Exercice 1 4675

Montrer que $ℤ$ est une partie fermée de $ℝ$ :

(a)

En étudiant son complémentaire.
(b)

En raisonnant par les suites.

Exercice 2 4673

Dans $ℝ^{2}$ , montrer que l’ensemble $ℋ$ décrit ci-dessous définit une partie fermée

ℋ = {(x, y) \in ℝ^{2} | x y = 1} .

Exercice 3 5244

Montrer que $O_{n} (ℝ) = {A \in ℳ_{n} (ℝ) | A^{⊤} A = I_{n}}$ est une partie fermée et bornée de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

Exercice 4 5239

Soit $∥ \cdot ∥$ une norme sur un espace vectoriel $E$ de dimension finie.

Montrer que la sphère de centre $a \in E$ et de rayon $r > 0$

𝒮 = {x \in E | ∥ x - a ∥ = r}

est une partie fermée et bornée de $E$ .

Exercice 5 5240

Soit $V$ un sous-espace vectoriel d’un espace normé $E$ de dimension finie.

(a)

Montrer que $V$ est une partie fermée.
(b)

On suppose que le vecteur nul est intérieur à $V$ . Montrer que $V = E$ .
(c)

Plus généralement, on suppose $V$ d’intérieur non vide. Montrer que $V = E$ .

Exercice 6 4677

Soient $N_{1}$ et $N_{2}$ deux normes sur un même espace vectoriel $E$ . On suppose que $N_{1}$ est dominée par $N_{2}$ . Montrer que tout ouvert pour la norme $N_{1}$ est aussi un ouvert pour la norme $N_{2}$ .

Exercice 7 5482 Correction

(a)

Soit $P = X^{3} + a X^{2} + b X + c$ un polynôme réel. Vérifier que les racines $ξ$ de $P$ satisfont

$| ξ | \leq \max {1, | a | + | b | + | c |} .$

On note $𝒟$ l’ensemble des $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ tels que le polynôme $P = X^{3} + a X^{2} + b X + c$ soit scindé sur $ℝ$ .

(b)

Montrer que $𝒟$ est une partie fermée de $ℝ^{3}$ .

Solution

(a)

Si $ξ$ est racine de $P$ alors

$ξ^{3} = - a ξ^{2} - b ξ - c .$

Cas: $| ξ | \leq 1$ . L’inégalité voulue est vérifiée.

Cas: $| ξ | > 1$ . On vérifie $1 \leq {| ξ |}^{2}$ et $| ξ | \leq {| ξ |}^{2}$ . On a alors

${| ξ |}^{3} = | a ξ^{2} + b ξ + c |$

$\leq | a | {| ξ |}^{2} | b | | ξ | + | c |$

$\leq | a | {| ξ |}^{2} + | b | {| ξ |}^{2} + | c | {| ξ |}^{2} .$

En simplifiant par ${| ξ |}^{2}$ ,

$| ξ | \leq | a | + | b | + | c |$

et l’inégalité voulue est à nouveau vérifiée.
(b)

Soit ${(a_{n}, b_{n}, c_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite convergente d’éléments de $𝒟$ et notons $(a, b, c)$ sa limite.

Pour tout $n \in ℕ$ , notons $x_{n}$ , $y_{n}$ et $z_{n}$ les trois racines réelles du polynôme $P_{n} = X^{3} + a_{n} X^{2} + b_{n} X + c_{n}$ que l’on sait scindé sur $ℝ$ .

La suite ${(a_{n}, b_{n}, c_{n})}_{n \in ℕ}$ est bornée car convergente et la suite ${(x_{n}, y_{n}, z_{n})}_{n \in ℕ}$ l’est donc aussi en vertu du résultat de la première question. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite convergente ${(x_{φ (k)}, y_{φ (k)}, z_{φ (k)})}_{k \in ℕ}$ . Notons $(x, y, z)$ la limite de celle-ci. Par les relations coefficients/racines d’un polynôme scindé, on sait

${\begin{matrix} a_{n} & = - (x_{n} + y_{n} + z_{n}) \\ b_{n} & = x_{n} y_{n} + y_{n} z_{n} + z_{n} x_{n} \\ c_{n} & = - x_{n} y_{n} z_{n} \end{matrix} pour tout n \in ℕ .$

Cela vaut en particulier pour $n = φ (k)$ et en faisant alors tendre $k$ vers l’infini, il vient

