[<] Études théoriques d'intégrabilité [>] Intégrabilité et comportement asymptotique

 
Exercice 1  5328  Correction  

Déterminer en fonction du réel x la nature de

01tx-1t-1dt.

Solution

Posons fx:ttx-1t-1 définie et continue par morceaux sur ]0;1[. Cette fonction est de signe constant, la convergence de l’intégrale équivaut à l’intégrabilité de la fonction.

Cas: x=0. On intègre la fonction nulle: l’intégrale converge.

Cas: x>0.

fx(t)t0+1etfx(t)t1-x(t-1)t-1t1-x.

L’intégrale est faussement généralisée aux deux bornes, elle converge.

Cas: x<0.

fx(t)t0+1t-x

La fonction fx est intégrable au voisinage de 0 si, et seulement si, x>-1.

L’étude de la borne 1 est identique à celle menée dans le cas précédent.

Bilan: l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, x>-1.

 
Exercice 2  5327   Correction  

En fonction de x, préciser la nature de

01tx-1ln(t)dt.

Solution

Posons fx:ttx-1ln(t) définie et continue par morceaux sur ]0;1[. Cette fonction est de signe constant, la convergence de l’intégrale équivaut à l’intégrabilité de la fonction.

Cas: x=0. On intègre la fonction nulle: l’intégrale converge.

Cas: x>0.

fx(t)t0+-1ln(t)t0+0etfx(t)t1-x(t-1)t-1t1-x.

L’intégrale est faussement généralisée aux deux bornes, elle converge.

Cas: x<0.

fx(t)t0+1t-xln(t)=o(1t-x).

Si x>-1, la fonction fx est intégrable.

Si x=-1, t1tln(t) n’est pas intégrable sur ]0;1] car de primitive 12(ln(t))2 qui présente une limite infinie en 0. La fonction f-1 n’est alors pas intégrable au voisinage de 0.

Si x<-1, f-1 est dominée par fx en 0, la fonction fx n’est pas intégrable au voisinage de 0.

L’étude de la borne 1 est identique à celle menée dans le cas précédent.

Bilan: l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, x>-1 (et celle-ci vaut ln(x+1) mais c’est une autre histoire…)

 
Exercice 3  5402   Correction  

En fonction du réel x>0, préciser la nature de

1+ln(t)tx-1dt.

Solution

Posons fx:ttx-1ln(t) définie et continue par morceaux sur ]1;+[. Cette fonction étant positive, la convergence de l’intégrale équivaut à l’intégrabilité de la fonction.

D’une part,

fx(t)t1+t-1tx-1t0+1x.

L’intégrale est faussement généralisé en 0.

D’autre part,

fx(t)t+ln(t)tx.

Cas: x>1. On introduit α]1;x[ et l’on a

tαfx(t)t0+ln(t)tx-αt+0.

La fonction fx est intégrable sur ]1;+[.

Cas: x1. On remarque

tfx(t)t++ donc 1t=t+o(f(t)).

La fonction fx n’est pas intégrable sur ]1;+[.

En bilan, l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, x>1.

 
Exercice 4  5405  Correction  

En fonction du réel α>0, préciser la nature de

0+arctan(t)tαdt

Solution

f:tarctan(t)tα est définie, continue et positive sur ]0;+[. Étudier la convergence de l’intégrale de f sur ]0;+[ équivaut à étudier l’intégrabilité de f sur ]0;+[

D’une part,

f(t)t0+1tα-1

f est intégrable sur ]0;1] si, et seulement si, α-1<1 c’est-à-dire α<2.

D’autre part,

f(t)t+π/2tα

f est intégrable sur [1;+[ si, et seulement si, α>1.

Finalement, 0+arctan(t)tα est définie si, et seulement si, α]1;2[.

 
Exercice 5  660  Correction  

Énoncer une condition nécessaire et suffisante sur α pour l’existence de

0+t-sin(t)tαdt.

