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Exercice 1  5241  

Soient a un élément et F une partie fermée non vide d’un espace normé E de dimension finie. Montrer

aFd(a,F)=0.
 
Exercice 2  4076  Correction  

Soient F une partie fermée non vide d’un espace normé E et xE. Montrer

d(x,F)=0xF.

Solution

Rappelons

d(x,F)=inf{x-y|yF}

() Si xF alors 0{x-y|yF} et donc d(x,F)=0.

() Si d(x,F)=0 alors pour tout n, il existe ynF vérifiant

x-yn1n+1.

En faisant varier n, cela détermine (yn)F telle que ynx.
Or F est une partie fermée, elle contient les limites de ses suites convergentes et par conséquent xF.

 
Exercice 3  1107   Correction  

Soit E une espace vectoriel normé.

  • (a)

    Soient F une partie fermée non vide de E et xE. Montrer

    d(x,F)=0xF.
  • (b)

    Soient F et G deux fermés non vides et disjoints de E.
    Montrer qu’il existe deux ouverts U et V tels que

    FU,GV et UV=.

Solution

  • (a)

    Rappelons

    d(x,F)=inf{x-y|yF}

    () Si xF alors 0{x-y|yF} et donc d(x,F)=0.

    () Si d(x,F)=0 alors pour tout n, il existe ynF vérifiant

    x-yn1n+1.

    En faisant varier n, cela déterminer (yn)F telle que ynx.
    Or F est une partie fermée, elle contient les limites de ses suites convergentes et par conséquent xF.

  • (b)

    Soient

    U=xFB(x,12d(x,G)) et V=xGB(x,12d(x,F)).

    Les parties U et V sont ouvertes car réunion de boules ouvertes et il est clair que U et V contiennent respectivement F et G.
    S’il existe yUV alors il existe aF et bG tels que

    d(a,y)<12d(a,G) et d(b,y)<12d(b,F).

    Puisque

    d(a,G),d(b,F)d(a,b)

    on a donc

    d(a,b)d(a,y)+d(y,b)<d(a,b).

    C’est absurde et l’on peut conclure

    UV=.
 
Exercice 4  4680  

Soient A une partie non vide d’un espace normé E et x un vecteur de E.

  • (a)

    Justifier que l’on peut introduire

    d(x,A)=infaAx-a+.
  • (b)

    Montrer l’équivalence

    xA¯d(x,A)=0.
 
Exercice 5  1120  Correction  

Soient A et B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E.
Établir

d(A¯,B¯)=d(A,B)

(en notant d(A,B)=infxA,yBd(x,y))

Solution

AA¯, BB¯ donc d(A¯,B¯)d(A,B).
Pour tout xA¯ et yB¯, il existe (an)A et (bn)B telles que anx et bny.
On a alors d(x,y)=limn+d(an,bn) or d(an,bn)d(A,B) donc à la limite d(x,y)d(A,B) puis d(A¯,B¯)d(A,B) et finalement l’égalité.

 
Exercice 6  1106   Correction  

Soient A,B deux parties non vides d’un espace vectoriel normé E telles que

d(A,B)=infxA,yBd(x,y)>0.

Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints U et V tels que AU et BV.

Solution

Les ensembles

U=aAB(a,d/2)etV=bBB(b,d/2)

avec d=d(A,B) sont solutions.

En effet, U et V sont des ouverts (par réunion d’ouverts) contenant A et B. Aussi, U et V sont disjoints car

UV (a,b)A×B,B(a,d/2)B(b,d/2)
d(A,B)<d.
 
Exercice 7  2415     CENTRALE (MP)Correction  

Soit A une partie non vide de telle que pour tout x réel il existe un et un seul yA tel que |x-y|=d(x,A). Montrer que A est un intervalle fermé.

Solution

Soit (xn)A convergeant vers x. Il existe un unique yA tel que |x-y|=d(x,A). Or d(x,A)=0 donc x=yA. Ainsi A est fermé.
Par l’absurde supposons que A ne soit pas un intervalle. Il existe alors a<c<b tels que a,bA et cA. Posons

α=sup{xA|xc}etβ=inf{xA|xc}.

On a α,βA, α<c<β et ]α;β[A.

Posons alors γ=α+β2. On a

d(γ,A)=β-α2=|γ-α|=|γ-β|

ce qui contredit l’hypothèse d’unicité. C’est absurde.

 
Exercice 8  3066   

On considère l’espace E=𝒞([0;1],) normé par et la partie

A={fE|f(0)=0 et 01f(t)dt1}.
  • (a)

    Montrer que A est une partie fermée.

  • (b)

    Vérifier que f>1 pour tout fA.

  • (c)

    Calculer la distance de la fonction nulle à la partie A.

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Édité le 08-11-2019

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