Exercice 1 5767 Correction

Montrer que l’ensemble $X = {(x, y) \in ℝ^{2} | x y = 1}$ est la réunion de deux composantes connexes par arcs.

Solution

L’ensemble $X$ est la réunion des deux ensembles

X^{+} = {(x, y) \in ℝ^{2} | x > 0, x y = 1} et X^{-} = {(x, y) \in ℝ^{2} | x < 0, x y = 1} .

L’ensemble $X^{+}$ est l’image de $] 0; + \infty [$ par l’application continue $t \mapsto (t,1 / t)$ définie sur $] 0; + \infty [$ : c’est un ensemble connexe par arcs. De façon similaire, l’ensemble $X^{-}$ est connexe par arcs.

Enfin, la réunion $X = X^{+} \cup X^{-}$ n’est pas connexe par arcs. En effet, par l’absurde, supposons que $X$ soit connexe par arcs. Son image par l’application continue $(x, y) \mapsto x$ est un intervalle. Or cet image vaut $ℝ^{*}$ et c’est absurde car $ℝ^{*}$ n’est pas un intervalle.

L’ensemble $X$ possède donc deux composantes connexes par arcs qui sont $X^{+}$ et $X^{-}$ .

Exercice 2 5766 Correction

Montrer que l’ensemble $Ω = {(x, y) \in ℝ^{2} | x y \neq 1}$ est constitué de trois composantes connexes par arcs.

Solution

On peut décomposer $Ω$ en la réunion disjointe $Ω_{1} \cup Ω_{2} \cup Ω_{3}$ avec

	$Ω_{1}$	$= {(x, y) \in ℝ_{2} \| x > 0, x y > 1},$
	$Ω_{2}$	$= {(x, y) \in ℝ_{2} \| x < 0, x y > 1},$
	$Ω_{3}$	$= {(x, y) \in ℝ_{2} \| x y < 1}$

L’ensemble $Ω_{1}$ est convexe car c’est l’épigraphe de la fonction convexe $x \mapsto 1 / x$ définie sur l’intervalle $] 0; + \infty [$ , c’est donc un ensemble connexe par arcs.

Par un argument de symétrie ou un argument similaire, on établit que $Ω_{2}$ est connexe par arcs.

L’ensemble $Ω_{3}$ est lui aussi connexe par arcs car étoilé en $(0,0)$ :

\forall (x, y) \in Ω_{3},, \forall t \in [0; 1], t . (x, y) = (t x, t y) \in Ω_{3}

Aussi, par continuité de l’application $f : (x, y) \mapsto x y$ , on peut affirmer que $Ω_{1} \cup Ω_{3}$ n’est pas connexe par arcs. En effet, l’image de cette réunion par $f$ n’est pas un intervalle. Il en est de même de $Ω_{2} \cup Ω_{3}$ et aussi de $Ω_{1} \cup Ω_{2}$ en considérant cette fois-ci l’application continue $(x, y) \mapsto x$ .

Exercice 3 1147 Correction

Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs.

Solution

Notons $P_{1}, \dots, P_{n}$ les points à exclure.

Soient $A$ et $B$ deux points du plan autres que $P_{1}, \dots, P_{n}$ .

Il y a une infinité de droites passant par $A$ et parmi celles-ci au moins une droite qui ne passe par aucun des $P_{1}, \dots, P_{n}$ . Notons la $𝒟_{A}$ .

Il y a une infinité de droites passant par $B$ et parmi celles-ci au moins une qui ne passe par aucun des $P_{1}, \dots, P_{n}$ et qui n’est pas non plus parallèle à $𝒟_{A}$ . Notons la $𝒟_{B}$ .

Les droites $𝒟_{A}$ et $𝒟_{B}$ se coupent en un point $C$ . La réunion des segments $[A; C]$ et $[C; B]$ permet de définir un chemin continue allant de $A$ à $B$ sans passer par aucun des points $P_{1}, \dots, P_{n}$ .

Exercice 4 1154 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n \geq 2$ .

