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Exercice 1  3627   Correction  

Soit f:[0;+[ continue et positive. On suppose

f(x+1)f(x)x+[0;1[.

Montrer que f est intégrable sur [0;+[.

Solution

Soit q];1[. Il existe A+ tel que

xA,f(x+1)f(x)q

et donc

xA,f(x+1)qf(x).

On a alors

AA+nf(t)dt=k=0n-1AA+1f(t+k)dtk=0n-1AA+1qkf(t)dt=AA+1f(t)k=0n-1qkdt

et donc

AA+nf(t)dt11-qAA+1f(t)dt=M.

On en déduit que les intégrales sur [A;A+n] de la fonction positive f sont majorées et donc f est intégrable sur [A;A+[ puis sur [0;+[.

 
Exercice 2  3441   Correction  

Soit f:[0;+[ une fonction continue, positive et décroissante.
On pose g:[0;+[ donnée par

g(x)=f(x)sin(x).

Montrer que les intégrabilités de f et de g sont équivalentes.

Solution

Puisque |g||f|, l’intégrabilité de f entraîne celle de g.
Inversement, supposons g intégrable.
On a

0nπ|f(t)|dt=k=0n-1kπ(k+1)πf(t)dt

avec par décroissance de f

kπ(k+1)πf(t)dtπf(kπ).

Parallèlement

(k-1)πkπ|f(t)||sin(t)|dtf(kπ)0πsin(t)dt=2f(kπ)

donc

kπ(k+1)πf(t)dtπ2(k-1)πkπf(t)|sin(t)|dt.

Ainsi,

0nπ|f(t)|dt0πf(t)dt+0(n-1)πf(t)|sin(t)|dt

et donc

0nπ|f(t)|dt0πf(t)dt+0+|g(t)|dt.

On peut alors affirmer que les intégrales de |f| sur les segments inclus dans [0;+[ sont majorées ce qui signifie que la fonction f est intégrable sur [0;+[.

 
Exercice 3  3206     ENTPECorrection  

Soit f:[1;+[ continue vérifiant

x,a1, 0f(x)ax2+1a2.

La fonction f est-elle intégrable sur [1;+[?

Solution

Pour a=xα avec α>0, on obtient

0f(x)1x2-α+1x2α.

En prenant α=2/3,

0f(x)2x4/3

et donc, par comparaison de fonctions positives, f est intégrable sur [1;+[.

 
Exercice 4  5360   Correction  

(Inégalité de Hardy)

Soit f:[0;+[ une fonction continue de carré intégrable sur [0;+[.

Pour x>0, on pose

g(x)=1x0xf(t)dt.
  • (a)

    Montrer que g peut être prolongée par continuité en 0.

  • (b)

    Soit A[0;+[. Établir

    0Ag2(x)dx20Af(x)g(x)dx
  • (c)

    En déduire que la fonction g2 est intégrable sur ]0;+[ avec

    0+g2(x)dx40+f2(x)dx.
  • (d)

    Montrer que fg est intégrable sur ]0;+[ et

    0+g2(x)dx=20+f(x)g(x)dx.

Solution

  • (a)

    Introduisons F la primitive de f s’annulant en 0.

    g(x)=F(x)x=F(x)-F(0)xx0+F(0)=f(0).

    La fonction g est prolongeable par continuité en 0.

  • (b)

    Par prolongement continue, g est intégrable au voisinage de 0: on peut considérer les intégrales proposées.

    Soit A+*. On réalise une intégration par parties sur ]0;A] avec les fonctions u et v de classe 𝒞1 déterminées par

    u(x)=-1xetv(x)=F2(x).

    Le produit uv admet une limite finie en la borne 0 car

    -1xF2(x)=-g(x)f(0)F(x)0x0+0.

    La formule d’intégration par parties généralisée donne alors

    0Ag2(x)dx =0A1x2F2(x)dx=[-1xF2(x)]0A+20Af(x)F(x)xdx
    =20Af(x)g(x)dx-1AF2(A)20Af(x)g(x)dx.

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz (), on poursuit

    (0Ag2(x)dx)2(20Af(x)g(x)dx)24(0Af2(x)dx)(0Ag2(x)dx).

    Que le premier membre soit nul ou non, on peut affirmer

    0Ag2(x)dx40Af2(x)dx40+f2(x)dx.
  • (c)

    Les intégrales partielles de la fonction positive g2 sont majorées, cette fonction est donc intégrable sur ]0;+[ et l’inégalité proposée est vérifiée par passage à la limite.

