[<] Continuité et linéarité

 
Exercice 1  1147  Correction  

Montrer qu’un plan privé d’un nombre fini de points est connexe par arcs.

Solution

Notons P1,,Pn les points à exclure.
Considérons une droite 𝒟 ne passant par aucun des points P1,,Pn. Cette droite est une partie connexe.
Considérons un point A du plan autre que P1,,Pn. Il existe une infinité de droites passant par A et coupant la droite 𝒟. Parmi celles-ci, il y en a au moins une qui ne passe par les P1,,Pn. On peut dont relier A à un point de la droite 𝒟.
En transitant par cette droite, on peut alors relier par un tracé continu excluant les P1,,Pn, tout couple de points (A,B) autres que les P1,,Pn.

 
Exercice 2  1149  Correction  

Montrer que l’image d’un connexe par arcs par une application continue est connexe par arcs.

Solution

L’image d’un arc continu par une application continue est un arc continu. Ainsi, si X est connexe par arcs et f continue définie sur X alors pour tout f(x),f(y)f(X), l’image par f d’un arc continu reliant x et à y est un arc continue reliant f(x) à f(y) et donc f(X) est connexe par arcs.

 
Exercice 3  1152  

Soient A et B deux parties connexes par arcs d’un espace normé E.

  • (a)

    Montrer que A×B est connexe par arcs dans l’espace normé produit E×E.

  • (b)

    En déduire que A+B={a+b|aA,bB} est connexe par arcs.

 
Exercice 4  1156  

Montrer que l’ensemble 𝒟n formé des matrices diagonalisables de n() est connexe par arcs.

 
Exercice 5  4078  Correction  

On note 𝒩 l’ensemble des matrices de n() nilpotentes. Montrer que N est une partie étoilée.

Solution

On vérifie aisément

A𝒩,λ,λ.A𝒩.

On a donc immédiatement

A𝒩,[On;A]𝒩.

L’ensemble 𝒩 est donc étoilé en On (au surplus, c’est un ensemble connexe par arcs).

 
Exercice 6  4699   
  • (a)

    Montrer que GLn() n’est pas connexe par arcs.

  • (b)

    Montrer que GLn() est connexe par arcs.

 
Exercice 7  3867  Correction  

Montrer que SO2() est une partie connexe par arcs.

Solution

On sait

SO2()={(cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ))|θ}.

Par ce paramétrage, on peut affirmer que SO2() est connexes par arcs, car image continue de l’intervalle par l’application

θ(cos(θ)-sin(θ)sin(θ)cos(θ))2().
 
Exercice 8  1148  Correction  

Montrer que l’union de deux connexes par arcs non disjoints est connexe par arcs.

Solution

Si les deux points à relier figurent dans un même connexe par arcs, le problème est résolu. Sinon, on transite par un point commun au deux connexes pour former un arc reliant ces deux points et inclus dans l’union.

 
Exercice 9  1155   Correction  

Soit E un espace vectoriel réel de dimension n2.

  • (a)

    Soit H un hyperplan de E. L’ensemble EH est-il connexe par arcs?

  • (b)

    Soit F un sous-espace vectoriel de dimension pn-2. L’ensemble EF est-il connexe par arcs?

Solution

  • (a)

    Non. Si on introduit f forme linéaire non nulle telle que H=Ker(f), f est continue et f(EH)=* non connexe par arcs donc EH ne peut l’être.

  • (b)

    Oui. Introduisons une base de F notée (e1,,ep) que l’on complète en une base de E de la forme (e1,,en).
    Sans peine tout élément x=x1e1++xnen de EF peut être lié par un chemin continue dans EF au vecteur en si xn>0 ou au vecteur -en si xn<0 (prendre x(t)=(1-t)x1e1++(1-t)xn-1en+((1-t)xn+t)en).
    De plus, les vecteurs en et -en peuvent être reliés par un chemin continue dans EF en prenant x(t)=(1-2t)en+(t-t2)en-1. Ainsi EF est connexe par arcs.

 
Exercice 10  1153   Correction  

Soient A et B deux parties fermées d’un espace vectoriel normé E de dimension finie. On suppose AB et AB connexes par arcs, montrer que A et B sont connexes par arcs.

Solution

Il nous suffit d’étudier la partie A.

Soient a,aA. Puisque AAB, il existe φ:[0;1]AB continue telle que φ(0)=a et φ(1)=a.

Si φ ne prend pas de valeurs dans B alors φ reste dans A et résout notre problème.

Sinon, posons

t0=inf{t[0;1]|φ(t)B}ett1=sup{t[0;1]|φ(t)B}.