${\begin{matrix} a & = - (x + y + z) \\ b & = x y + y z + z x \\ c & = - x y z . \end{matrix}$

Par ce système, on peut affirmer que les réels $x$ , $y$ et $z$ sont les trois racines du polynôme $X^{3} + a X^{2} + b X + c$ qui est donc scindé sur $ℝ$ . Ainsi, $(a, b, c) \in 𝒟$ et $𝒟$ est donc une partie fermée¹¹ 1 Un étude plus approfondie généralisant le concept de discriminant permet de décrire $𝒟$ comme l’ensemble des triplets $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ vérifiant $a^{2} b^{2} + 18 a b c - 4 b^{3} - 4 a^{3} c - 27 c^{2} \geq 0$ : ce résultat permet d’obtenir la fermeture de $𝒟$ plus immédiatement en considérant que $𝒟$ est l’image réciproque d’un fermé par une application continue. car contient les limites de ses suites convergentes.

Exercice 8 1108 CENTRALE (MP)Correction

On munit le $ℝ$ -espace vectoriel $ℬ (ℕ, ℝ)$ des suites réelles bornées de la norme

{∥ u ∥}_{\infty} = sup_{n \in ℕ} | u_{n} | .

Déterminer si les sous-ensembles suivants sont fermés ou non:
$A = {suites croissantes}$ , $B = {suites convergeant vers 0}$ , $C = {suites convergentes}$ ,
$D = {suites admettant 0 {pour valeur d}^{'} adhérence}$ et $E = {suites périodiques}$ .

Solution

$A$ est fermé car si $u^{p} = (u_{n}^{p})$ est une suite d’éléments de $A$ convergeant vers une suite $u = (u_{n})$ pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ alors pour tout $n \in ℕ$ et tout $p \in ℕ$ , $u_{n}^{p} \leq u_{n + 1}^{p}$ qui donne à la limite $u_{n} \leq u_{n + 1}$ et donc $u \in A$ .
$B$ est fermé car si $u^{p} = (u_{n}^{p})$ est une suite d’éléments de $B$ convergeant vers une suite $u = (u_{n})$ pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ alors pour tout $ε > 0$ il existe $p \in ℕ$ tel que ${∥ u - u^{p} ∥}_{\infty} \leq ε / 2$ et puisque $u_{n}^{p} \to_{n \to + \infty}^{} 0$ , il existe $N \in ℕ$ tel que

\forall n \geq N, | u_{n}^{p} | \leq ε / 2

et donc

| u_{n} | \leq | u_{n} - u_{n}^{p} | + | u_{n}^{p} | \leq ε .

Ainsi $u \to 0$ et donc $u \in B$ .
$C$ est fermé. En effet, si $u^{p} = (u_{n}^{p})$ est une suite d’éléments de $C$ convergeant vers une suite $u = (u_{n})$ pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ alors en notant $ℓ^{p}$ la limite de $u^{p}$ , la suite $(ℓ^{p})$ est une suite de Cauchy puisque $| ℓ^{p} - ℓ^{q} | \leq {∥ u^{p} - u^{q} ∥}_{\infty}$ . Posons $ℓ$ la limite de la suite $(ℓ^{p})$ et considérons $v^{p} = u^{p} - ℓ^{p}$ . $v^{p} \in B$ et $v^{p} \to u - ℓ$ donc $u - ℓ \in B$ et $u \in C$ .
$D$ est fermé car si $u^{p} = (u_{n}^{p})$ est une suite d’éléments de $D$ convergeant vers une suite $u = (u_{n})$ pour la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ alors pour tout $ε > 0$ il existe $p \in ℕ$ tel que ${∥ u - u^{p} ∥}_{\infty} \leq ε / 2$ et puisque 0 est valeur d’adhérence de $u^{p}$ , il existe une infinité de $n$ tels que $| u_{n}^{p} | \leq ε / 2$ et donc tels que

| u_{n} | \leq | u_{n} - u_{n}^{p} | + | u_{n}^{p} | \leq ε .