  • (d)

    La fonction fg est intégrable sur ]0;+[ car c’est le produit de deux fonctions de carrés intégrables11 1 Cette affirmation se justifie aisément par la domination |fg|12(f2+g2).. Par l’intégration par parties qui précède, on a

    F2(A)A =20Af(x)g(x)dx-0Ag2(x)dx
    A+20+f(x)g(x)dx-0+g2(x)dx=.

    Si par l’absurde la limite est non nulle, il vient

    g2(x)=F2(x)x1xx+x

    ce qui contredit l’intégrabilité de g2. On en déduit =0 ce qui produit l’égalité demandée.

 
Exercice 5  3443   Correction  

Soit f:[0;+[ de classe 𝒞1 et vérifiant f(0)=0.

  • (a)

    Établir

    x>0,0x(f(t)t)2dt20xf(t)f(t)tdt

    en justifiant l’existence des intégrales écrites.

  • (b)

    On suppose que f est de carré intégrable sur [0;+[. Établir

    0+(f(t)t)2dt40+(f(t))2dt

    avec existence de l’intégrale en premier membre.

Solution

  • (a)

    On a

    f(t)t=f(t)-f(0)tt0f(0).

    La fonction tf(t)/t peut donc se prolonger par continuité en 0 ce qui assure l’existence des intégrales écrites.

    Par intégration par parties généralisée,

    0x(f(t)t)2dt =[-(f(t))2t]0x+20xf(t)f(t)tdt
    =-(f(x))2x+20xf(t)f(t)tdt

    et l’inégalité affirmée est désormais évidente.

  • (b)

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    (0x(f(t)t)2dt)24(0x(f(t)t)2dt)(0x(f(t))2dt).

    Que le premier membre soit nul ou non, il vient

    0x(f(t)t)2dt40x(f(t))2dt40+(f(t))2dt.

    La fonction intégrée étant positive, on peut conclure à l’inégalité voulue avec existence du premier membre.

 
Exercice 6  1770     CCP (MP)Correction  

Soit g définie sur +* par

g(x)=1x0xf(t)dt

f est continue, de carré intégrable sur +.

  • (a)

    Étudier le prolongement par continuité de g en 0.

  • (b)

    Exprimer g(x) en fonction de f(x) et de g(x) pour x>0.

  • (c)

    Pour 0<a<b, montrer que

    abg2(t)dt=2abf(t)g(t)dt+ag2(a)-bg2(b)

    puis montrer que

    abg2(t)dt0+f2(t)dt+ag2(a)+0+f2(t)dt.
  • (d)

    Étudier la nature de

    0+g2(t)dt.

Solution

  • (a)

    Soit F une primitive de la fonction continue f. On a

    g(x)=1x(F(x)-F(0))x0+F(0)=f(0).

    Ainsi on peut prolonger g par continuité en 0 en posant g(0)=f(0).

  • (b)

    Soit F une primitive de f (il en existe car f est continue).
    On a

    g(x)=1x(F(x)-F(0)).

    On en déduit que g est dérivable sur +* et

    g(x)=-1x2(F(x)-F(0))+f(x)x=f(x)-g(x)x.
  • (c)

    Par intégration par parties

    abg2(t)dt=[tg2(t)]ab-2abtg(t)g(t)dt

    donc

    abg2(t)dt=[tg2(t)]ab-2ab(f(t)-g(t))g(t)dt

    puis la relation proposée.
    On en déduit par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

    abg2(t)dt2abf2(t)dtabg2(t)dt+ag2(a)

    puis

    abg2(t)dt-2abf2(t)dtabg2(t)dtag2(a)

    en ajoutant un même terme de part et d’autre

    (abg2(t)dt-abf2(t)dt)2ag2(a)+abf2(t)dt

    puis par la croissance de la fonction racine carrée

    abg2(t)dt-abf2(t)dt |abg2(t)dt-abf2(t)dt|
    ag2(a)+abf2(t)dt

    et enfin

    abg2(t)dt 0bf2(t)dt+ag2(a)+0bf2(t)dt
    0+f2(t)dt+ag2(a)+0+f2(t)dt.
  • (d)

    En faisant tendre a vers 0, on obtient

    0bg2(t)dt20+f2(t)dt

    et l’on en déduit que la fonction g2 est intégrable sur + car les intégrales de g2 sur les segments inclus dans + sont majorées.

 
Exercice 7  3053      X (MP)

(Inégalité de Kolmogorov)

Soit f: une fonction de classe 𝒞2 telle que f et f′′ sont de carrés intégrables sur . Montrer que f est de carré intégrable sur et établir

(-+f 2)2(-+f2)(-+f′′ 2).

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Édité le 08-11-2019

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