[<] Parties convexes [>] Applications de la connexité par arcs
Montrer que l’ensemble est la réunion de deux composantes connexes par arcs.
Solution
L’ensemble est la réunion des deux ensembles
L’ensemble est l’image de par l’application continue définie sur : c’est un ensemble connexe par arcs. De façon similaire, l’ensemble est connexe par arcs.
Enfin, la réunion n’est pas connexe par arcs. En effet, par l’absurde, supposons que soit connexe par arcs. Son image par l’application continue est un intervalle. Or cet image vaut et c’est absurde car n’est pas un intervalle.
L’ensemble possède donc deux composantes connexes par arcs qui sont et .
Montrer que l’ensemble est constitué de trois composantes connexes par arcs.
Solution
On peut décomposer en la réunion disjointe avec
L’ensemble est convexe car c’est l’épigraphe de la fonction convexe définie sur l’intervalle , c’est donc un ensemble connexe par arcs.
Par un argument de symétrie ou un argument similaire, on établit que est connexe par arcs.
L’ensemble est lui aussi connexe par arcs car étoilé en :
Aussi, par continuité de l’application , on peut affirmer que n’est pas connexe par arcs. En effet, l’image de cette réunion par n’est pas un intervalle. Il en est de même de et aussi de en considérant cette fois-ci l’application continue .
Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs.
Solution
Notons les points à exclure.
Soient et deux points du plan autres que .
Il y a une infinité de droites passant par et parmi celles-ci au moins une droite qui ne passe par aucun des . Notons la .
Il y a une infinité de droites passant par et parmi celles-ci au moins une qui ne passe par aucun des et qui n’est pas non plus parallèle à . Notons la .
Les droites et se coupent en un point . La réunion des segments et permet de définir un chemin continue allant de à sans passer par aucun des points .
Soit un espace vectoriel normé de dimension finie .
Montrer que la sphère unité est connexe par arcs.
À quelle condition l’intersection de deux sphères est-elle non vide?
Solution
Soient .
Cas: . On peut affirmer que pour tout . L’application
est alors un chemin joignant à inscrit dans .
Cas: . On transite par un point ce qui est possible car .
Soient et des sphères de centres et et de rayons et réels strictement positifs.
Analyse: Si n’est pas vide, on peut introduire un élément appartenant à cette intersection. L’inégalité triangulaire donne alors
Aussi,
On obtient une propriété analogue en échangeant les rôles de et et, finalement, on parvient à la condition
Synthèse: Supposons la condition précédente remplie et, quitte à échanger, supposons aussi . Considérons ensuite l’application qui à associe la distance de à .
Pour , on a
Que la quantité dans la valeur absolue soit positive ou non, on obtient .
Pour , on a
Par continuité de sur le connexe par arcs , il existe tel que ce qui détermine un élément de .
Montrer que l’ensemble formé des matrices diagonalisables de est connexe par arcs.
On note l’ensemble des matrices de nilpotentes. Montrer que est une partie étoilée.
Solution
On vérifie aisément
On a donc immédiatement
L’ensemble est donc étoilé en (au surplus, c’est un ensemble connexe par arcs).
Montrer que est une partie connexe par arcs.
Solution
On sait
Par ce paramétrage, on peut affirmer que est connexes par arcs, car image continue de l’intervalle par l’application
Montrer que n’est pas connexe par arcs.
Montrer que est connexe par arcs.
Montrer que privé d’un nombre fini de complexes est une partie connexe par arcs.
Application : Établir que est une partie connexe par arcs.
On pourra considérer l’application pour .
Solution
Notons les nombres complexes à exclure et étudions la connexité par arcs de .
Pour , le cercle est une partie connexe par arcs incluse dans . Montrons que tout peut être relié dans à un point de .
Soit .
Cas: . On écrit avec . Le segment d’extrémités et est inclus dans et rejoint à un point de .
Cas: . Toutes les droites passant par coupent en deux points. Ces droites sont en nombre infini et il n’y a qu’un nombre fini de celles-ci qui passent par l’un des . Il existe donc une droite passant par et coupant tout en restant incluse dans . Il est donc possible de relier à par un segment inclus dans .
Quitte à transiter par un arc du cercle , il est possible de relier entre eux tout en restant dans n’importe quels points de : est une partie connexe par arcs.
Il existe d’autres constructions géométriques pouvant résoudre le problème: pour distincts des , on peut construire deux droites non parallèles, l’une passant par et l’autre passant par et aucune ne passant par . Ces deux droites se coupent et cela permet de définir un chemin convenable allant de à .
Soient . L’application est un polynôme en dont et ne sont pas racines. Ce polynôme possède un nombre fini de racines . Puisque est connexe par arcs et contient et , il existe une application continue vérifiant , et pour tout . Considérons alors l’application donnée par
Celle-ci est continue, vérifie , et, par construction, prend ses valeurs dans car pour tout .
Montrer que est connexe par arcs.
En déduire que est aussi connexe par arcs.
Solution
Soit une matrice de . On montre que peut être continûment réliée dans à la matrice en observant que peut être successivement réliée à une matrice diagonale, à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs puis à .
Lien entre et une matrice diagonale
Par transvections sur les lignes, on peut transformer la matrice inversible en une matrice diagonale . Il existe donc des matrices de transvections telles que
Une matrice de transvection est de la forme avec et distincts. Posons alors et considérons l’application
L’application est continue, prend ses valeurs dans (car les matrices de transvection sont de déterminant ) et relie à .