Ainsi 0 est valeur d’adhérence de $u$ et donc $u \in D$ .
$E$ n’est pas fermé. Notons $δ^{p}$ , la suite déterminée par $δ_{n}^{p} = 1$ si $p ∣ n$ et 0 sinon. La suite $δ^{p}$ est périodique et toute combinaison linéaire de suites $δ^{p}$ l’est encore. Posons alors

u^{p} = \sum_{k = 1}^{p} \frac{1}{2^{k}} δ^{k}

qui est élément de $E$ . La suite $u^{p}$ converge car

{∥ u^{p + q} - u^{p} ∥}_{\infty} \leq \sum_{k = p + 1}^{p + q} \frac{1}{2^{k}} \leq \frac{1}{2^{p}} \to 0

et la limite $u$ de cette suite n’est pas périodique car

u_{0} = lim_{p \to + \infty} \sum_{k = 1}^{p} \frac{1}{2^{k}} = 1

et que $u_{n} < 1$ pour tout $n$ puisque pour que $u_{n} = 1$ il faut $k ∣ n$ pour tout $k \in ℕ$ .

Exercice 9 2770 MINES (MP)Correction

On munit l’espace des suites bornées réelles $ℬ (ℕ, ℝ)$ de la norme

{∥ u ∥}_{\infty} = sup_{n \in ℕ} | u_{n} | .

(a)

Montrer que l’ensemble des suites convergentes est un fermé de $ℬ (ℕ, ℝ)$ .
(b)

Montrer que l’ensemble des suites $(a_{n})$ qui sont terme général d’une série absolument convergente n’est pas un fermé de $ℬ (ℕ, ℝ)$ .

Solution

(a)

Notons $C$ l’espace des suites convergentes de $ℬ (ℕ, ℝ)$ .

Soit ${(u^{n})}_{n \in ℕ}$ une suite convergente d’éléments de $C$ de limite $u^{\infty}$ .

Pour chaque $n$ , posons $ℓ^{n} = lim u^{n} = {lim}_{p \to + \infty} u_{p}^{n}$ .

Par le théorème de la double limite appliquée à la suite des fonctions $u^{n}$ , on peut affirmer que la suite $(ℓ^{n})$ converge et que la suite $u^{\infty}$ converge vers la limite de $(ℓ^{n})$ . En particulier, $u^{\infty} \in C$ .

L’ensemble $C$ est une partie fermée?
(b)

Notons $A$ l’espace des suites dont le terme général est terme général d’une série absolument convergente.

Soit $(u^{n})$ la suite définie par

$\forall n \in ℕ^{*}, \forall p \in ℕ, u_{p}^{n} = \frac{1}{{(p + 1)}^{1 + 1 / n}} .$

La suite ${(u^{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite d’éléments de $A$ et une étude en norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ permet d’établir que $u^{n} \to u^{\infty}$ avec $u_{p}^{\infty} = \frac{1}{p + 1}$ . La suite $u^{\infty}$ n’étant pas élément de $A$ , la partie $A$ n’est pas fermée.

Exercice 10 1110 Correction

On note $ℝ^{(ℕ)}$ l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.

(a)

Montrer que $ℝ^{(ℕ)}$ est un sous-espace vectoriel de l’espace $ℬ (ℕ, ℝ)$ des suites réelles bornées.
(b)

$ℬ (ℕ, ℝ)$ étant normé par ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ . Le sous-espace vectoriel $ℝ^{(ℕ)}$ est-il une partie ouverte? une partie fermée?

Solution

(a)

Les éléments de $ℝ^{(ℕ)}$ sont bornés donc $ℝ^{(ℕ)} \subset ℬ (ℕ, ℝ)$ .
L’appartenance de l’élément nul et la stabilité par combinaison linéaire sont immédiates.
(b)

Si $ℝ^{(ℕ)}$ est ouvert alors puisque $0 \in ℝ^{(ℕ)}$ il existe $α > 0$ tel que $B_{\infty} (0, α) \subset ℝ^{(ℕ)}$ .

Or la suite constante égale à $α / 2$ appartient à $B_{\infty} (0, α)$ et n’est pas nulle à partir d’un certain rang donc $B_{\infty} (0, α) ⊄ ℝ^{(ℕ)}$ et donc $ℝ^{(ℕ)}$ n’est pas ouvert.

Pour $N \in ℕ$ , posons $u^{N}$ définie par $u_{n}^{N} = \frac{1}{n + 1}$ si $n \leq N$ et $u_{n}^{N} = 0$ sinon.
$(u^{N}) \in ℝ^{(ℕ)}$ et $u^{N} \to u$ avec $u$ donné par $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ . En effet,

${∥ u^{N} - u ∥}_{\infty} = \frac{1}{N + 2} \to 0 .$

Mais $u \notin ℝ^{(ℕ)}$ donc $ℝ^{(ℕ)}$ n’est pas fermé.