(a)

Montrer que la sphère unité $S = {x \in E | ∥ x ∥ = 1}$ est connexe par arcs.
(b)

À quelle condition l’intersection de deux sphères est-elle non vide?

Solution

(a)

Soient $a, b \in S$ .

Cas: $a \neq - b$ . On peut affirmer que $(1 - λ) . a + λ . b \neq 0$ pour tout $λ \in [0; 1]$ . L’application

$γ : {\begin{matrix} [0; 1] & \to & E \\ t & \mapsto & γ (t) \end{matrix} avec γ (t) = \frac{1}{∥ (1 - t) . a + t . b ∥} . ((1 - t) . a + t . b)$

est alors un chemin joignant $a$ à $b$ inscrit dans $S$ .

Cas: $a = - b$ . On transite par un point $c \neq a, b$ ce qui est possible car $n \geq 2$ .
(b)

Soient $S_{1}$ et $S_{2}$ des sphères de centres $a_{1}$ et $a_{2}$ et de rayons $r_{1}$ et $r_{2}$ réels strictement positifs.

Analyse: Si $S_{1} \cap S_{2}$ n’est pas vide, on peut introduire un élément $x$ appartenant à cette intersection. L’inégalité triangulaire donne alors

$∥ a_{2} - a_{1} ∥ = ∥ (a_{2} - x) + (x - a_{1}) ∥ \leq ∥ a_{2} - x ∥ + ∥ x - a_{1} ∥ \leq r_{1} + r_{2} .$

Aussi,

$r_{1} = ∥ x - a_{1} ∥ = ∥ (x - a_{2}) + (a_{2} - a_{1}) ∥ \leq r_{2} + ∥ a_{2} - a_{1} ∥ .$

On obtient une propriété analogue en échangeant les rôles de $r_{1}$ et $r_{2}$ et, finalement, on parvient à la condition

$| r_{1} - r_{2} | \leq ∥ a_{2} - a_{1} ∥ \leq r_{1} + r_{2} .$

Synthèse: Supposons la condition précédente remplie et, quitte à échanger, supposons aussi $r_{1} \geq r_{2}$ . Considérons ensuite l’application $δ$ qui à $x \in S_{1}$ associe la distance de $x$ à $a_{2}$ .

Pour $x_{1} = a_{1} + \frac{r_{1}}{∥ a_{2} - a_{1} ∥} . (a_{2} - a_{1}) \in S_{1}$ , on a

$∥ x_{1} - a_{2} ∥ = | ∥ a_{2} - a_{1} ∥ - r_{1} | .$

Que la quantité dans la valeur absolue soit positive ou non, on obtient $∥ x_{1} - a_{2} ∥ \leq r_{2}$ .

Pour $x_{2} = a_{1} - \frac{r_{1}}{∥ a_{2} - a_{1} ∥} . (a_{2} - a_{1}) \in S_{1}$ , on a

$∥ x_{2} - a_{2} ∥ = ∥ a_{2} - a_{1} ∥ + r_{1} \geq r_{2} .$

Par continuité de $δ$ sur le connexe par arcs $S_{1}$ , il existe $x \in S_{1}$ tel que $∥ x - a_{2} ∥ = r_{2}$ ce qui détermine un élément de $S_{1} \cap S_{2}$ .

Exercice 5 1156

Montrer que l’ensemble $𝒟_{n}$ formé des matrices diagonalisables de $ℳ_{n} (ℝ)$ est connexe par arcs.

Exercice 6 4078 Correction

On note $𝒩$ l’ensemble des matrices de $ℳ_{n} (ℝ)$ nilpotentes. Montrer que $N$ est une partie étoilée.

Solution

On vérifie aisément

\forall A \in 𝒩, \forall λ \in ℝ, λ . A \in 𝒩 .

On a donc immédiatement

\forall A \in 𝒩, [O_{n}; A] \subset 𝒩 .

L’ensemble $𝒩$ est donc étoilé en $O_{n}$ (au surplus, c’est un ensemble connexe par arcs).

Exercice 7 3867 Correction

Montrer que ${SO}_{2} (ℝ)$ est une partie connexe par arcs.

