est un arc continue reliant $f (x)$ à $f (y)$ et donc $f (X)$ est connexe par arcs.

Exercice 3 1152

Soient $A$ et $B$ deux parties connexes par arcs d’un espace normé $E$ .

(a)

Montrer que $A \times B$ est connexe par arcs dans l’espace normé produit $E \times E$ .
(b)

En déduire que $A + B = {a + b | a \in A, b \in B}$ est connexe par arcs.

Exercice 4 1156

Montrer que l’ensemble $𝒟_{n}$ formé des matrices diagonalisables de $ℳ_{n} (ℝ)$ est connexe par arcs.

Exercice 5 4078 Correction

On note $𝒩$ l’ensemble des matrices de $ℳ_{n} (ℝ)$ nilpotentes. Montrer que $N$ est une partie étoilée.

Solution

On vérifie aisément

\forall A \in 𝒩, \forall λ \in ℝ, λ . A \in 𝒩 .

On a donc immédiatement

\forall A \in 𝒩, [O_{n}; A] \subset 𝒩 .

L’ensemble $𝒩$ est donc étoilé en $O_{n}$ (au surplus, c’est un ensemble connexe par arcs).

Exercice 6 4699

(a)

Montrer que ${GL}_{n} (ℝ)$ n’est pas connexe par arcs.
(b)

Montrer que ${GL}_{n} (ℂ)$ est connexe par arcs.

Exercice 7 3867 Correction

Montrer que ${SO}_{2} (ℝ)$ est une partie connexe par arcs.

Solution

On sait

{SO}_{2} (ℝ) = {(\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) \\ \sin (θ) & \cos (θ) \end{matrix}) | θ \in ℝ} .

Par ce paramétrage, on peut affirmer que ${SO}_{2} (ℝ)$ est connexes par arcs, car image continue de l’intervalle $ℝ$ par l’application

θ \in ℝ \mapsto (\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) \\ \sin (θ) & \cos (θ) \end{matrix}) \in ℳ_{2} (ℝ) .

Exercice 8 1148 Correction

Montrer que l’union de deux connexes par arcs non disjoints est connexe par arcs.

Solution

Si les deux points à relier figurent dans un même connexe par arcs, le problème est résolu. Sinon, on transite par un point commun au deux connexes pour former un arc reliant ces deux points et inclus dans l’union.

Exercice 9 1155 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n \geq 2$ .

(a)

Soit $H$ un hyperplan de $E$ . L’ensemble $E ∖ H$ est-il connexe par arcs?
(b)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $p \leq n - 2$ . L’ensemble $E ∖ F$ est-il connexe par arcs?

Solution

(a)

Non. Si on introduit $f$ forme linéaire non nulle telle que $H = Ker (f)$ , $f$ est continue et $f (E ∖ H) = ℝ^{*}$ non connexe par arcs donc $E ∖ H$ ne peut l’être.
(b)

Oui. Introduisons une base de $F$ notée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ que l’on complète en une base de $E$ de la forme $(e_{1}, \dots, e_{n})$ .
Sans peine tout élément $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ de $E ∖ F$ peut être lié par un chemin continue dans $E ∖ F$ au vecteur $e_{n}$ si $x_{n} > 0$ ou au vecteur $- e_{n}$ si $x_{n} < 0$ (prendre $x (t) = (1 - t) x_{1} e_{1} + \dots + (1 - t) x_{n - 1} e_{n} + ((1 - t) x_{n} + t) e_{n}$ ).
De plus, les vecteurs $e_{n}$ et $- e_{n}$ peuvent être reliés par un chemin continue dans $E ∖ F$ en prenant $x (t) = (1 - 2 t) e_{n} + (t - t^{2}) e_{n - 1}$ . Ainsi $E ∖ F$ est connexe par arcs.

Exercice 10 1153 Correction

Soient $A$ et $B$ deux parties fermées d’un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie. On suppose $A \cup B$ et $A \cap B$ connexes par arcs, montrer que $A$ et $B$ sont connexes par arcs.

Solution

Il nous suffit d’étudier la partie $A$ .

Soient $a, a^{'} \in A$ . Puisque $A \subset A \cup B$ , il existe $φ : [0; 1] \to A \cup B$ continue telle que $φ (0) = a$ et $φ (1) = a^{'}$ .

Si $φ$ ne prend pas de valeurs dans $B$ alors $φ$ reste dans $A$ et résout notre problème.

Sinon, posons

t_{0} = inf {t \in [0; 1] | φ (t) \in B} et t_{1} = sup {t \in [0; 1] | φ (t) \in B} .

L’application $φ$ étant continue et les parties $A$ et $B$ étant fermées,

φ (t_{0}), φ (t_{1}) \in A \cap B

La partie $A \cap B$ étant connexe par arcs, il existe $ψ : [t_{0}; t_{1}] \to A \cap B$ continue telle que $ψ (t_{0}) = φ (t_{0})$ et $ψ (t_{1}) = φ (t_{1})$ . En considérant $θ : [0; 1] \to ℝ$ définie par $θ (t) = ψ (t)$ si $t \in [t_{0}; t_{1}]$ et $θ (t) = φ (t)$ sinon, on a $θ : [0; 1] \to A$ continue avec $θ (0) = a$ et $θ (1) = a^{'}$ .

Ainsi, $A$ est connexe par arcs.

Exercice 11 1154 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n \geq 2$ .

(a)

Montrer que la sphère unité $S = {x \in E | ∥ x ∥ = 1}$ est connexe par arcs.
(b)

À quelle condition l’intersection de deux sphères est-elle non vide?

Solution

(a)

Soient $a, b \in S$ .

