Exercice 1 5496 Correction

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}} d t$
(b)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{e^{t}}{e^{3 t} + 1} d t$
(c)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{1 + \sqrt{t}}$ .

Solution

(a)

La fonction $f : t \mapsto \frac{2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ est définie et continue par morceaux sur $[0; + \infty [$ . Par quotient d’équivalents,

$\frac{t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}} \underset{t \to + \infty}{\sim} \frac{2}{t^{3}}$

La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^{3}}$ est intégrable en $+ \infty$ donc $f$ aussi: l’intégrale étudiée converge.
(b)

La fonction $f : t \mapsto \frac{e^{t}}{e^{3 t} + 1}$ est définie et continue par morceaux sur $[0; + \infty [$ . On remarque

$\frac{e^{t}}{e^{3 t} + 1} \underset{t \to + \infty}{\sim} \frac{e^{t}}{e^{3 t}} = e^{- 2 t}$

La fonction $t \mapsto e^{- 2 t}$ est intégrable en $+ \infty$ donc $f$ aussi: l’intégrale étudiée converge. donc

$\frac{1}{e^{t} + 1} \underset{t \to + \infty}{=} o (\frac{1}{t^{2}})$

La fonction $t \mapsto \frac{1}{t^{2}}$ est intégrable en $+ \infty$ donc $f$ aussi: l’intégrale étudiée converge.
(c)

La fonction $t \mapsto \frac{1}{1 + \sqrt{t}}$ est définie et continue par morceaux sur $[0; + \infty [$ . On a

$\frac{1}{1 + \sqrt{t}} \underset{t \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{t}}$

La fonction $t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ n’est pas intégrable en $+ \infty$ donc $f$ ne l’est pas non plus. Or $f$ est une fonction positive donc l’intégrale étudiée diverge.

Exercice 2 4701

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

(a)

$\int_{1}^{+ \infty} (t - 1) \sin (\frac{1}{t}) d t$
(b)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t + 1}{t^{4} + 1} d t$
(c)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{t^{2} + 1} d t$
(d)

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- t^{2}} d t$
(e)

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln (t)}{t (1 + t)} d t$
(f)

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{\ln (t)}{t + 1} d t$ .

Exercice 3 5497 Correction

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{(t + 2) \sqrt{t}}$
(b)

$\int_{0}^{1} \frac{t}{\sqrt{1 + t} - 1} d t$
(c)

$\int_{0}^{1} \ln (e^{t} - 1) d t$ .

Solution

(a)

La fonction $f : t \mapsto \frac{1}{(t + 2) \sqrt{t}}$ est définie et continue par morceaux sur $] 0; 1]$ . On a

$\frac{1}{(t + 2) \sqrt{t}} \underset{t \to 0^{+}}{\sim} \frac{1}{2 \sqrt{t}}$

La fonction $t \mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est intégrable en $0^{+}$ donc $f$ aussi: l’intégrale étudiée converge.
(b)

La fonction $f : t \mapsto \frac{t}{\sqrt{1 + t} - 1}$ est définie et continue par morceaux sur $] 0; 1]$ . Par développement limité,

$\frac{t}{\sqrt{1 + t} - 1} \underset{t \to 0^{+}}{=} \frac{t}{1 + \frac{1}{2} t + o (t) - 1} = \frac{t}{\frac{1}{2} t + o (t)} \to_{t \to 0^{+}}^{} 2 .$

L’intégrale est faussement généralisée, elle converge.
(c)

La fonction $f : t \mapsto \ln (e^{t} - 1)$ est définie et continue par morceaux sur $] 0; 1]$ . Par développement limité,

$\ln (e^{t} - 1) = \ln (1 + t + o (t) - 1) = \ln (t + o (t)) \underset{t \to 0^{+}}{\sim} \ln (t)$

La fonction $t \mapsto \ln (t)$ est intégrable en $0$ donc $f$ aussi: l’intégrale étudiée converge.

Exercice 4 4702

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 + t} - 1}{t} d t$
(b)

$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^{t} - 1} d t$
(c)

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + t)}{t^{3 / 2}} d t$
(d)

$\int_{0}^{1} \ln (t) d t$
(e)

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (t)}{\ln (1 + t)} d t$ .

Exercice 5 4703

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

(a)

$\int_{1}^{e} \frac{\ln (t)}{t - 1} d t$
(b)

$\int_{- 1}^{0} \frac{d t}{\sqrt{1 + t^{3}}}$
(c)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{1 - t^{2}}$ .