Solution

On sait

{SO}_{2} (ℝ) = {(\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) \\ \sin (θ) & \cos (θ) \end{matrix}) | θ \in ℝ} .

Par ce paramétrage, on peut affirmer que ${SO}_{2} (ℝ)$ est connexes par arcs, car image continue de l’intervalle $ℝ$ par l’application

θ \in ℝ \mapsto (\begin{matrix} \cos (θ) & - \sin (θ) \\ \sin (θ) & \cos (θ) \end{matrix}) \in ℳ_{2} (ℝ) .

Exercice 8 4699 MINES (MP)

(a)

Montrer que ${GL}_{n} (ℝ)$ n’est pas connexe par arcs.
(b)

Montrer que ${GL}_{n} (ℂ)$ est connexe par arcs.

Exercice 9 5876 Correction

(a)

Montrer que $ℂ$ privé d’un nombre fini de complexes est une partie connexe par arcs.
(b)

Application : Établir que ${GL}_{n} (ℂ)$ est une partie connexe par arcs.

On pourra considérer l’application $z \mapsto \det ((1 - z) A + z B)$ pour $A, B \in {GL}_{n} (ℂ)$ .

Solution

(a)

Notons $z_{1}, \dots, z_{p}$ les nombres complexes à exclure et étudions la connexité par arcs de $Ω = ℂ ∖ {z_{1}, \dots, z_{p}}$ .

Pour $R = \max {| z_{1} |, \dots, | z_{p} |} + 1$ , le cercle $C = {z \in ℂ | | z | = R}$ est une partie connexe par arcs incluse dans $Ω$ . Montrons que tout $z \in Ω$ peut être relié dans $Ω$ à un point de $C$ .

Soit $z \in Ω$ .

Cas: $| z | \geq R$ . On écrit $z = | z | e^{i θ}$ avec $θ \in ℝ$ . Le segment d’extrémités $z$ et $R e^{i θ}$ est inclus dans $Ω$ et rejoint $z$ à un point de $C$ .

Cas: $| z | < R$ . Toutes les droites passant par $z$ coupent $C$ en deux points. Ces droites sont en nombre infini et il n’y a qu’un nombre fini de celles-ci qui passent par l’un des $z_{1}, \dots, z_{p}$ . Il existe donc une droite passant par $z$ et coupant $C$ tout en restant incluse dans $Ω$ . Il est donc possible de relier $z$ à $C$ par un segment inclus dans $Ω$ .

Quitte à transiter par un arc du cercle $C$ , il est possible de relier entre eux tout en restant dans $Ω$ n’importe quels points de $Ω$ : $Ω$ est une partie connexe par arcs.

Il existe d’autres constructions géométriques pouvant résoudre le problème: pour $z, z^{'}$ distincts des $z_{1}, \dots, z_{p}$ , on peut construire deux droites non parallèles, l’une passant par $z$ et l’autre passant par $z^{'}$ et aucune ne passant par $z_{1}, \dots, z_{p}$ . Ces deux droites se coupent et cela permet de définir un chemin convenable allant de $z$ à $z^{'}$ .
(b)

Soient $A, B \in {GL}_{n} (ℂ)$ . L’application $z \mapsto \det ((1 - z) A + z B)$ est un polynôme en $z$ dont $0$ et $1$ ne sont pas racines. Ce polynôme possède un nombre fini de racines $z_{1}, \dots, z_{p}$ . Puisque $ℂ ∖ {z_{1}, \dots, z_{p}}$ est connexe par arcs et contient $0$ et $1$ , il existe une application continue $γ : [0; 1] \to ℂ$ vérifiant $γ (0) = 0$ , $γ (1) = 1$ et $γ (t) \notin {z_{1}, \dots, z_{p}}$ pour tout $t \in [0; 1]$ . Considérons alors l’application $φ : [0; 1] \to ℳ_{n} (ℂ)$ donnée par

$φ (t) = (1 - γ (t)) A + γ (t) B$

Celle-ci est continue, vérifie $φ (0) = A$ , $φ (1) = B$ et, par construction, prend ses valeurs dans ${GL}_{n} (ℂ)$ car $\det (φ (t)) \neq 0$ pour tout $t \in [0; 1]$ .

