[<] Intégration par parties [>] Intégrales seulement convergentes
Pour , calculer
Pour , on pose
Justifier l’existence de l’intégrale définissant .
Établir que pour tout
En déduire une expression de à l’aide de nombres factoriels.
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur . Elle y est aussi intégrable car
Pour , on obtient par intégration par parties généralisée
Parallèlement,
et donc .
Il vient alors la relation de récurrence
Un calcul direct donne et donc
Pour , calculer
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur . Elle y est aussi intégrable car
Pour , on obtient par intégration par parties généralisée
En écrivant
il vient la relation de récurrence
Un calcul direct donne et donc
Pour , calculer
Existence et calcul pour de
Solution
est définie et continue sur et
La fonction est donc intégrable en : l’intégrale étudiée converge.
Pour ,
Par intégration par parties généralisée,
On obtient ainsi
Puisque
on conclut
Déterminer un équivalent lorsque tend vers de
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur . Elle y est intégrable car
Par intégration par parties généralisées où l’on intègre en , on obtient
Par sommation géométrique,
On en déduit
Pour , on pose
Prouver la convergence de l’intégrale définissant .
Établir
Déterminer la nature de la série .
En déduire la limite de .
Donner la nature de .
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Puisque
la fonction est intégrable sur et l’intégrale définissant converge.
On réalise une intégration par parties généralisée avec
Les fonctions et de classe sur et le produit tend vers en . La formule d’intégration par parties donne
avec convergence de l’intégrale introduite. En écrivant , on obtient
ce qui donne la relation voulue.
On remarque
Par équivalence de séries à termes positifs, la série diverge.
Plus précisément, les sommes partielles de la série tendent vers . Or il s’agit d’une série télescopique. On en déduit que la suite tend vers . La suite est donc de limite nulle.
Soit . Pour tout ,
Par croissance de l’intégrale,
Aussi, la suite est évidemment positive (on a déjà introduit son logarithme…) et l’on peut appliquer le critère spécial des séries alternées pour affirmer que la série converge.
Pour avec , on pose
Déterminer une suite de fonctions telle que
Déterminer deux réels et tels que
Solution
Notons que l’intégrale est bien définie.
On découpe l’intégrale en deux
On réalise le changement de variable sur la deuxième intégrale
puis on combine les deux intégrales pour obtenir
On peut écrire
D’une part,
ce qui donne par intégration par parties
avec
D’autre part,
avec par intégration par parties généralisée
où, sachant ,
On en déduit
Pour , on considère
Montrer l’existence de l’intégrale définissant .
Vérifier que la suite est décroissante et à termes strictement positifs.
Soit . Déterminer des réels et telles que
En déduire
Pour , on pose et .
Vérifier que les suites et sont adjacentes.
Conclure qu’il existe une constante telle que
Solution
Soit . On observe
Par équivalence à une fonction de Riemann intégrable en , est intégrable en . On en déduit que l’intégrale définissant converge.
Pour ,
Par croissance de l’intégrale,
La suite est décroissante.
La fonction est continue positive sur sans être la fonction identiquement nulle donc .
Par dérivation d’un produit puis réécriture quelque peu astucieuse,
avec et .
Par intégration sur avec convergence des intégrales
avec
On en tire
Pour , et
On remarque
Pour , et
On remarque
Enfin,
avec
et est convergente car décroissante et minorée. On a donc par produit de limites
La suite est décroissante, la suite est croissante et la différence tend vers : les deux suites sont adjacentes.
Notons la limite commune aux suites et . Celle-ci est assurément supérieure à et donc strictement positive.
La propriété donne directement
On pose
Calculer .
Former une relation de récurrence engageant et .
Établir qu’il existe tel que
Solution
La fonction est définie et continue sur .
Puisque , la fonction est intégrable sur et l’intégrale définissant converge.
Via une décomposition en éléments simples, on obtient
On écrit
On opère une intégration par parties avec convergence du crocher pour obtenir
On pose .
donc la série de terme général converge et donc la suite de terme général converge vers une certain réel . En posant , on obtient donc .
Pour , on pose
où représente la partie entière de .
Justifier la bonne définition de la suite .
Montrer que pour tout
En déduire une nouvelle expression intégrale de .
On pose
Montrer la convergence de la série de terme général
En déduire un équivalent de .
Solution
La fonction
est définie et continue par morceaux sur .
Quand ,
Quand ,
On en déduit que est intégrable sur .
On remarque que
et l’on en déduit
Par linéarité de l’intégrale et changement de variable, on obtient
Enfin par la relation de Chasles
Puisque
on obtient quand
Par suite,
puis
Par développement limité, on obtient
On en déduit que la série de terme général
Posons
On a
donc
Sachant
on obtient
puis
Soit . Déterminer les limites des suites
Calculer, pour ,
On procédera par récurrence.
En déduire la valeur de
Étudier la limite puis un équivalent de
Solution
On obtient (cf. lemme de Lebesgue).
Posons
Cette intégrale existe car un prolongement par continuité est possible en .
On observe
et donc
La suite est constante égale à
On a
avec
qui se prolonge en une fonction de classe sur .
Ainsi,
Or
donc la convergence de l’intégrale de Dirichlet étant supposée connue, on obtient
On a
Par intégration par parties,
La fonction se prolonge en une fonction de classe sur .
Par intégration par parties,
La fonction étant de classe sur , on a
et donc
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Édité le 21-09-2023
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