Exercice 6 657

Déterminer la nature des intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t}{e^{t} - 1} d t$
(b)

$\int_{0}^{+ \infty} \ln (t) e^{- t} d t$
(c)

$\int_{0}^{1} \frac{d t}{(1 - t) \sqrt{t}}$
(d)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{\ln (1 + t)}{t^{3 / 2}} d t$
(e)

$\int_{0}^{+ \infty} \sin (\frac{1}{t^{2}}) d t$ .

Exercice 7 2349 Correction

Étudier l’existence des intégrales suivantes:

(a)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{t e^{- \sqrt{t}}}{1 + t^{2}} d t$
(b)

$\int_{0}^{1} \frac{\ln (t)}{\sqrt{{(1 - t)}^{3}}} d t$
(c)

$\int_{0}^{+ \infty} \frac{d t}{e^{t} - 1}$
(d)

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- {(\ln (t))}^{2}} d t$
(e)

$\int_{0}^{+ \infty} e^{- t \arctan (t)} d t$
(f)

$\int_{0}^{+ \infty} (t + 2 - \sqrt{t^{2} + 4 t + 1}) d t$ .

Solution

On notera $f$ la fonction intégrée et $I$ l’intervalle d’étude, à chaque fois $f$ s’avère continue par morceaux sur $I$ .

(a)

$I = [0; + \infty [$ , $t^{2} f (t) \to_{t \to + \infty}^{} 0$ donc $f$ est intégrable et $\int_{0}^{+ \infty} \frac{t e^{- \sqrt{t}}}{1 + t^{2}} d t$ converge.
(b)

$I =] 0; 1 [$ , $\sqrt{t} f (t) \to_{t \to 0 +}^{} 0$ et $\frac{\ln (t)}{\sqrt{{(1 - t)}^{3}}} \underset{t = 1 - u}{=} \frac{\ln (1 - u)}{u^{3 / 2}} \sim - \frac{1}{\sqrt{u}}$ donc $f$ est intégrable et $\int_{0}^{1} \frac{\ln (t)}{\sqrt{{(1 - t)}^{3}}} d t$ converge
(c)

$I =] 0; + \infty [$ , $\frac{1}{e^{t} - 1} \underset{t \to 0^{+}}{\sim} \frac{1}{t}$ donc $f$ n’est pas intégrable au voisinage de 0. Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l’intégrale diverge.
(d)

$I =] 0; + \infty [$ , $f (t) \to_{t \to 0^{+}}^{} 0$ et $t^{2} f (t) = e^{2 \ln (t) - {(\ln (t))}^{2}} = e^{\ln (t) (2 - \ln (t))} \to_{t \to + \infty}^{} 0$ donc $f$ est intégrable et $\int_{0}^{+ \infty} e^{- {(\ln (t))}^{2}} d t$ converge.
(e)

$I = [0; + \infty [$ , $t^{2} f (t) = e^{2 \ln (t) - t \arctan (t)} \to_{t \to + \infty}^{} 0$ donc $f$ est intégrable et $\int_{0}^{+ \infty} e^{- t \arctan (t)} d t$ converge.
(f)

$I = [0; + \infty [$ .
Quand $t \to + \infty$ ,

$f (t) = t + 2 - t \sqrt{1 + \frac{4}{t} + \frac{1}{t^{2}}} = t + 2 - t (1 + \frac{2}{t} + \frac{1}{2 t^{2}} - \frac{2}{t^{2}} + O (1 / t^{3})) \sim \frac{3}{2 t}$

$f$ n’est pas intégrable en $+ \infty$ . Puisque de plus cette fonction est positive, on peut affirmer que l’intégrale diverge.

Exercice 8 3221 Correction

Étudier l’existence de

\int_{0}^{+ \infty} \ln (th (t)) d t .

Solution

La fonction $f : t \mapsto \ln (th (t))$ est définie et continue par morceaux sur $] 0; + \infty [$ .
Quand $t \to 0^{+}$ , $th (t) \sim t \to 0 \neq 1$ donc $\ln (th (t)) \sim \ln (t)$ puis $\sqrt{t} \ln (th (t)) \sim \sqrt{t} \ln (t) \to 0$ .
Quand $t \to + \infty$ , $th (t) = 1 - \frac{2}{e^{2 t} + 1}$ donc $\ln (th (t)) \sim - 2 e^{- 2 t}$ puis $t^{2} \ln (th (t)) \to 0$ .
On en déduit que $f$ est intégrable sur $] 0; + \infty [$ .