Exercice 10 5442 MINES (MP)Correction

(a)

Montrer que ${GL}_{n}^{+} (ℝ) = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | \det (M) > 0}$ est connexe par arcs.
(b)

En déduire que ${GL}_{n}^{-} (ℝ) = {M \in ℳ_{n} (ℝ) | \det (M) < 0}$ est aussi connexe par arcs.

Solution

(a)

Soit $M$ une matrice de ${GL}_{n}^{+} (ℝ)$ . On montre que $M$ peut être continûment réliée dans ${GL}_{n}^{+} (ℝ)$ à la matrice $I_{n}$ en observant que $M$ peut être successivement réliée à une matrice diagonale, à une matrice diagonale à coefficients strictement positifs puis à $I_{n}$ .

Lien entre $M$ et une matrice diagonale $D$

Par transvections sur les lignes, on peut transformer la matrice inversible $M$ en une matrice diagonale $D$ . Il existe donc des matrices de transvections $T_{1}, \dots, T_{N}$ telles que

$T_{N} \times \dots \times T_{1} \times M = D avec D \in {GL}_{n}^{+} (ℝ) \cap D_{n} (ℝ) .$

Une matrice de transvection $T_{k}$ est de la forme $T_{k} = I_{n} + λ E_{i, j}$ avec $λ \in ℝ$ et $i, j$ distincts. Posons alors $T_{k} (t) = I_{n} + t λ E_{i, j}$ et considérons l’application

$γ : {\begin{matrix} [0; 1] & \to & ℳ_{n} (ℝ) \\ t & \mapsto & T_{N} (t) \times \dots \times T_{1} (t) \times D . \end{matrix}$

L’application $γ$ est continue, prend ses valeurs dans ${GL}_{n}^{+} (ℝ)$ (car les matrices de transvection sont de déterminant $1$ ) et relie $γ (0) = D$ à $γ (1) = M$ .

Lien entre $D$ et une matrice diagonale $D^{'}$ coefficients diagonaux strictement positifs

Si $D$ est déjà à coefficients diagonaux strictement positifs, il n’y a rien à faire. Sinon, il y a au moins deux coefficients diagonaux strictement négatifs $d_{i}$ et $d_{j}$ avec $i \neq j$ car $\det (D) > 0$ . Considérons alors les matrices de rotation

$R_{i, j} (t) = I_{n} + (\cos (π t) - 1) (E_{i, i} + E_{j, j}) + \sin (π t) (E_{j, i} - E_{i, j}) .$

Considérons ensuite l’application

$γ : {\begin{matrix} [0; 1] & \to & ℳ_{n} (ℝ) \\ t & \mapsto & R_{i, j} (t) D . \end{matrix}$

L’application $γ$ est continue, prend ses valeurs dans ${GL}_{n}^{+} (ℝ)$ (car les matrices de rotation sont de déterminant $1$ ) et relie $D$ à une matrice diagonale obtenue en inversant le signe des coefficients diagonaux d’indices $i$ et $j$ de $D$ . Quitte à répéter la manipulation s’il reste des coefficients négatifs, on peut relier $D$ à une matice diagonale $D^{'}$ à coefficients diagonaux strictement positifs.

Lien entre $D^{'}$ et $I_{n}$

Notons $α_{1}, \dots, α_{n}$ les coefficients diagonaux de $D^{'}$ et considérons

$γ : {\begin{matrix} [0; 1] & \to & ℳ_{n} (ℝ) \\ t & \mapsto & diag (α_{1}^{t}, \dots, α_{n}^{t}) . \end{matrix}$

L’application $γ$ est continue, prend ses valeurs dans ${GL}_{n}^{+} (ℝ)$ et relie $γ (0) = I_{n}$ à $γ (1) = D^{'}$ . C’est gagné.
(b)

Soit $J$ une matrice de déterminant $- 1$ . L’application $M \mapsto J M$ transforme continûment ${GL}_{n}^{+} (ℝ)$ en ${GL}_{n}^{-} (ℝ)$ . L’ensemble ${GL}_{n}^{-} (ℝ)$ est connexe par arcs en tant qu’image continue d’un connexe par arcs.