Lien entre et une matrice diagonale coefficients diagonaux strictement positifs
Si est déjà à coefficients diagonaux strictement positifs, il n’y a rien à faire. Sinon, il y a au moins deux coefficients diagonaux strictement négatifs et avec car . Considérons alors les matrices de rotation
Considérons ensuite l’application
L’application est continue, prend ses valeurs dans (car les matrices de rotation sont de déterminant ) et relie à une matrice diagonale obtenue en inversant le signe des coefficients diagonaux d’indices et de . Quitte à répéter la manipulation s’il reste des coefficients négatifs, on peut relier à une matice diagonale à coefficients diagonaux strictement positifs.
Lien entre et
Notons les coefficients diagonaux de et considérons
L’application est continue, prend ses valeurs dans et relie à . C’est gagné.
Soit une matrice de déterminant . L’application transforme continûment en . L’ensemble est connexe par arcs en tant qu’image continue d’un connexe par arcs.
Soit un espace vectoriel réel de dimension .
Soit un hyperplan de . L’ensemble est-il connexe par arcs?
Soit un sous-espace vectoriel de dimension . L’ensemble est-il connexe par arcs?
Solution
Non. Si on introduit forme linéaire non nulle telle que , est continue et non connexe par arcs donc ne peut l’être.
Oui. Introduisons une base de notée que l’on complète en une base de de la forme .
Sans peine tout élément de peut être lié par un chemin continue dans au vecteur si ou au vecteur si (prendre ).
De plus, les vecteurs et peuvent être reliés par un chemin continue dans en prenant . Ainsi est connexe par arcs.
Déteminer les composantes connexes par arcs de l’ensemble
Solution
Soit . Cette matrice est diagonalisable semblable à une matrice de la forme
et donc . L’application trace est continue (car linéaire au départ d’un espace de dimension finie) et prend uniquement des valeurs entières sur , cette application est donc constante sur chaque composante connexe par arcs de . Les composantes connexes par arcs de sont donc incluses alors les parties
Soit . Montrer que est connexe par arcs. Soit . Il existe une matrice telle que . Or on sait que est une partie connexe par arcs et il existe donc une application continue prenant ses valeurs dans vérifiant et . Considérons alors définie par
L’application est continue, prend ses valeurs dans et relie à . On en déduit que est une partie connexe par arcs.
Finalement; les composantes connexes par arcs de sont les pour .
Soient et deux parties connexes par arcs d’un espace normé .
Montrer que est connexe par arcs dans l’espace normé produit .
En déduire que est connexe par arcs.
Montrer que l’union de deux connexes par arcs non disjoints est connexe par arcs.
Solution
Si les deux points à relier figurent dans un même connexe par arcs, le problème est résolu. Sinon, on transite par un point commun au deux connexes pour former un arc reliant ces deux points et inclus dans l’union.
Soient une partie convexe d’un espace normé et une partie de telle que
Montrer que est connexe par arcs.
Solution
Si la partie est vide, c’est immédiat. Sinon, on peut introduire un élément . Montrons alors que tout point de peut être relié continûment à ce qui suffit pour conclure.
Soit . Puisque est adhérent , il existe une suite d’éléments de de limite . Sans perte de généralités, on peut supposer . Puisque est une partie convexe, le segment est inclus dans (donc dans ) pour tout . Il suffit alors de raccorder des paramétrages de ces segments pour former un chemin continue de à .
Pour le réaliser techniquement, on introduit avec
On remarque
Pour tout , on définit paramétrage de pour allant de à . Enfin, on pose déterminé par
Par construction, est continue (notamment en , ce qui est le moins évident), est inscrit dans et rejoint à .
Soient et deux parties fermées d’un espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose et connexes par arcs, montrer que et sont connexes par arcs.
Solution
Il nous suffit d’étudier la partie .
Soient . Puisque , il existe continue telle que et .
Si ne prend pas de valeurs dans alors reste dans et résout notre problème.
Sinon, posons
L’application étant continue et les parties et étant fermées,
La partie étant connexe par arcs, il existe continue telle que et . En considérant définie par si et sinon, on a continue avec et .
Ainsi, est connexe par arcs.
Soit une partie d’un espace normé .
L’intérieur de est-il nécessairement connexe par arcs?
L’adhérence de est-elle connexe par arcs?
Solution
Dans le plan considérons deux disques fermés disjoints reliés par un segment. L’ensemble correspondant est connexe par arcs mais l’intérieur ne l’est pas car réunion de deux disques ouverts disjoints.
Notons cependant que, si , est nécessairement un intervalle et son intérieur aussi donc connexe par arcs.
Observons que l’adhérence de n’est pas nécessairement connexe par arcs.
Dans le plan , considérons les points , , et pour . Formons
L’adhérence de correspond à la réunion de et de la demi-droite .
En effet, les éléments de sont limites de suites d’éléments du segment pour assez grand. Ainsi,
Inversement, si est limite d’une suite d’éléments de , on a nécessairement et car et pour tout .
Si alors est élément de .
Si , il existe assez grand pour que et . Pour assez grand, est alors élément de
Or cette partie est fermée en tant que réunion finies de parties fermées. On en déduit que en est élément et donc appartient à . Ainsi,
Par double inclusion, on obtient l’égalité
Il reste à remarquer que est connexe par arcs (ce qui est immédiat car tout élément de peut être relié par une ligne brisée à ) et que ne l’est pas. En effet, il n’est pas possible de relier à . Vérifions-le en raisonnant par l’absurde.
Supposons qu’il existe un chemin inscrit dans vérifiant et . On écrit ce qui introduit et fonctions continues. Pour tout , la continuité de assure qu’il existe tel que . Considérons alors
Par la construction de l’ensemble , on a nécessairement . Cela est absurde car la fonction est continue sur donc bornée.
[<] Parties convexes [>] Applications de la connexité par arcs
Édité le 08-12-2023
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