Exercice 9 3385 CCINP (PSI)Correction

(a)

Étudier l’intégrabilité sur $] 1; + \infty [$ de

$f (x) = \frac{\sqrt{\ln (x)}}{(x - 1) \sqrt{x}} .$
(b)

Montrer

$\int_{2}^{3} f (x) d x \leq \frac{\ln (3)}{2} .$

Solution

(a)

La fonction $f$ est définie et continue par morceaux sur $] 1; + \infty [$ .
Quand $x \to 1^{+}$ ,

$f (x) \sim \frac{\sqrt{(x - 1)}}{(x - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$

et quand $x \to + \infty$ ,

$f (x) \sim \frac{\sqrt{\ln (x)}}{x^{3 / 2}} = o (\frac{1}{x^{1,0001}})$

donc $f$ est intégrable sur $] 1; + \infty [$ .
(b)

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{(x - 1) \sqrt{x}} d x \leq {(\int_{2}^{3} \frac{d x}{{(x - 1)}^{2}})}^{1 / 2} {(\int_{2}^{3} \frac{\ln (x)}{x} d x)}^{1 / 2} .$

En calculant les intégrales introduites

$\int_{2}^{3} \frac{\sqrt{\ln (x)}}{(x - 1) \sqrt{x}} d x \leq {(1 - \frac{1}{2})}^{1 / 2} {(\frac{1}{2} ({(\ln (3))}^{2} - {(\ln (2))}^{2}))}^{1 / 2} \leq \frac{\ln (3)}{2} .$

Exercice 10 183 MINES (PC)

Étudier l’intégrabilité sur $] 0; 1]$ de

f : x \mapsto \int_{1}^{x} \frac{e^{t}}{t} d t .

Exercice 11 661 Correction

Montrer que les fonctions $t \mapsto \sin (t)$ et $t \mapsto \frac{\sin (t)}{t}$ ne sont pas intégrables sur $[0; + \infty [$ .

Solution

On a

\int_{0}^{n π} | \sin (t) | d t = \sum_{k = 1}^{n} \int_{(k - 1) π}^{k π} | \sin (t) | d t = n \int_{0}^{π} \sin (t) d t = 2 n \to + \infty

et donc $t \mapsto \sin (t)$ n’est pas intégrable sur $[0; + \infty [$ .
La fonction $t \mapsto \frac{\sin (t)}{t}$ est prolongeable par continuité en 0 et c’est ce prolongement que l’on considère pour étudier son intégrabilité sur $[0; + \infty [$ .

\int_{0}^{n π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t = \sum_{k = 1}^{n} \int_{(k - 1) π}^{k π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t .

Or pour $k > 1$ ,

\int_{(k - 1) π}^{k π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t \geq \int_{(k - 1) π}^{k π} \frac{| \sin (t) |}{k π} d t \geq \frac{2}{k π}

donc

\int_{0}^{n π} \frac{| \sin (t) |}{t} d t \geq \sum_{k = 1}^{n} \frac{2}{k π} = \frac{2}{π} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \to + \infty .

Exercice 12 3442 Correction

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ donnée par

f (x) = x^{2} \cos (1 / x^{2}) si x \in] 0; 1] et f (0) = 0 .

Montrer que $f$ est dérivable sur $[0; 1]$ mais que sa dérivée $f^{'}$ n’est pas intégrable sur $] 0; 1]$ .

Solution

$f$ est évidement dérivable sur $] 0; 1]$ avec

f^{'} (x) = 2 x \cos (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{2}{x} \sin (\frac{1}{x^{2}})

et puisque

\frac{f (x) - f (0)}{x} = x \cos (\frac{1}{x^{2}}) \to_{x \to 0^{+}}^{} 0

$f$ est aussi dérivable en 0 avec $f^{'} (0) = 0$ .
La fonction $x \mapsto x \cos (1 / x^{2})$ est intégrable sur $] 0; 1]$ car bornée.
En revanche, la fonction $g : x \mapsto \sin (1 / x^{2}) / x$ n’est pas intégrable sur $] 0; 1]$ . En effet, par le changement de variable $𝒞^{1}$ bijectif $t = 1 / x^{2}$ , l’ intégrabilité de $g$ sur $] 0; 1]$ équivaut à l’intégrabilité sur $[1; + \infty [$ de
$t \mapsto \sin (t) / t$ et cette dernière est connue comme étant fausse.
On en déduit que $f^{'}$ n’est pas intégrable sur $] 0; 1]$ .

[>] Études théoriques d'intégrabilité

Édité le 27-09-2024

Études pratiques d'intégrabilité