Exercice 11 1155 Correction

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension $n \geq 2$ .

(a)

Soit $H$ un hyperplan de $E$ . L’ensemble $E ∖ H$ est-il connexe par arcs?
(b)

Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $p \leq n - 2$ . L’ensemble $E ∖ F$ est-il connexe par arcs?

Solution

(a)

Non. Si on introduit $f$ forme linéaire non nulle telle que $H = Ker (f)$ , $f$ est continue et $f (E ∖ H) = ℝ^{*}$ non connexe par arcs donc $E ∖ H$ ne peut l’être.
(b)

Oui. Introduisons une base de $F$ notée $(e_{1}, \dots, e_{p})$ que l’on complète en une base de $E$ de la forme $(e_{1}, \dots, e_{n})$ .
Sans peine tout élément $x = x_{1} e_{1} + \dots + x_{n} e_{n}$ de $E ∖ F$ peut être lié par un chemin continue dans $E ∖ F$ au vecteur $e_{n}$ si $x_{n} > 0$ ou au vecteur $- e_{n}$ si $x_{n} < 0$ (prendre $x (t) = (1 - t) x_{1} e_{1} + \dots + (1 - t) x_{n - 1} e_{n} + ((1 - t) x_{n} + t) e_{n}$ ).
De plus, les vecteurs $e_{n}$ et $- e_{n}$ peuvent être reliés par un chemin continue dans $E ∖ F$ en prenant $x (t) = (1 - 2 t) e_{n} + (t - t^{2}) e_{n - 1}$ . Ainsi $E ∖ F$ est connexe par arcs.

Exercice 12 5441 MINES (MP)Correction

Déteminer les composantes connexes par arcs de l’ensemble

ℛ = {A \in ℳ_{n} (ℂ) | A^{2} = I_{n}} .

Solution

Soit $A \in ℛ$ . Cette matrice est diagonalisable semblable à une matrice de la forme

J_{k} = (\begin{matrix} I_{k} & 0 \\ 0 & I_{n - k} \end{matrix}) avec k \in ⟦ 0; n ⟧

et donc $tr (A) = n - 2 k$ . L’application trace est continue (car linéaire au départ d’un espace de dimension finie) et prend uniquement des valeurs entières sur $ℛ$ , cette application est donc constante sur chaque composante connexe par arcs de $ℛ$ . Les composantes connexes par arcs de $ℛ$ sont donc incluses alors les parties

ℛ_{k} = {A \in ℛ | tr (A) = n - 2 k} pour k \in ⟦ 0; n ⟧ .

Soit $k \in ⟦ 0; n ⟧$ . Montrer que $ℛ_{k}$ est connexe par arcs. Soit $A \in ℛ_{k}$ . Il existe une matrice $P \in {GL}_{n} (ℂ)$ telle que $A = P^{- 1} J_{k} P$ . Or on sait que ${GL}_{n} (ℂ)$ est une partie connexe par arcs et il existe donc une application $γ : [0; 1] \to ℳ_{n} (ℂ)$ continue prenant ses valeurs dans ${GL}_{n} (ℂ)$ vérifiant $γ (0) = I_{n}$ et $γ (1) = P$ . Considérons alors $φ : [0; 1] \to ℳ_{n} (ℂ)$ définie par

φ (t) = {(γ (t))}^{- 1} J_{k} γ (t) pour t \in [0; 1] .

L’application $φ$ est continue, prend ses valeurs dans $ℛ_{k}$ et relie $φ (0) = J_{k}$ à $φ (1) = A$ . On en déduit que $ℛ_{k}$ est une partie connexe par arcs.

Finalement; les composantes connexes par arcs de $ℛ$ sont les $ℛ_{k}$ pour $k = 0, \dots, n$ .

Exercice 13 1152

Soient $A$ et $B$ deux parties connexes par arcs d’un espace normé $E$ .

