Soit continue telle que . Montrer qu’il existe une suite de polynômes telle que
Solution
Par le théorème de Weierstrass, il existe une suite de fonctions polynomiales telles .
On a alors
Posons
On vérifie alors sans peine que
Soit continue telle que . Montrer qu’il existe une suite de polynômes telle que
Solution
Par le théorème de Weierstrass, il existe une suite de fonctions polynomiales telles . Posons pour un certain . Montrons que . Notons que pour un certain . Pour tout , pour assez grand, donc et donc . Ainsi . Il suffit ensuite de considérer pour obtenir une solution au problème posé.
Soit une fonction de classe .
Montrer qu’il existe une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers sur et pour laquelle la suite converge aussi uniformément vers sur .
Solution
Méthode: La principale contraite est la convergence uniforme de la suite de dérivées. Par intégration, on construira la suite de polynômes voulue à partir d’une suite réalisant la convergence uniforme vers la fonction dérivée.
Par le théorème de Weierstrass, il existe une suite de fonctions polynomiales telle
Posons alors
La fonction est polynomiale. Pour tout , l’inégalité
permet d’établir que
Puisque , la suite est solution du problème posé.
(Théorème de Weierstrass: preuve par les polynômes de Bernstein)
Pour et , on pose
Calculer
Soient et . On forme
Montrer que
Soit continue. On pose
Montrer que converge uniformément vers sur .
Solution
On a
On a
via et la relation précédente
De manière semblable
On a
car les sont positifs sur .
Par suite,
d’où
Pour tout , par l’uniforme continuité de , il existe tel que
On a alors
donc
Pour assez grand, on a
et donc uniformément en .
(Théorème de Weierstrass: preuve par convolution)
désigne un entier naturel.
On pose
et l’on considère la fonction définie par
Calculer . En déduire que
Soit . Montrer que converge uniformément vers la fonction nulle sur .
Soit une fonction continue de vers nulle en dehors de .
Montrer que est uniformément continue.
On pose
pour tout .
Montrer que est une fonction polynomiale sur
Montrer que
En déduire que converge uniformément vers sur .
Soit une fonction réelle continue nulle en dehors de .
Montrer que est limite uniforme d’une suite de polynômes.
Soit une fonction réelle continue sur .
Montrer que est limite uniforme d’une suite de polynômes.
Solution
On a
On en déduit
Sur ,
Sur le compact , est uniformément continue car est continue. Ainsi:
Pour , on a pour tous tels que
Si alors
Sinon ou et alors
On a
Or
donc
Mais
pour car et alors que est nulle en dehors que . Il s’ensuit que est polynomiale.
On observe que
et la relation proposée est alors immédiate sur .
On a
et alors
Or
donc pour assez grand
et alors
Il suffit de commencer par approcher la fonction qui vérifie les conditions de la question précédente.
Soit tel que . Il suffit de prolonger par continuité de sorte qu’elle soit nulle en dehors de .
Soit continue telle que, pour tout ,
Montrer que est la fonction identiquement nulle.
Soit une fonction continue vérifiant
Montrer que est une fonction impaire.
Solution
On introduit les parties paire et impaire de :
Soit une suite de polynômes convergeant uniformément vers sur .
D’une part, pour tout ,
On réexprime la seconde intégrale par le changement de variable et l’on obtient
Or la fonction polynôme ne comporte que des puissances paires de et l’hypothèse donne
D’autre part,
et donc
La fonction est continue, positive et d’intégrale nulle, c’est la fonction nulle.
On conclut que est égale à , c’est-à-dire que est une fonction impaire.
Cette étude peut être interprétée en terme d’orthogonalité dans l’espace des fonctions réelles continues sur muni du produit scalaire
Soit . On suppose que pour tout ,
Montrer que la fonction est identiquement nulle.
Calculer
En déduire qu’il existe dans , non identiquement nulle, telle que
Solution
Par combinaison linéaire, on remarque que pour tout polynôme ;
Par le théorème de Weierstrass, pour tout , il existe tel que .
En faisant tendre vers par valeurs supérieures, on obtient . Sachant que la fonction est continue et positive, c’est nécessairement la fonction identiquement nulle et donc .
L’intégrale étudiée est bien définie. Par intégration par parties généralisée,
Or donc
donc
puis
On note l’espace vectoriel des fonctions réelles définies et continues sur et dont le carré est intégrable. On le munit de la norme
On note l’ensemble des telles que est nulle hors d’un certain segment (avec pouvant dépendre de ).
On note l’ensemble des fonctions de de la forme avec parcourt .
Montrer que est dense dans puis que est dense dans .
Solution
Soit une fonction élément de .
Pour tout , il existe un réel vérifiant
Considérons alors la fonction définie par pour , pour et pour . La fonction est éléments de et
Ainsi, est dense dans .
Pour montrer maintenant que est dense dans , nous allons établir que est dense dans .
Soit une fonction élément de . Remarquons
La fonction est intégrable sur car
La fonction peut être prolongée par continuité en 0 car est nulle en dehors d’un segment. Par le théorème de Weierstrass, pour tout , il existe un polynôme vérifiant et, pour , on a alors
Cela permet de conclure à la densité proposée.
(Lemme de Lebesgue)
Soit continue par morceaux. Montrer
Soit continue par morceaux. On désire établir
Vérifier le résultat pour une fonction constante.
Observer le résultat pour une fonction en escalier.
Étendre au cas où est une fonction continue par morceaux.
Solution
Supposons constante égale à .
Par le changement de variable et emploi de la relation de Chasles,
avec et . On a
De plus, pour ,
et donc
Ainsi,
puis
Supposons en escalier.
Soit une subdivision adaptée à . Par l’étude qui précède, pour ,
Puis en sommant par la relation de Chasles
Supposons enfin continue par morceaux.
Pour , il existe en escalier vérifiant
Puisque
pour assez grand, on a
Or
et
donc
Ainsi,
Édité le 29-08-2023
Bootstrap 3
-
LaTeXML
-
Powered by MathJax