[<] Études théoriques d'intégrabilité [>] Intégrabilité et comportement asymptotique
Soit . Étudier la nature de
Solution
Cas: . La fonction est définie et continue par morceaux sur l’intervalle et l’on a
Par équivalence de fonctions positives, l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, , c’est-à-dire si, et seulement si, .
Cas: . L’intégrale de la fonction sur diverge.
Cas: . La fonction est définie et continue par morceaux sur .
On a
La fonction se prolonge par continuité en , son intégrale sur converge.
Aussi,
Par équivalence de fonctions positives, l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, , c’est-à-dire si, et seulement si, .
En résumé, l’intégrale étudiée converge si, et seulement si,
Déterminer en fonction du réel la nature de
Solution
Posons définie et continue par morceaux sur . Cette fonction est de signe constant, la convergence de l’intégrale équivaut à l’intégrabilité de la fonction.
Cas: . On intègre la fonction identiquement nulle: l’intégrale converge.
Cas: .
L’intégrale est faussement généralisée aux deux bornes, elle converge.
Cas: .
La fonction est intégrable au voisinage de si, et seulement si, .
L’étude de la borne est identique à celle menée dans le cas précédent.
En résumé, l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, .
En fonction de , préciser la nature de
Solution
Posons définie et continue par morceaux sur . Cette fonction est de signe constant, la convergence de l’intégrale équivaut à l’intégrabilité de la fonction.
Cas: . On intègre la fonction nulle: l’intégrale converge.
Cas: .
L’intégrale est faussement généralisée aux deux bornes, elle converge.
Cas: .
Si , la fonction est intégrable.
Si , n’est pas intégrable sur car de primitive qui présente une limite infinie en . La fonction n’est alors pas intégrable au voisinage de .
Si , est dominée par en , la fonction n’est pas intégrable au voisinage de .
L’étude de la borne est identique à celle menée dans le cas précédent.
Bilan: l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, (et celle-ci vaut mais c’est une autre histoire…)
En fonction du réel , préciser la nature de
Solution
Posons définie et continue par morceaux sur . Cette fonction étant positive, la convergence de l’intégrale équivaut à l’intégrabilité de la fonction.
D’une part,
L’intégrale est faussement généralisé en .
D’autre part,
Cas: . On introduit et l’on a
La fonction est intégrable sur .
Cas: . On remarque
La fonction n’est pas intégrable sur .
En bilan, l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, .
En fonction du réel , préciser la nature de l’intégrale suivante
Solution
est définie, continue et positive sur . Étudier la convergence de l’intégrale de sur équivaut à étudier l’intégrabilité de sur
D’une part,
est intégrable sur si, et seulement si, c’est-à-dire .
D’autre part,
est intégrable sur si, et seulement si, .
Finalement, est définie si, et seulement si, .
En fonction du réel , préciser la nature de l’intégrale suivante
Solution
est définie, continue et positive sur . Étudier la convergence de l’intégrale de sur équivaut à étudier l’intégrabilité de sur
D’une part,
est intégrable sur si, et seulement si, c’est-à-dire .
D’autre part,
est intégrable sur si, et seulement si, c’est-à-dire .
Finalement, est définie si, et seulement si, .
Représenter dans un repère orthonormé du plan l’ensemble des points de coordonnées pour lesquels l’intégrale considérée converge:
.
(Intégrales de Bertrand11 1 Ce sujet est la transposition au cadre des intégrales du sujet 4915 relatif aux séries.)
Soient et deux réels. On étudie la nature de l’intégrale
On suppose . Déterminer la nature de l’intégrale en étudiant la limite quand croît vers de
On suppose . Montrer que l’intégrale étudiée converge.
On suppose . Par un changement de variable, déterminer la nature de
Déterminer en fonction la nature de
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur . C’est une fonction positive et son intégrabilité équivaut à la convergence de l’intégrale étudiée.
Cas: .
La fonction est donc intégrable sur si, et seulement si, et .
Cas: . n’est pas intégrable sur
Cas: .
La fonction est donc intégrable sur si, et seulement si, et .
désigne un réel strictement supérieur à . En posant , montrer
Donner en fonction de , la nature de la série
Même question pour
Donner la nature de l’intégrale
Solution
L’intégrale étudiée est bien définie pour en tant qu’intégrale d’une fonction définie et continue sur le segment . Par le changement de variable proposé, qui est strictement monotone, on obtient
En considérant , on détermine une primitive de la fonction intégrée
Finalement,
Par la symétrie du graphe de fonction sinus en , on peut directement affirmer
Le calcul qui précède donne alors
Par équivalence de séries à termes positifs, la série étudiée converge si, et seulement si, .
Pour , on a
Puis en passant à l’inverse et en intégrant, on obtient l’encadrement
Par comparaison de séries à termes positifs, la convergence de la série étudiée équivaut à la convergence de la série précédente. La condition attendue est donc encore .
Les sommes partielles de la série étudiée ci-dessus correspondent aux intégrales suivantes
La fonction intégrée étant positive et la suite de segments étant croissante et de réunion , la convergence de l’intégrale proposée entraîne la convergence de la série et inversement. On conclut que l’intégrale étudiée converge si, et seulement si, .
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Édité le 29-08-2023
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