(a)

Montrer que $A \times B$ est connexe par arcs dans l’espace normé produit $E \times E$ .
(b)

En déduire que $A + B = {a + b | a \in A, b \in B}$ est connexe par arcs.

Exercice 14 1148 Correction

Montrer que l’union de deux connexes par arcs non disjoints est connexe par arcs.

Solution

Si les deux points à relier figurent dans un même connexe par arcs, le problème est résolu. Sinon, on transite par un point commun au deux connexes pour former un arc reliant ces deux points et inclus dans l’union.

Exercice 15 5440 MINES (MP)Correction

Soient $C$ une partie convexe d’un espace normé $E$ et $D$ une partie de $E$ telle que

C \subset D \subset \bar{C} .

Montrer que $D$ est connexe par arcs.

Solution

Si la partie $C$ est vide, c’est immédiat. Sinon, on peut introduire $a$ un élément $C$ . Montrons alors que tout point $b$ de $D$ peut être relié continûment à $a$ ce qui suffit pour conclure.

Soit $b \in D$ . Puisque $b$ est adhérent $C$ , il existe une suite $(b_{n})$ d’éléments de $C$ de limite $b$ . Sans perte de généralités, on peut supposer $b_{0} = a$ . Puisque $C$ est une partie convexe, le segment $[b_{n}; b_{n + 1}]$ est inclus dans $C$ (donc dans $D$ ) pour tout $n \in ℕ$ . Il suffit alors de raccorder des paramétrages de ces segments pour former un chemin continue de $a$ à $b$ .

Pour le réaliser techniquement, on introduit $(S_{n})$ avec

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{2^{k}} .

On remarque

S_{0} = 0, S_{1} = \frac{1}{2}, S_{2} = \frac{3}{4}, etc. et S_{n} \to_{n \to + \infty}^{} 1 .

Pour tout $n \in ℕ$ , on définit $γ_{n} : s \mapsto (1 - s) . b_{n} + s . b_{n + 1}$ paramétrage de $[b_{n}; b_{n + 1}]$ pour $s$ allant de $0$ à $1$ . Enfin, on pose $γ : [0; 1] \to E$ déterminé par

γ (t) = {\begin{matrix} γ_{n} (\frac{t - S_{n}}{S_{n + 1} - S_{n}}) & si t \in [S_{n}; S_{n + 1} [ \\ b & si t = 1 . \end{matrix}

Par construction, $γ$ est continue (notamment en $1$ , ce qui est le moins évident), $γ$ est inscrit dans $D$ et $γ$ rejoint $a$ à $b$ .

Exercice 16 1153 Correction

Soient $A$ et $B$ deux parties fermées d’un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie. On suppose $A \cup B$ et $A \cap B$ connexes par arcs, montrer que $A$ et $B$ sont connexes par arcs.

Solution

Il nous suffit d’étudier la partie $A$ .

Soient $a, a^{'} \in A$ . Puisque $A \subset A \cup B$ , il existe $φ : [0; 1] \to A \cup B$ continue telle que $φ (0) = a$ et $φ (1) = a^{'}$ .

Si $φ$ ne prend pas de valeurs dans $B$ alors $φ$ reste dans $A$ et résout notre problème.

Sinon, posons

t_{0} = inf {t \in [0; 1] | φ (t) \in B} et t_{1} = sup {t \in [0; 1] | φ (t) \in B} .

L’application $φ$ étant continue et les parties $A$ et $B$ étant fermées,

φ (t_{0}), φ (t_{1}) \in A \cap B .

La partie $A \cap B$ étant connexe par arcs, il existe $ψ : [t_{0}; t_{1}] \to A \cap B$ continue telle que $ψ (t_{0}) = φ (t_{0})$ et $ψ (t_{1}) = φ (t_{1})$ . En considérant $θ : [0; 1] \to ℝ$ définie par $θ (t) = ψ (t)$ si $t \in [t_{0}; t_{1}]$ et $θ (t) = φ (t)$ sinon, on a $θ : [0; 1] \to A$ continue avec $θ (0) = a$ et $θ (1) = a^{'}$ .

Ainsi, $A$ est connexe par arcs.

