[>] Études théoriques d'intégrabilité

 
Exercice 1  4701  

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

  • (a)

    1+(t-1)sin(1t)dt

  • (b)

    0+t+1t4+1dt

  • (c)

    0+tt2+1dt

  • (d)

    0+e-t2dt

  • (e)

    1+ln(t)t(1+t)dt

  • (f)

    1+ln(t)t+1dt.

 
Exercice 2  4702  

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

  • (a)

    011+t-1tdt

  • (b)

    011et-1dt

  • (c)

    01ln(1+t)t3/2dt

  • (d)

    01ln(t)dt

  • (e)

    01ln(t)ln(1+t)dt.

 
Exercice 3  4703  

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

  • (a)

    1eln(t)t-1dt

  • (b)

    -10dt1+t3

  • (c)

    01dt1-t2.

 
Exercice 4  657  

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

  • (a)

    01dt(1-t)t

  • (b)

    0+ln(t)e-tdt

  • (c)

    0+tet-1dt

  • (d)

    0+ln(1+t)t3/2dt

  • (e)

    0+sin(1t2)dt.

 
Exercice 5  2349  Correction  

Étudier l’existence des intégrales suivantes:

  • (a)

    0+te-t1+t2dt

  • (b)

    01ln(t)(1-t)3dt

  • (c)

    0+dtet-1

  • (d)

    0+e-(ln(t))2dt

  • (e)

    0+e-tarctan(t)dt

  • (f)

    0+(t+2-t2+4t+1)dt.

Solution

On notera f la fonction intégrée et I l’intervalle d’étude, à chaque fois f s’avère continue par morceaux sur I.

  • (a)

    I=[0;+[, t2f(t)t+0 donc f est intégrable et 0+te-t1+t2dt converge.

  • (b)

    I=]0;1[, tf(t)t0+0 et ln(t)(1-t)3=t=1-uln(1-u)u3/2-1u donc f est intégrable et 01ln(t)(1-t)3dt converge

  • (c)

    I=]0;+[, 1et-1t0+1t donc f n’est pas intégrable au voisinage de 0. Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l’intégrale diverge.

  • (d)

    I=]0;+[, f(t)t0+0 et t2f(t)=e2ln(t)-(ln(t))2=eln(t)(2-ln(t))t+0 donc f est intégrable et 0+e-(ln(t))2dt converge.

  • (e)

    I=[0;+[, t2f(t)=e2ln(t)-tarctan(t)t+0 donc f est intégrable et 0+e-tarctan(t)dt converge.

  • (f)

    I=[0;+[.
    Quand t+,

    f(t)=t+2-t1+4t+1t2=t+2-t(1+2t+12t2-2t2+O(1/t3))32t

    f n’est pas intégrable en +. Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l’intégrale diverge.

 
Exercice 6  3221  Correction  

Étudier l’existence de

0+ln(th(t))dt.

Solution

La fonction f:tln(th(t)) est définie et continue par morceaux sur ]0;+[.
Quand t0+, th(t)t01 donc ln(th(t))ln(t) puis tln(th(t))tln(t)0.
Quand t+, th(t)=1-2e2t+1 donc ln(th(t))-2e-2t puis t2ln(th(t))0.
On en déduit que f est intégrable sur ]0;+[.

 
Exercice 7  3385    CCP (PSI)Correction  
  • (a)

    Étudier l’intégrabilité sur ]1;+[ de

    f(x)=ln(x)(x-1)x.
  • (b)

    Montrer

    23f(x)dxln(3)2.

Solution

  • (a)

    La fonction f est définie et continue par morceaux sur ]1;+[.
    Quand x1+,

    f(x)(x-1)(x-1)=1x-1

    et quand x+,

    f(x)ln(x)x3/2=o(1x1,0001)

    donc f est intégrable sur ]1;+[.

  • (b)

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    23ln(x)(x-1)xdx(23dx(x-1)2)1/2(23ln(x)xdx)1/2.

    En calculant les intégrales introduites

    23ln(x)(x-1)xdx(1-12)1/2(12((ln(3))2-(ln(2))2))1/2ln(3)2.
 
Exercice 8  183     MINES (PC)

Étudier l’intégrabilité sur ]0;1] de

f:x1xettdt.
 
Exercice 9  661   Correction  

Montrer que les fonctions tsin(t) et tsin(t)t ne sont pas intégrables sur [0;+[.

Solution

On a

0nπ|sin(t)|dt=k=1n(k-1)πkπ|sin(t)|dt=n0πsin(t)dt=2n+

et donc tsin(t) n’est pas intégrable sur [0;+[.
La fonction tsin(t)t est prolongeable par continuité en 0 et c’est ce prolongement que l’on considère pour étudier son intégrabilité sur [0;+[.

0nπ|sin(t)|tdt=k=1n(k-1)πkπ|sin(t)|tdt.

Or pour k>1,

(k-1)πkπ|sin(t)|tdt(k-1)πkπ|sin(t)|kπdt2kπ

donc

0nπ|sin(t)|tdtk=1n2kπ=2πk=1n1k+.
 
Exercice 10  3442   Correction  

Soit f:[0;1] donnée par

f(x)=x2cos(1/x2) si x]0;1] et f(0)=0.

Montrer que f est dérivable sur [0;1] mais que sa dérivée f n’est pas intégrable sur ]0;1].

Solution

f est évidement dérivable sur ]0;1] avec

f(x)=2xcos(1x2)+2xsin(1x2)

et puisque

f(x)-f(0)x=xcos(1x2)x0+0

f est aussi dérivable en 0 avec f(0)=0.
La fonction xxcos(1/x2) est intégrable sur ]0;1] car bornée.
En revanche, la fonction g:xsin(1/x2)/x n’est pas intégrable sur ]0;1]. En effet, par le changement de variable 𝒞1 bijectif t=1/x2, l’ intégrabilité de g sur ]0;1] équivaut à l’intégrabilité sur [1;+[ de
tsin(t)/t et cette dernière est connue comme étant fausse.
On en déduit que f n’est pas intégrable sur ]0;1].

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Édité le 08-11-2019

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