Exercice 11 2771 MINES (MP)Correction

Soit $E$ l’ensemble des suites ${(a_{n})}_{n ⩾ 0}$ de $ℂ$ telles que la série $\sum | a_{n} |$ converge. Si $a = {(a_{n})}_{n ⩾ 0}$ appartient à $E$ , on pose

∥ a ∥ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} | a_{n} | .

(a)

Montrer que $∥ \cdot ∥$ est une norme sur $E$ .
(b)

Soit

$F = {a \in E | \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} = 1} .$

L’ensemble $F$ est-il ouvert? fermé? borné?

Solution

(a)

Par définition de l’ensemble $E$ , l’application $∥ \cdot ∥ : E \to ℝ_{+}$ est bien définie.
Soient ${(a_{n})}_{n ⩾ 0}$ , ${(b_{n})}_{n ⩾ 0}$ éléments de $E$ et $λ \in ℝ$ .

$∥ a + b ∥ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} | a_{n} + b_{n} | ⩽ \sum_{n = 0}^{+ \infty} (| a_{n} | + | b_{n} |) = ∥ a ∥ + ∥ b ∥$

avec convergence des séries écrites, et

$∥ λ . a ∥ = \sum_{n = 0}^{+ \infty} | λ a_{n} | = \sum_{n = 0}^{+ \infty} | λ | | a_{n} | = | λ | \sum_{n = 0}^{+ \infty} | a_{n} | = | λ | ∥ a ∥ .$

Enfin, si $∥ a ∥ = 0$ alors

$\forall n \in ℕ, | a_{n} | ⩽ ∥ a ∥ = 0$

donne ${(a_{n})}_{n ⩾ 0} = {(0)}_{n ⩾ 0}$
(b)

Considérons la forme linéaire

$φ : {(a_{n})}_{n ⩾ 0} \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} .$

On vérifie

$\forall a = {(a_{n})}_{n ⩾ 0} \in E, | φ (a) | = | \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} | ⩽ \sum_{n = 0}^{+ \infty} | a_{n} | = ∥ a ∥ .$

La forme linéaire $φ$ est donc continue.
Puisque $F = φ^{- 1} ({1})$ avec ${1}$ , la partie $F$ est fermée en tant qu’image réciproque d’une partie fermée par une application continue.
Posons $e = (1, 0, 0, \dots)$ et un élément de $F$ et

$\forall α > 0, e + α e \notin F et ∥ e - (e + α e) ∥ = α .$

On en déduit que $F$ n’est pas un voisinage de son élément $e$ et par conséquent la partie $F$ n’est pas ouverte.
Posons $α^{p} = e + p . (1, - 1, 0, 0, \dots)$ .

$\forall p \in ℕ, α^{p} \in F et ∥ α^{p} ∥ \to_{p \to + \infty}^{} + \infty .$

La partie $F$ n’est donc pas bornée.

Exercice 12 5879 Correction

On note $𝒫_{n}$ l’ensemble des polynômes réels unitaires de degré $n$ exactement.

(a)

Soit $P \in 𝒫_{n}$ . Établir

$P est scindé sur ℝ \Leftrightarrow \forall z \in ℂ, | P (z) | \geq {| Im (z) |}^{n} .$
(b)

En déduire que le sous-ensemble de $𝒫_{n}$ formé des polynômes scindés sur $ℝ$ est une partie fermée de $ℝ_{n} [X]$ .

Solution

(a)

$(⟹)$ Supposons $P$ scindé sur $ℝ$ . Le polynôme $P$ possède exactement $n$ racines réelles comptées avec multiplicité que l’on note $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ . Sachant de plus que le polynôme est unitaire, on peut écrire

$P = (X - λ_{1}) \dots (X - λ_{n}) .$

Pour tout $z \in ℂ$ , on a alors

$| P (z) | = \prod_{k = 1}^{n} | z - λ_{k} | \geq {| Im (z) |}^{n}$

car

$| z - λ_{k} | = \sqrt{{(Re (z) - λ_{k})}^{2} + {(Im (z))}^{2}} \geq | Im (z) | .$

$(⟸)$ Supposons ${| Im (z) |}^{n} \leq | P (z) |$ pour tout $z \in ℂ$ .