Exercice 17 5881 Correction

Soit $X$ une partie d’un espace normé $(E, ∥ \cdot ∥)$ .

(a)

L’intérieur de $X$ est-il nécessairement connexe par arcs?
(b)

L’adhérence de $X$ est-elle connexe par arcs?

Solution

(a)

Dans le plan considérons deux disques fermés disjoints reliés par un segment. L’ensemble correspondant est connexe par arcs mais l’intérieur ne l’est pas car réunion de deux disques ouverts disjoints.

Notons cependant que, si $X \subset ℝ$ , $X$ est nécessairement un intervalle et son intérieur aussi donc connexe par arcs.
(b)

Observons que l’adhérence de $X$ n’est pas nécessairement connexe par arcs.

Dans le plan $ℝ^{2}$ , considérons les points $O = (0, 0)$ , $A_{n} = (n, 0)$ , $B_{n} = (n, 1 - 1 / n)$ et $C_{n} = (0, 1 - 1 / n)$ pour $n \in ℕ^{*}$ . Formons

$X = ⋃_{n \in ℕ^{*}} L_{n} avec L_{n} = [0; A_{n}] \cup [A_{n}; B_{n}] \cup [B_{n}; C_{n}]$

L’adhérence de $X$ correspond à la réunion de $X$ et de la demi-droite $Δ = {(x, 0) | x \in ℝ_{+}}$ .

En effet, les éléments de $Δ$ sont limites de suites d’éléments du segment $[B_{n}; C_{n}]$ pour $n$ assez grand. Ainsi,

$X \cup Δ \subset \bar{X}$

Inversement, si $(x_{\infty}, y_{\infty})$ est limite d’une suite ${((x_{k}, y_{k}))}_{k \in ℕ}$ d’éléments de $X$ , on a nécessairement $x_{\infty} \in [0; + \infty [$ et $y_{\infty} \in [0; 1]$ car $x_{k} \in [0; + \infty [$ et $y_{k} \in [0; 1 [$ pour tout $k \in ℕ$ .

Si $y_{\infty} = 1$ alors $(x_{\infty}, y_{\infty})$ est élément de $Δ$ .

Si $y_{\infty} < 1$ , il existe $N \in ℕ^{*}$ assez grand pour que $y_{\infty} \leq 1 - \frac{2}{N}$ et $x_{\infty} \leq N + 1$ . Pour $k$ assez grand, $(x_{k}, y_{k})$ est alors élément de

$⋃_{n = 0}^{N} L_{n}$

Or cette partie est fermée en tant que réunion finies de parties fermées. On en déduit que $(x_{\infty}, y_{\infty})$ en est élément et donc appartient à $X$ . Ainsi,

$\bar{X} \subset X \cup Δ$

Par double inclusion, on obtient l’égalité

$\bar{X} = X \cup Δ$

Il reste à remarquer que $X$ est connexe par arcs (ce qui est immédiat car tout élément de $X$ peut être relié par une ligne brisée à $O$ ) et que $X \cup Δ$ ne l’est pas. En effet, il n’est pas possible de relier $O$ à $I = (0, 1)$ . Vérifions-le en raisonnant par l’absurde.

Supposons qu’il existe un chemin $γ : [0; 1] \to ℝ^{2}$ inscrit dans $X \cup Δ$ vérifiant $γ (0) = O$ et $γ (1) = I$ . On écrit $γ (t) = (x (t), y (t))$ ce qui introduit $x$ et $y : [0; 1] \to ℝ$ fonctions continues. Pour tout $n \in ℕ^{*}$ , la continuité de $y$ assure qu’il existe $t \in [0; 1]$ tel que $y (t) = 1 - 1 / n$ . Considérons alors

$t_{n} = inf {t \in [0; 1] | y (t) = 1 - 1 / n} .$

Par la construction de l’ensemble $X$ , on a nécessairement $x (t_{n}) \geq n$ . Cela est absurde car la fonction $x$ est continue sur $[0; 1]$ donc bornée.

[<] Parties convexes [>] Applications de la connexité par arcs

Édité le 08-12-2023

Connexité par arcs