[<] Distance à une partie [>] Continuité et topologie

 
Exercice 1  5235  

Soient U1,,Up des parties ouvertes d’un espace normé E de dimension finie.

Montrer que U=U1Up est une partie ouverte. Que dire de la réunion d’un nombre fini de parties fermées?

 
Exercice 2  4679   

Déterminer deux parties A et B de l’espace 2 telles que A et B soient fermées mais pas la partie

A+B={a+b|aA et bB}.
 
Exercice 3  1103   Correction  

Montrer que tout fermé peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante d’ouverts.

Solution

Soient F un fermé et pour tout n*,

On=aFB(a,1/n)

On est un ouvert (car réunion d’ouverts) contenant F. Le fermé F est donc inclus dans l’intersection des On pour n*.
Inversement, si x appartient à cette intersection, alors, pour tout n, il existe anF tel que xB(an,1/n). La suite (an) converge alors vers x et donc xF car F est fermé.

Finalement, F est l’intersection des On pour n*.

 
Exercice 4  1118  Correction  

Soient A un ouvert et B une partie d’un espace vectoriel normé E.

  • (a)

    Montrer que AB¯AB¯

  • (b)

    Montrer que AB=AB¯=.

Solution

  • (a)

    Soit xAB¯. Il existe une suite (bn)B telle que bnx. Or xA et A est ouvert donc à partir d’un certain rang bnA. Ainsi pour n assez grand bnAB et puisque bnx, xAB¯.

  • (b)

    Si AB= alors AB¯AB¯=¯=.

 
Exercice 5  4678   

Soit X une partie quelconque d’un espace normé E.

  • (a)

    Montrer que X est la réunion des ouverts inclus dans X.

  • (b)

    En déduire que X est le plus grand11 1 Au sens de l’inclusion. ouvert inclus dans X.

  • (c)

    Établir que X¯ est le plus petit fermé contenant X.

 
Exercice 6  1104   Correction  

On désigne par p1 et p2 les applications coordonnées de 2 définies par pi(x1,x2)=xi pour i=1,2.

  • (a)

    Soit O un ouvert de 2, montrer que p1(O) et p2(O) sont des ouverts de .

  • (b)

    Soit H={(x,y)2|xy=1}. Montrer que H est un fermé de 2 et que p1(H) et p2(H) ne sont pas des fermés de .

  • (c)

    Montrer que si F est un fermé et que p2(F) est une partie bornée, alors p1(F) est fermée.

Solution

  • (a)

    Soit xp1(O). Il existe y tel que a=(x,y)O. Comme O est ouvert, il existe ε>0 tel que B(a,ε)O et alors ]x-ε;x+ε[p1(O). Ainsi, p1(O) (et de même p2(O)) est ouvert.

  • (b)

    Soit ((xn,yn))nH telle que

    (xn,yn)n+(x,y).

    Comme xnyn=1, à la limite xy=1.

    Par la caractérisation séquentielle des fermés, H est une partie fermée.

    Cependant p1(H)=*, p2(H)=* ne sont pas des parties fermées de .

  • (c)

    Soit (xn)n(p1(F)) telle que

    xnn+x.

    Pour n, il existe yn tel que (xn,yn)F.

    Comme la suite (yn) est bornée, on peut extraire une suite convergente (yφ(n)) de limite y. La suite ((xφ(n),yφ(n))) est convergente de limite (x,y) et, puisque F est une partie fermée, (x,y)F. On en déduit x=p1((x,y))p1(F). Ainsi, p1(F) est une partie fermée.

 
Exercice 7  3021      X (MP)Correction  

Soient E un espace vectoriel normé, F un sous-espace fermé de E et G un sous-espace vectoriel de dimension finie de E. Montrer que F+G est fermé

Solution

Pour obtenir ce résultat, il suffit de savoir montrer F+Vect(u) fermé pour tout uF.
Soit (xn) une suite convergente d’éléments de F+Vect(u) de limite x.
Pour tout n, on peut écrire xn=yn+λnu avec ynF et λn𝕂.
Montrons en raisonnant par l’absurde que la suite (λn) est bornée.
Si la suite (λn) n’est pas bornée, quitte à considérer une suite extraite, on peut supposer |λn|+.
Posons alors zn=1λnxn=1λnyn+u.
Puisque xnx et |λn|+, on a zn0 et donc 1λnyn-u.
Or la suite de terme général 1λnyn est une suite d’éléments de l’espace fermé F, donc -uF ce qui exclu.
Ainsi, la suite (λn) est bornée et l’on peut en extraire une suite convergente (λφ(n)) de limite λ𝕂.
Par opérations, la suite (yφ(n)) est alors convergente.
En notant y sa limite, on a yF car l’espace F est fermé.
En passant la relation xn=yn+λnu à la limite, on obtient x=y+λuF+Vect(u).
Ainsi, l’espace F+Vect(u) est fermé.

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Édité le 08-11-2019

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