[<] Suites d'intégrales [>] Fonctions définies par une intégrale généralisée

 
Exercice 1  3334    CENTRALE (PC)Correction  

Justifier la convergence de l’intégrale

0+sin(et)dt

Solution

Soit x+. Par intégration par parties,

0xsin(et)dt =0xetsin(et)e-tdt
=[-cos(et)e-t]0x-0xcos(et)e-tdt.

D’une part,

cos(ex)e-xx+0

D’autre part, tcos(et)e-t est intégrable sur [0;+] car

t2cos(et)e-tt+0

On en déduit la convergence de l’intégrale

0+sin(et)dt=-0+cos(et)e-tdt.
 
Exercice 2  2383   

(Nature de l’intégrale de Dirichlet)

Dans ce sujet, on étudie la convergence et l’absolue convergence de l’intégrale

I=0+sin(t)tdt.
  • (a)

    Déterminer la limite quand n tend vers l’infini de In=0nπ|sin(t)t|dt.

    La fonction tsin(t)/t est-elle intégrable sur ]0;+[ ?

  • (b)

    Démontrer que l’intégrale définissant I converge tout en établissant l’identité

    0+sin(t)tdt=0+1-cos(t)t2dt.
 
Exercice 3  694   

(Intégrales de Fresnel)

Montrer la convergence des intégrales suivantes:

0+cos(t2)dtet0+sin(t2)dt.
 
Exercice 4  2421     MINES (MP)Correction  

Justifier la convergence de

-+eit2dt.

Solution

Par un argument de parité, il suffit d’établir la convergence de

0+eit2dt=0+2t2teit2dt.

Formellement

0+eit2dt=-+2t2teit2dt=[eit2-12it]0++12i0+eit2-1t2dt

où la primitive de 2teit2 a été choisie de sorte de s’annuler en 0.
Puisque les deux termes en second membre sont convergents, le théorème d’intégration par parties s’applique et assure la convergence de

0+eit2dt.
 
Exercice 5  3414      ENS CachanCorrection  

Trouver un équivalent en + de

f:λ01eiλx2dx.

Solution

Procédons au changement de variable de classe 𝒞1, t=λx

f(λ)=1λ0λeit2dt.

Or par le changement de variable u=t2

0Aeit2dt=120A2eiuudu

puis par intégration par parties

0Aeit2dt=12([eiu-1iu]0A+120A2eiu-1iu3/2du)

et donc

0Aeit2dt=i40A21-eiuu3/2du.

L’intégrale en second membre converge donc

0Aeit2dtA+C.

De plus, la partie imaginaire de C est strictement positive en vertu de l’expression intégrale précédente, donc

f(λ)λ+Cλ.

Le calcul explicite de C est difficile, cf. intégrale de Fresnel.

 
Exercice 6  5047      X (PSI)

Soit α>0. Étudier la nature de

0+eixαdx.
 
Exercice 7  3178   Correction  

Soit f:[0;+[ une fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale

0+f(t)sin(t)dt.

Solution

Commençons par étudier la convergence de la suite (Sn) de terme général

Sn=0nπf(t)sin(t)dt.

Par la relation de Chasles, on peut découper l’intégrale

Sn=k=0n-1kπ(k+1)πf(t)sin(t)dt.

Par translation de la variable

kπ(k+1)πf(t)sin(t)dt=0πf(t+kπ)sin(t+kπ)dt=(-1)kvk

avec

vk=0πf(t+kπ)sin(t)dt.

Puisque f est positive, la suite (vk) est à termes positifs.
Puisque f est décroissante, la suite (vk) est décroissante.
Enfin, puisque f tend vers 0 en + et puisque

0vkf(kπ)π

la suite (vn) tend vers 0.
Par le critère spécial des séries alternées, on obtient que la série de terme général (-1)kvk converge, autrement dit, que la suite (Sn) converge. Notons S sa limite.
Soit X0. En notant nX la partie entière de X/π, on peut écrire

0Xf(t)sin(t)dt=SnX+nXπXf(t)dt

avec

0nXπXf(t)dtnXπXf(nXπ)dt=f(nXπ)(X-nXπ)f(nXπ)π.

Quand X+, on a nX+, SnXS et par l’encadrement qui précède

nXπXf(t)dt0.