Cas: $a \neq - b$ . On peut affirmer que $(1 - λ) . a + λ . b \neq 0$ pour tout $λ \in [0; 1]$ . L’application

$γ : {\begin{matrix} [0; 1] & \to & E \\ t & \mapsto & γ (t) \end{matrix} avec γ (t) = \frac{1}{∥ (1 - t) . a + t . b ∥} . ((1 - t) . a + t . b)$

est alors un chemin joignant $a$ à $b$ inscrit dans $S$ .

Cas: $a = - b$ . On transite par un point $c \neq a, b$ ce qui est possible car $n \geq 2$ .
(b)

Soient $S_{1}$ et $S_{2}$ des sphères de centres $a_{1}$ et $a_{2}$ et de rayons $r_{1}$ et $r_{2}$ réels strictement positifs.

Analyse: Si $S_{1} \cap S_{2}$ n’est pas vide, on peut introduire un élément $x$ appartenant à cette intersection. L’inégalité triangulaire donne alors

$∥ a_{2} - a_{1} ∥ = ∥ (a_{2} - x) + (x - a_{1}) ∥ \leq ∥ a_{2} - x ∥ + ∥ x - a_{1} ∥ \leq r_{1} + r_{2} .$

Aussi,

$r_{1} = ∥ x - a_{1} ∥ = ∥ (x - a_{2}) + (a_{2} - a_{1}) ∥ \leq r_{2} + ∥ a_{2} - a_{1} ∥ .$

On obtient une propriété analogue en échangeant les rôles de $r_{1}$ et $r_{2}$ et, finalement, on parvient à la condition

$| r_{1} - r_{2} | \leq ∥ a_{2} - a_{1} ∥ \leq r_{1} + r_{2} .$

Synthèse: Supposons la condition précédente remplie et, quitte à échanger, supposons aussi $r_{1} \geq r_{2}$ . Considérons ensuite l’application $δ$ qui à $x \in S_{1}$ associe la distance de $x$ à $a_{2}$ .

Pour $x_{1} = a_{1} + \frac{r_{1}}{∥ a_{2} - a_{1} ∥} . (a_{2} - a_{1}) \in S_{1}$ , on a

$∥ x_{1} - a_{2} ∥ = | ∥ a_{2} - a_{1} ∥ - r_{1} | .$

Que la quantité dans la valeur absolue soit positive ou non, on obtient $∥ x_{1} - a_{2} ∥ \leq r_{2}$ .

Pour $x_{2} = a_{1} - \frac{r_{1}}{∥ a_{2} - a_{1} ∥} . (a_{2} - a_{1}) \in S_{1}$ , on a

$∥ x_{2} - a_{2} ∥ = ∥ a_{2} - a_{1} ∥ + r_{1} \geq r_{2} .$

Par continuité de $δ$ sur le connexe par arcs $S_{1}$ , il existe $x \in S_{1}$ tel que $∥ x - a_{2} ∥ = r_{2}$ ce qui détermine un élément de $S_{1} \cap S_{2}$ .

Exercice 12 1151 Correction

Soit $f : I \to ℝ$ injective et continue. Montrer que $f$ est strictement monotone.

On pourra considérer l’application $φ : (x, y) \mapsto f (x) - f (y)$ définie sur $X = {(x, y) \in I^{2}, x < y}$ .

Solution

$X$ est une partie connexe par arcs (car convexe) et $φ$ est continue donc $φ (X)$ est une partie connexe par arcs de $ℝ$ , c’est donc un intervalle.

De plus, $0 \notin φ (X)$ donc $φ (X) \subset ℝ_{+}^{*}$ ou $φ (X) \subset ℝ_{-}^{*}$ et l’on peut conclure.

Exercice 13 1150 Correction

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction dérivable. On suppose que $f^{'}$ prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir que $f^{'}$ s’annule.

(a)

Établir que $A = {(x, y) \in I^{2}, x < y}$ est une partie connexe par arcs de $I^{2}$ .
(b)

On note $δ : A \to ℝ$ l’application définie par $δ (x, y) = f (y) - f (x)$ . Établir que $0 \in δ (A)$ .
(c)

Conclure en exploitant le théorème de Rolle

Solution

(a)

$A$ est une partie convexe donc connexe par arcs.
(b)

L’application $δ$ est continue donc $δ (A)$ est connexe par arcs c’est donc un intervalle de $ℝ$ . Puisque $f^{'}$ prend des valeurs strictement positives et strictement négative, la fonction $f$ n’est pas monotone et par conséquent des valeurs positives et négatives appartiennent à l’intervalle $δ (A)$ . Par conséquent, $0 \in δ (A)$ .
(c)

Puisque $0 \in δ (A)$ , il existe $a < b \in I$ tels que $f (a) = f (b)$ . On applique le théorème de Rolle sur $[a; b]$ avant de conclure.

Exercice 14 3737

(Théorème de Darboux)

Soit $f : I \to ℝ$ une fonction dérivable définie sur un intervalle $I$ de $ℝ$ .

(a)

Montrer que $U = {(x, y) \in I^{2} | x < y}$ est une partie connexe par arcs de $ℝ^{2}$ .

On note $τ : U \to ℝ$ l’application définie par

τ (x, y) = \frac{f (y) - f (x)}{y - x} .

(b)

Justifier $τ (U) \subset f^{'} (I) \subset \bar{τ (U)}$ .
(c)

En déduire que $f^{'} (I)$ est un intervalle¹¹ 1 En conséquence, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas forcément une fonction continue, elle satisfait l’affirmation du théorème des valeurs intermédiaires. de $ℝ$ .

Connexité par arcs