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Exercice 1  4676  

Déterminer la frontière de l’ensemble des nombres rationnels.

 
Exercice 2  3026  Correction  

Soit A une partie d’un espace normé E.

  • (a)

    Montrer que la partie A est fermée si, et seulement si, Fr(A)A.

  • (b)

    Montrer que la partie A est ouverte si, et seulement si, AFr(A)=

Solution

  • (a)

    Si A est fermée alors A¯=A donc Fr(A)=AAA.
    Inversement, si Fr(A)=A¯AA alors puisque AA on a A¯A.
    En effet, pour xA¯, si xA alors xA et sinon xFr(A) et donc xA.
    Puisque de plus AA¯, on en déduit A=A¯ et donc A¯ est fermé.

  • (b)

    A est un ouvert si, et seulement si, EA est un fermé c’est-à-dire si, et seulement si, Fr(EA)EA.
    Or Fr(EA)=Fr(A) donc A est un ouvert si, et seulement si, Fr(A)A=.

 
Exercice 3  1116  Correction  

Soit A une partie d’un espace vectoriel normé E. Établir que sa frontière Fr(A) est une partie fermée.

Solution

On a

Fr(A)=A¯A=A¯EA=A¯EA¯.

On en déduit que Fr(A) est fermée par intersection de parties fermées

 
Exercice 4  1117   Correction  

Soit F une partie fermée d’un espace vectoriel normé E. Établir

Fr(Fr(F))=Fr(F).

Solution

On sait

Fr(F)=F¯EF¯

donc

Fr(Fr(F))=Fr(F)EFr(F)¯.

Or Fr(F)F¯=F donc EFEFr(F) puis EF¯EFr(F)¯.
De plus, Fr(F)EF¯ donc Fr(F)EFr(F)¯ puis

Fr(Fr(F))=Fr(F).

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Édité le 08-11-2019

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