On en déduit

0Xf(t)sin(t)dtS.
 
Exercice 8  3631   Correction  

Soit f:[1;+[ continue. Montrer

1+f(t)dt converge 1+f(t)tdt converge.

Solution

Supposons la convergence de l’intégrale de f sur [1;+[.
Puisque f est continue, on peut introduire une primitive F de f et celle-ci admet donc une limite finie en +. Par intégration par parties

1Af(t)tdt=[F(t)t]1A+1AF(t)t2dt.

Or F(A)/AA+0 et tF(t)/t2 est intégrable sur [1;+[ car F est bornée au voisinage de +.
On en déduit donc par opérations la convergence de l’intégrale de tf(t)/t sur [1;+[.

 
Exercice 9  2378   Correction  

Soit f:[0;+[ continue et α>0. Montrer

0+f(t)dt converge0+f(t)1+tαdt converge.

Solution

Soit F une primitive de la fonction continue f sur [0;+[. Formellement

0+f(t)tα+1dt=[F(t)tα+1]0++α0+F(t)tα-1(tα+1)2dt.

Supposons la convergence de 0+f(t)dt. La primitive F est alors convergente en + et donc dans l’intégration par parties précédente, le crochet est convergent en +.
De plus, la fonction F est bornée car continue sur [0;+[ et convergente en +. Par suite, quand t+,

F(t)tα-1(tα+1)2=O(1tα+1)

et puisque α>0, on a la convergence de la deuxième intégrale dans la formule d’intégration par parties précédente.
Par le théorème d’intégration par parties, on peut affirmer que 0+f(t)1+tαdt converge.

 
Exercice 10  696     MINES (PC)

Soit f:[0;+[ une fonction continue dont l’intégrale sur [0;+[ est convergente. Montrer que pour tout réel s>0, il y a convergence de l’intégrale11 1 Cette intégrale définit la transformée de Laplace de f en s.

0+f(t)e-stdt.
 
Exercice 11  3900   Correction  

Soit f:[a;+[ avec f de classe 𝒞1, décroissante et de limite nulle en +.

Soit g:[a;+[ continue telle qu’il existe M+ vérifiant

biggabsaxg(t)dtMpour tout x[a;+[.

Montrer la convergence de l’intégrale suivante

a+f(t)g(t)dt.

Solution

Posons

G(x)=axg(t)dt.

Par intégration par parties

axf(t)g(t)dt=[f(t)G(t)]ax-axf(t)G(t)dt.

D’une part

[f(t)G(t)]ax=f(x)G(x)-f(a)G(a)x+0

car G est bornée et f de limite nulle en +.
D’autre part, il y a convergence de l’intégrale a+f(t)G(t)dt. En effet,

ax|f(t)G(t)|dt=ax-f(t)|G(t)|dtax-f(t)Mdt=(f(a)-f(x))M.

Ainsi,

ax|f(t)G(t)|dtf(a)M.

Ses intégrales partielles étant majorées, il y a convergence de a+|f(t)G(t)|dt. Ainsi, fG est intégrable sur [a;+[. On peut alors conclure

axf(t)g(t)dtx+a+f(t)G(t)dt.
 
Exercice 12  695   Correction  

Soit f:[0;+[ continue. On suppose la convergence de l’intégrale suivante

0+f(t)dt.

Calculer

limx+1x0xtf(t)dt.

Solution

Soit F la primitive de f s’annulant en 0. Par hypothèse

F(x)x+=0+f(t)dt.

Par intégration par parties, on peut écrire

1x0xtf(t)dt=F(x)-1x0xF(t)dt.

Or

|1x0xF(t)dt-|1x0x|F(t)-|dt.

Soit ε>0. Il existe A+ tel que

tA,|F(t)-|ε.

Par continuité sur [0;A], |F(t)-| est majorée par un certain M>0.
Pour xmax(A,AM/ε) on a

1x0x|F(t)-|dt=1x0A|F(t)-|dt+1xAx|F(t)-|dt2ε.

Par conséquent,

1x0xF(t)dtx+

puis

limx+1x0xtf(t)dt=0.

Notons que sans l’hypothèse d’intégrabilité de f, on ne peut pas exploiter le théorème de convergence dominée.

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Édité le 08-11-2019

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