Solution

f:tt-sin(t)tα est définie, continue et positive sur ]0;+[. Étudier la convergence de l’intégrale de f sur ]0;+[ équivaut à étudier l’intégrabilité de f sur ]0;+[

D’une part,

f(t)t0+16tα-3

f est intégrable sur ]0;1] si, et seulement si, α-3<1 c’est-à-dire α<4.

D’autre part,

f(t)t+1tα-1

f est intégrable sur [1;+[ si, et seulement si, α-1>1 c’est-à-dire α>2.

Finalement, 0+t-sin(t)tαdt est définie si, et seulement si, α]2;4[.

 
Exercice 6  658   

Représenter dans un repère orthonormé du plan, l’ensemble des points M de coordonnées (a,b) pour lesquels l’intégrale considérée converge:

  • (a)

    1+dtta(t-1)b

  • (b)

    0+ta1+tbdt.

 
Exercice 7  659   

(Intégrales de Bertrand11 1 Ce sujet est la transposition au cadre des intégrales du sujet 4915 relatif aux séries.)

Soient α et β deux réels. On étudie la nature de l’intégrale

e+dttα(ln(t))β.
  • (a)

    On suppose α<1. Déterminer la nature de l’intégrale en étudiant la limite quand t croît vers + de

    t×1tα(ln(t))β.
  • (b)

    On suppose α>1. Montrer que l’intégrale étudiée converge.

  • (c)

    On suppose α=1. Par un changement de variable, déterminer la nature de

    e+dtt(ln(t))β.
 
Exercice 8  3705      CCP (MP)Correction  
  • (a)

    a désigne un réel strictement supérieur à -1. En posant x=tan(t), montrer

    0π/2dt1+asin2(t)=π21+a.
  • (b)

    Donner en fonction de α>0, la nature de la série

    0πdt1+(nπ)αsin2(t).
  • (c)

    Même question pour

    nπ(n+1)πdt1+tαsin2(t).
  • (d)

    Donner la nature de l’intégrale

    0+dt1+tαsin2(t).

Solution

  • (a)

    L’intégrale étudiée est bien définie pour a>-1 en tant qu’intégrale d’une fonction définie et continue sur le segment [0;π/2]. Par le changement de variable proposé, qui est 𝒞1 strictement monotone, on obtient

    0π/2dt1+asin2(t)=0+dx1+(1+a)x2.

    En considérant u=x1+a, on détermine une primitive de la fonction intégrée

    0+dx1+(1+a)x2=[11+aarctan(1+ax)]0+.

    Finalement,

    0π/2dt1+asin2(t)=π21+a.
  • (b)

    Par la symétrie du graphe de fonction sinus en π/2, on peut directement affirmer

    0πdt1+(nπ)αsin2(t)=20π/2dt1+(nπ)αsin2(t).

    Le calcul qui précède donne alors

    0πdt1+(nπ)αsin2(t)=π1+(nπ)απ1-α/2nα/2.

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée converge si, et seulement si, α>2.

  • (c)

    Pour t[nπ;(n+1)π], on a

    1+(nπ)αsin2(t)1+tαsin2(t)1+((n+1)π)αsin2(t).

    Puis en passant à l’inverse et en intégrant, on obtient l’encadrement

    nπ(n+1)πdt1+((n+1)π)αsin2(t)nπ(n+1)πdt1+tαsin2(t)nπ(n+1)πdt1+(nπ)αsin2(t).

    Par comparaison de séries à termes positifs, la convergence de la série étudiée équivaut à la convergence de la série précédente. La condition attendue est donc encore α>2.

  • (d)

    Les sommes partielles de la série étudiée ci-dessus correspondent aux intégrales suivantes

    0nπdt1+tαsin2(t).

    La fonction intégrée étant positive et la suite de segments [0;nπ] étant croissante et de réunion +, la convergence de l’intégrale proposée entraîne la convergence de la série et inversement. On conclut que l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, α>2.

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Édité le 08-11-2019

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