On sait que le polynôme $P$ est assurément scindé sur $ℂ$ . Or, si $z$ est une racine de $P$ , on a ${| Im (z) |}^{n} \leq P (z) = 0$ et donc $z \in ℝ$ . Ainsi, les racines de $P$ sont toutes réelles et le polynôme $P$ est scindé sur $ℝ$ .
(b)

On note $𝒮_{n}$ le sous-ensemble de $𝒫_{n}$ formé des polynômes scindés sur $ℝ$ .

Soit $(P_{k})$ une suite convergente d’éléments de $𝒮_{n}$ . Notons $P_{\infty}$ sa limite.

Les coefficients de $P_{k}$ tendent vers les coefficients respectifs de $P_{\infty}$ : le polynôme $P_{\infty}$ est unitaire de degré $n$ (et en substance $𝒫_{n}$ est une partie fermée de $ℝ_{n} [X]$ ).

Soit $z \in ℂ$ . Pour tout $k \in ℕ$ , $| P_{k} (z) | \geq {| Im (z) |}^{n}$ .

L’application $E_{z} : P \mapsto P (z)$ est continue car linéaire au départ d’un espace de dimension finie. On peut alors passer à la limite la relation précédente et l’on obtient $| P_{\infty} (z) | \geq {| Im (z) |}^{n}$ . Cela valant pour tout $z \in ℂ$ , on peut affirmer que $P_{\infty}$ est scindé et donc $𝒫_{\infty} \in 𝒮_{n}$ .

L’ensemble $𝒮_{n}$ contient les limites de ses suites convergentes, c’est donc un polynôme scindé.

Exercice 13 6084 MINES (MP)Correction

Soit $E$ un espace normé réel de dimension quelconque.

(a)

Montrer qu’une famille $(x_{1}, \dots, x_{p})$ de vecteurs de $E$ est libre si, et seulement si,

$inf {∥ λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} ∥ | (λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in ℝ^{p}, λ_{1}^{2} + \dots + λ_{p}^{2} = 1} > 0 .$
(b)

En déduire que l’ensemble des familles libres de $p$ vecteurs est un ouvert de $E^{p}$ .
(c)

Proposer une démonstration plus directe en dimension finie.

Solution

(a)

Supposons la famille $(x_{1}, \dots, x_{p})$ liée. On peut écrire une relation linéaire

$α_{1} x_{1} + \dots + α_{p} x_{p} = 0_{E} avec (α_{1}, \dots, α_{p}) \neq (0, \dots, 0) .$

Pour

$λ_{i} = \frac{α_{i}}{\sqrt{α_{1}^{2} + \dots + α_{p}^{2}}} avec i = 1, \dots, p$

on obtient

$λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} = 0_{E} avec λ_{1}^{2} + \dots + λ_{p}^{2} = 1 .$

Par conséquent,

$inf {∥ λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} ∥ | (λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in ℝ^{p}, λ_{1}^{2} + \dots + λ_{p}^{2} = 1} = 0 .$

Supposons la famille $(x_{1}, \dots, x_{p})$ libre. L’ensemble $K = {(λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in ℝ^{p} | λ_{1}^{2} + \dots + λ_{p}^{2} = 1}$ est une partie compacte. L’application $(λ_{1}, \dots, λ_{p}) \mapsto ∥ λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} ∥$ est continue sur le compact $K$ , à valeurs réelles et ne s’annule pas. Cette application présente donc un minimum de valeur strictement positive et par conséquent

$inf {∥ λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} ∥ | (λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in ℝ^{p}, λ_{1}^{2} + \dots + λ_{p}^{2} = 1} > 0 .$
(b)

Soit $(x_{1}, \dots, x_{p})$ une famille libre d’éléments de $E$ . On sait

$m = inf {∥ λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} ∥ | (λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in ℝ^{p}, λ_{1}^{2} + \dots + λ_{p}^{2} = 1} > 0 .$

Soient $α > 0$ et $(x_{1}^{'}, \dots, x_{p}^{'})$ une famille d’éléments de $E$ avec

$\forall j = 1, \dots, p, ∥ x_{j}^{'} - x_{j} ∥ < α .$

Supposons que la famille $(x_{1}^{'}, \dots, x_{p}^{'})$ soit liée. Comme au-dessus, on peut écrire

$λ_{1} x_{1}^{'} + \dots + λ_{p} x_{p}^{'} = 0_{E} avec λ_{1}^{2} + \dots + λ_{p}^{2} = 1$

et l’on a donc

$∥ λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} ∥$ $= ∥ λ_{1} (x_{1} - x_{1}^{'}) + \dots + λ_{p} (x_{p} - x_{p}^{'}) ∥$

