[<] Ouverts et fermés [>] Opérations sur les ouverts, les fermés
Soient un élément et une partie fermée non vide d’un espace normé de dimension finie. Montrer
Soient une partie fermée non vide d’un espace normé et . Montrer
Solution
Rappelons
Si alors et donc .
Si alors pour tout , il existe vérifiant
En faisant varier , cela détermine telle que .
Or est une partie fermée, elle contient les limites de ses suites convergentes et par conséquent .
Soit une espace vectoriel normé.
Soient une partie fermée non vide de et . Montrer
Soient et deux fermés non vides et disjoints de .
Montrer qu’il existe deux ouverts et tels que
Solution
Rappelons
Si alors et donc .
Si alors pour tout , il existe vérifiant
En faisant varier , cela déterminer telle que .
Or est une partie fermée, elle contient les limites de ses suites convergentes et par conséquent .
Soient
Les parties et sont ouvertes car réunion de boules ouvertes et il est clair que et contiennent respectivement et .
S’il existe alors il existe et tels que
Puisque
on a donc
C’est absurde et l’on peut conclure
Soient une partie non vide d’un espace normé et un vecteur de .
Justifier que l’on peut introduire le réel
Montrer l’équivalence
Soient et deux parties non vides d’un espace vectoriel normé .
Établir
(en notant )
Solution
, donc .
Pour tout et , il existe et telles que et .
On a alors or donc à la limite puis et finalement l’égalité.
Soient deux parties non vides d’un espace vectoriel normé telles que
Montrer qu’il existe deux ouverts disjoints et tels que et .
Solution
Les ensembles
avec sont solutions.
En effet, et sont des ouverts (par réunion d’ouverts) contenant et . Aussi, et sont disjoints car
Soit une partie non vide de telle que pour tout réel il existe un et un seul tel que . Montrer que est un intervalle fermé.
Solution
Soit convergeant vers . Il existe un unique tel que . Or donc . Ainsi est fermé.
Par l’absurde supposons que ne soit pas un intervalle. Il existe alors tels que et .
Posons
On a , et .
Posons alors . On a
ce qui contredit l’hypothèse d’unicité. C’est absurde.
On considère l’espace normé par et la partie
Montrer que est une partie fermée.
Vérifier que pour tout .
Calculer la distance de la fonction nulle à la partie .
En substance, la distance d’un vecteur à une partie fermée peut ne pas être atteinte.
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Édité le 29-08-2023
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