L’application φ étant continue et les parties A et B étant fermées,

φ(t0),φ(t1)AB

La partie AB étant connexe par arcs, il existe ψ:[t0;t1]AB continue telle que ψ(t0)=φ(t0) et ψ(t1)=φ(t1). En considérant θ:[0;1] définie par θ(t)=ψ(t) si t[t0;t1] et θ(t)=φ(t) sinon, on a θ:[0;1]A continue avec θ(0)=a et θ(1)=a.

Ainsi, A est connexe par arcs.

 
Exercice 11  1154   Correction  

Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie n2.

  • (a)

    Montrer que la sphère unité S={xE|x=1} est connexe par arcs.

  • (b)

    À quelle condition l’intersection de deux sphères est-elle non vide?

Solution

  • (a)

    Soient a,bS.

    Cas: a-b. On peut affirmer que (1-λ).a+λ.b0 pour tout λ[0;1]. L’application

    γ:{[0;1]Etγ(t) avec γ(t)=1(1-t).a+t.b.((1-t).a+t.b)

    est alors un chemin joignant a à b inscrit dans S.

    Cas: a=-b. On transite par un point ca,b ce qui est possible car n2.

  • (b)

    Soient S1 et S2 des sphères de centres a1 et a2 et de rayons r1 et r2 réels strictement positifs.

    Analyse: Si S1S2 n’est pas vide, on peut introduire un élément x appartenant à cette intersection. L’inégalité triangulaire donne alors

    a2-a1=(a2-x)+(x-a1)a2-x+x-a1r1+r2.

    Aussi,

    r1=x-a1=(x-a2)+(a2-a1)r2+a2-a1.

    On obtient une propriété analogue en échangeant les rôles de r1 et r2 et, finalement, on parvient à la condition

    |r1-r2|a2-a1r1+r2.

    Synthèse: Supposons la condition précédente remplie et, quitte à échanger, supposons aussi r1r2. Considérons ensuite l’application δ qui à xS1 associe la distance de x à a2.

    Pour x1=a1+r1a2-a1.(a2-a1)S1, on a

    x1-a2=|a2-a1-r1|.

    Que la quantité dans la valeur absolue soit positive ou non, on obtient x1-a2r2.

    Pour x2=a1-r1a2-a1.(a2-a1)S1, on a

    x2-a2=a2-a1+r1r2.

    Par continuité de δ sur le connexe par arcs S1, il existe xS1 tel que x-a2=r2 ce qui détermine un élément de S1S2.

 
Exercice 12  1151  Correction  

Soit f:I injective et continue. Montrer que f est strictement monotone.

On pourra considérer l’application φ:(x,y)f(x)-f(y) définie sur X={(x,y)I2,x<y}.

Solution

X est une partie connexe par arcs (car convexe) et φ est continue donc φ(X) est une partie connexe par arcs de , c’est donc un intervalle.

De plus, 0φ(X) donc φ(X)+* ou φ(X)-* et l’on peut conclure.

 
Exercice 13  1150   Correction  

Soit f:I une fonction dérivable. On suppose que f prend des valeurs strictement positives et des valeurs strictement négatives et l’on souhaite établir que f s’annule.

  • (a)

    Établir que A={(x,y)I2,x<y} est une partie connexe par arcs de I2.

  • (b)

    On note δ:A l’application définie par δ(x,y)=f(y)-f(x). Établir que 0δ(A).

  • (c)

    Conclure en exploitant le théorème de Rolle

Solution

  • (a)

    A est une partie convexe donc connexe par arcs.

  • (b)

    L’application δ est continue donc δ(A) est connexe par arcs c’est donc un intervalle de . Puisque f prend des valeurs strictement positives et strictement négative, la fonction f n’est pas monotone et par conséquent des valeurs positives et négatives appartiennent à l’intervalle δ(A). Par conséquent, 0δ(A).

  • (c)

    Puisque 0δ(A), il existe a<bI tels que f(a)=f(b). On applique le théorème de Rolle sur [a;b] avant de conclure.

 
Exercice 14  3737   

(Théorème de Darboux)

Soit f:I une fonction dérivable définie sur un intervalle I de .

  • (a)

    Montrer que U={(x,y)I2|x<y} est une partie connexe par arcs de 2.

On note τ:U l’application définie par

τ(x,y)=f(y)-f(x)y-x.
  • (b)

    Justifier τ(U)f(I)τ(U)¯.

  • (c)

    En déduire que f(I) est un intervalle11 1 En conséquence, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas forcément une fonction continue, elle satisfait l’affirmation du théorème des valeurs intermédiaires. de .

[<] Continuité et linéarité



Édité le 08-11-2019

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