$⩽ | λ_{1} | α + \dots + | λ_{p} | α ⩽ p α .$

Si $p α < m$ , ce cas de figure est impossible et la famille $(x_{1}^{'}, \dots, x_{p}^{'})$ est alors nécessairement libre. On peut alors conclure que l’ensemble des familles libres de $E^{p}$ est voisinage de chacun de ses points: c’est un ouvert.
(c)

On introduit une base $e$ de $E$ et l’on considère l’application de $E^{p}$ vers $ℳ_{n, p} (ℝ)$ qui à une famille $(x_{1}, \dots, x_{p})$ de vecteurs de $E$ associe sa matrice dans la base $e$ . Cette application est linéaire donc continue. Pour conclure, il suffit alors d’observer que les matrices de rang $p$ forment une partie ouverte de $ℳ_{n, p} (ℝ)$ . Or une matrice de $ℳ_{n, p} (ℝ)$ est de rang $p$ si, et seulement si, elle possède un déterminant extrait non nul. L’ensemble des matrices de rang $p$ est donc la réunion des images réciproques de $ℝ^{*}$ par les différentes applications continues qui calculent les déterminants extraits d’une matrice de $ℳ_{n, p} (ℝ)$ .

Exercice 14 6082 MINES (MP)Correction

On munit l’espace $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ de la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .

(a)

On note $ℐ$ le sous-ensemble de $E$ formé des fonctions injectives. Montrer que $ℐ$ n’est ni ouvert ni fermé.
(b)

On note $𝒮$ le sous-ensemble de $E$ formé des fonctions surjectives de $[0; 1]$ sur $[0; 1]$ . S’agit-il d’une partie ouverte, d’une partie fermée?
(c)

On note $ℬ$ le sous-ensemble de $E$ formé des fonctions bijectives de $[0; 1]$ vers $[0; 1]$ . S’agit-il d’une partie ouverte, d’une partie fermée?

Solution

(a)

Dans $E$ , on peut construire une suite de fonctions strictement croissantes convergeant uniformément vers une fonction constante. Par exemple, $f_{n} (t) = 2^{- n} t$ pour $t \in [0; 1]$ . L’ensemble $ℐ$ n’est pas une partie fermée.

Dans $E$ , la fonction $f : t \mapsto t^{2}$ est injective mais on peut construire une fonction avec un petit palier constant égal à $0$ au voisinage de $0$ qui soit uniformément proche de $f$ à n’importe quel $ε ⩾ 0$ préalablement fixé. L’ensemble $ℐ$ n’est pas ouvert.

(b)

Le même exemple qu’au dessus assure que $𝒮$ n’est pas une partie ouverte. On peut cependant établir qu’il s’agit d’une partie fermée. Soit ${(f_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite convergente d’éléments de $𝒮$ . Notons $f_{\infty}$ sa limite dans $E$ (donc continue).

Pour tout $n \in ℕ$ , il existe $x_{n} \in [0; 1]$ tel que $f_{n} (x_{n}) = 0$ . La suite $(x_{n})$ est bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, on peut en extraire une suite convergente $(x_{φ (n)})$ . Notons $x_{\infty}$ la limite de cette suite extraite. On a

	$\| f_{\infty} (x_{\infty}) - f_{φ (n)} (x_{φ (n)}) \|$	$⩽ \| f_{\infty} (x_{\infty}) - f_{\infty} (x_{φ (n)}) \| + \| f_{\infty} (x_{φ (x)}) - f_{φ (n)} (x_{φ (n)}) \|$
		$⩽ \| f_{\infty} (x_{\infty}) - f_{\infty} (x_{φ (n)}) \| + ∥ f_{\infty} - f_{φ (n)} ∥ .$

Par continuité de $f_{\infty}$ et par convergence de $(f_{φ (n)})$ vers $f_{\infty}$ pour ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ , on obtient

| f_{\infty} (x_{\infty}) - f_{φ (n)} (x_{φ (n)}) | \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

On en déduit $f_{\infty} (x_{\infty}) = 0$ . Ainsi, $f_{\infty}$ prend la valeur $0$ . On établit de même que $f_{\infty}$ prend la valeur $1$ . Par continuité, $f_{\infty}$ est une application surjective sur $[0; 1]$ . Notons qu’on peut aussi vérifier que par passage à la limite $f_{\infty}$ prend ses valeurs dans $[0; 1]$ .

