• (a)

  Si $A$ est fermée alors $\overline{A}=A$ donc $\mathrm{Fr}(A)=A\setminus A^{\circ }\subset A$.
  Inversement, si $\mathrm{Fr}(A)=\overline{A}\setminus A^{\circ }\subset A$ alors puisque $A^{\circ }\subset A$ on a $\overline{A}\subset A$.
  En effet, pour $x\in \overline{A}$, si $x\in A^{\circ }$ alors $x\in A$ et sinon $x\in \mathrm{Fr}(A)$ et donc $x\in A$.
  Puisque de plus $A\subset \overline{A}$, on en déduit $A=\overline{A}$ et donc $\overline{A}$ est fermé.

• (b)

  $A$ est un ouvert si, et seulement si, ${\mathrm{\complement }}_{E}A$ est un fermé c’est-à-dire si, et seulement si, $\mathrm{Fr}({\mathrm{\complement }}_{E}A)\subset {\mathrm{\complement }}_{E}A$.
  Or $\mathrm{Fr}\left({\mathrm{\complement }}_{E}A\right)=\mathrm{Fr}(A)$ donc $A$ est un ouvert si, et seulement si, $\mathrm{Fr}(A)\cap A=\mathrm{\varnothing }$.

On a

On en déduit que $\mathrm{Fr}(A)$ est fermée par intersection de parties fermées

On sait

donc

Or $\mathrm{Fr}(F)\subset \overline{F}=F$ donc ${\mathrm{\complement }}_{E}F\subset {\mathrm{\complement }}_E\mathrm{Fr}(F)$ puis $\overline{{\mathrm{\complement }}_{E}F}\subset \overline{{\mathrm{\complement }}_E\mathrm{Fr}(F)}$.
De plus, $\mathrm{Fr}(F)\subset \overline{{\mathrm{\complement }}_{E}F}$ donc $\mathrm{Fr}(F)\subset \overline{{\mathrm{\complement }}_E\mathrm{Fr}(F)}$ puis