(c)

À nouveau l’exemple de la fonction $t \mapsto t^{2}$ assure que $ℬ$ n’est pas une partie ouverte. Ce n’est pas une partie fermée non plus car il est possible avec des fonctions continues affines par morceaux de construite des fonctions continues strictement croissante prenant la valeur $0$ en 0 et la valeur $1$ en $1$ (donc bijective) convergeant uniformément sur $[0; 1 / 2]$ vers la fonction identiquement nulle.

Exercice 15 3037 X (MP)Correction

Caractériser dans $ℳ_{n} (ℂ)$ les matrices dont la classe de similitude est fermée.
Même question avec $ℝ$ au lieu de $ℂ$

Solution

Cas: $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ est diagonalisable. Soit $(A_{p})$ une suite convergente de matrices semblables à $A$ .
Notons $A_{\infty}$ la limite de $(A_{p})$ .
Si $P$ est un polynôme annulateur de $A$ , $P$ est annulateur des $A_{p}$ et donc $P$ annule $A_{\infty}$ . Puisque $A$ est supposée diagonalisable, il existe un polynôme scindé simple annulant $A$ et donc $A_{\infty}$ et par suite $A_{\infty}$ est diagonalisable.
De plus, $χ_{A} = χ_{A_{p}}$ donc à la limite $χ_{A} = χ_{A_{\infty}}$ .
On en déduit que $A$ et $A_{\infty}$ ont les mêmes valeurs propres et que celles-ci ont mêmes multiplicités. On en conclut que $A$ et $A_{\infty}$ sont semblables.
Ainsi, la classe de similitude de $A$ est fermée.
Cas: $A \in ℳ_{n} (ℂ)$ non diagonalisable. À titre d’exemple, considérons la matrice

A = (\begin{matrix} λ & 1 \\ 0 & λ \end{matrix}) .

Pour $P_{p} = (\begin{matrix} p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ , on obtient

P_{p}^{- 1} A P_{p} = (\begin{matrix} λ & 1 / p \\ 0 & λ \end{matrix}) \to λ I_{2}

qui n’est pas semblable à $A$ .
De façon plus générale, si la matrice $A$ n’est pas diagonalisable, il existe une valeur propre $λ$ pour laquelle

Ker {(A - λ I_{2})}^{2} \neq Ker (A - λ I_{2}) .

Pour $X_{2} \in Ker {(A - λ I_{2})}^{2} ∖ Ker (A - λ I_{2})$ et $X_{1} = (A - λ I_{2}) X_{2}$ , la famille $(X_{1}, X_{2})$ vérifie $A X_{1} = λ X_{1}$ et $A X_{2} = λ X_{2} + X_{1}$ . En complétant la famille libre $(X_{1}, X_{2})$ en une base, on obtient que la matrice $A$ est semblable à

T = (\begin{matrix} λ & 1 & (*) \\ 0 & λ & (*) \\ (0) & (0) & B \end{matrix}) .

Pour $P_{p} = diag (p,1, \dots,1)$ , on obtient

P_{p}^{- 1} T P_{p} = (\begin{matrix} λ & 1 / p & (* / p) \\ 0 & λ & (*) \\ (0) & (0) & B \end{matrix}) \to (\begin{matrix} λ & 0 & (0) \\ 0 & λ & (*) \\ (0) & (0) & B \end{matrix}) = A_{\infty} .

Or cette matrice n’est pas semblable à $T$ ni à $A$ car $rg (A_{\infty} - λ I_{n}) \neq rg (T - λ I_{n})$ .
Ainsi, il existe une suite de matrices semblables à $A$ qui converge vers une matrice qui n’est pas semblable à $A$ , la classe de similitude de $A$ n’est pas fermée.

Cas: $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Si $A$ est diagonalisable dans $ℂ$ alors toute limite $A_{\infty}$ d’une suite de la classe de similitude de $A$ est semblable à $A$ dans $ℳ_{n} (ℂ)$ . Soit $P \in {GL}_{n} (ℂ)$ telle que $P^{- 1} A P = A_{\infty}$ . On a alors $A P = P A_{\infty}$ . En introduisant les parties réelles et imaginaires de $P$ , on peut écrire $P = Q + i R$ avec $Q, R \in ℳ_{n} (ℝ)$ .
L’identité $A P = P A_{\infty}$ avec $A$ et $A_{\infty}$ réelles entraîne $A Q = Q A_{\infty}$ et $A R = R A_{\infty}$ .
Puisque la fonction polynôme $t \mapsto \det (Q + t R)$ n’est pas nulle (car non nulle en $i$ ), il existe $t \in ℝ$ tel que $P^{'} = Q + t R \in {GL}_{n} (ℝ)$ et pour cette matrice $A P^{'} = P^{'} A_{\infty}$ .
Ainsi, les matrices $A$ et $A_{\infty}$ sont semblables dans $ℳ_{n} (ℝ)$ .
Si $A$ n’est pas diagonalisable dans $ℂ$ .
Il existe une valeur propre complexe $λ$ pour laquelle $Ker {(A - λ I_{2})}^{2} \neq Ker (A - λ I_{2})$ .
Pour $X_{2} \in Ker {(A - λ I_{2})}^{2} ∖ Ker (A - λ I_{2})$ et $X_{1} = (A - λ I_{2}) X_{2}$ , la famille $(X_{1}, X_{2})$ vérifie $A X_{1} = λ X_{1}$ et $A X_{2} = λ X_{2} + X_{1}$ .
Si $λ \in ℝ$ , il suffit de reprendre la démonstration qui précède.
Si $λ \in ℂ ∖ ℝ$ , on peut écrire $λ = a + i b$ avec $b \in ℝ^{*}$ .
Posons $X_{3} = {\bar{X}}_{1}$ et $X_{4} = {\bar{X}}_{2}$ .
La famille $(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4})$ est libre car $λ \neq \bar{λ}$ .
Introduisons ensuite $Y_{1} = Re (X_{1})$ , $Y_{2} = Re (X_{2})$ , $Y_{3} = Im (X_{1})$ et $Y_{4} = Im (X_{2})$ .
Puisque ${Vect}_{ℂ} (Y_{1}, \dots, Y_{4}) = {Vect}_{ℂ} (X_{1}, \dots, X_{4})$ , la famille $(Y_{1}, \dots, Y_{4})$ est libre et peut donc être complétée en une base.
On vérifie par le calcul $A Y_{1} = a Y_{1} - b Y_{3}$ , $A Y_{2} = a Y_{2} - b Y_{4} + Y_{1}$ , $A Y_{3} = a Y_{3} + b Y_{1}$ et $A Y_{4} = b Y_{2} + a Y_{4} + Y_{3}$ . et l’on obtient que la matrice $A$ est semblable dans $ℳ_{n} (ℝ)$ à la matrice

(\begin{matrix} T & * \\ O & B \end{matrix})

avec

T = (\begin{matrix} a & 1 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ - b & 0 & a & 1 \\ 0 & - b & 0 & a \end{matrix}) .

Pour $P_{p} = diag (p,1, p,1, \dots 1)$ , on obtient

P_{p}^{- 1} T P_{p} \to (\begin{matrix} T_{\infty} & *^{'} \\ O & B \end{matrix}) = A_{\infty}

avec

T_{\infty} = (\begin{matrix} a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ - b & 0 & a & 0 \\ 0 & - b & 0 & a \end{matrix}) .

Or dans $ℳ_{n} (ℂ)$ , la matrice $A_{\infty}$ est semblable est à $diag (λ, λ, \bar{λ}, \bar{λ}, B)$ qui n’est pas semblable à $A$ pour des raisons de dimensions analogues à ce qui a déjà été vu.
Les matrices réelles $A$ et $A_{\infty}$ ne sont pas semblables dans $ℳ_{n} (ℂ)$ ni a fortiori dans $ℳ_{n} (ℝ)$ .
On en déduit que la classe de similitude de $A$ n’est pas fermée

[<] Frontière [>] Distance à une partie

Édité le 29-11-2025

	${\| ξ \|}^{3} = \| a ξ^{2} + b ξ + c \|$
		$\leq \| a \| {\| ξ \|}^{2} \| b \| \| ξ \| + \| c \|$
		$\leq \| a \| {\| ξ \|}^{2} + \| b \| {\| ξ \|}^{2} + \| c \| {\| ξ \|}^{2} .$

	$∥ λ_{1} x_{1} + \dots + λ_{p} x_{p} ∥$	$= ∥ λ_{1} (x_{1} - x_{1}^{'}) + \dots + λ_{p} (x_{p} - x_{p}^{'}) ∥$
		$⩽ \| λ_{1} \| α + \dots + \| λ_{p} \| α ⩽ p α .$

Ouverts et fermés