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Exercice 1  688  Correction  

On pose pour

f(a)=1+dtta+1.
  • (a)

    Pour quelles valeurs de a, l’intégrale définissant f(a) existe-t-elle?

  • (b)

    Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en +.

Solution

  • (a)

    Pour a0, l’intégrale n’est pas définie. Pour a>0, 1ta+1t+1ta, par suite 1+dtta+1 n’est définie que pour a>1.

    Finalement, f est définie sur ]1;+[.

  • (b)

    Si 1<ab alors

    t1,1tb+11ta+1

    donc f(b)f(a). Ainsi f est décroissante.

    0f(a)1+dtta=11-a[1ta-1]1+=1a-1a+0.
 
Exercice 2  687   Correction  

(Fonction Γ d’Euler)

Pour x>0 on note

Γ(x)=0+tx-1e-tdt.
  • (a)

    Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour tout x>0.

  • (b)

    Justifier

    x>1,Γ(x)=(x-1)Γ(x-1)

    et calculer Γ(n) pour n*.

Solution

  • (a)

    tx-1e-tt0+tx-1 et tx-1e-t=O+(1/t2) la fonction ttx-1e-t est intégrable sur ]0;+[ et par suite Γ(x)=0+tx-1e-tdt est bien définie pour x>0.

  • (b)

    Pour x>1, les deux intégrales étant définies:

    0+tx-1e-tdt=[-tx-1e-t]0++(x-1)0+tx-2e-tdt.

    Ainsi,

    x>1,Γ(x)=(x-1)Γ(x-1).

    Sachant

    Γ(1)=0+e-tdt=(-e-t)=1.

    on obtient par récurrence sur n*

    Γ(n)=(n-1)!
 
Exercice 3  689   Correction  
  • (a)

    Pour quelles valeurs de x, l’intégrale

    f(x)=01tx-11+tdt

    est-elle définie?

  • (b)

    Étudier la monotonie de f.

  • (c)

    Calculer

    f(x)+f(x+1) pour x>0.
  • (d)

    Déterminer la limite de f en + ainsi qu’un équivalent.

  • (e)

    Déterminer la limite de f en 0+ ainsi qu’un équivalent.

Solution

  • (a)

    La fonction ttx-11+t est définie et continue sur ]0;1] et tx-11+tt01t1-x.
    Par équivalence de fonctions positives, l’intégrale définissant f(x) existe si, et seulement si, x>0.

  • (b)

    Pour xy, on a

    t]0;1],tx-11+tty-11+t

    puis en intégrant f(x)f(y).
    La fonction f est donc décroissante.

  • (c)

    On a

    f(x)+f(x+1)=01tx-1dt=1x.
  • (d)

    Puisque f est décroissante et positive, f converge en +. Posons sa limite.
    En passant à la limite la relation obtenue ci-dessus, on obtient 2=0 donc =0.
    Par décroissance

    f(x)+f(x+1)2f(x)f(x-1)+f(x)

    donc

    1x2f(x)1x-1.

    On en déduit

    f(x)12x.
  • (e)

    Quand x0+,

    0f(x+1)=01tx1+tdt01txdt=1x+11

    donc

    f(x+1)=x0+O(1)=o(1/x)

    et par suite

    f(x)=1/x-f(x+1)x0+1/x+.
 
Exercice 4  692    Correction  

Soit φ:+ une fonction de classe 𝒞1 intégrable.

  • (a)

    Soit A>0. Montrer

    0Aφ(t)cos(xt)dtx+0.
  • (b)

    Montrer

    0+φ(t)cos(xt)dtx+0.

Solution

  • (a)

    Par intégration par parties,

    |0Aφ(t)cos(xt)dt||φ(0)|+|φ(A)|x+1x0A|φ(t)|dt

    qui permet de conclure.

  • (b)

    Pour ε>0, il existe A+ tel que

    A+|φ(t)|dtε

    car φ est intégrable sur +. De plus, pour x assez grand,

    |0Aφ(t)cos(xt)dt|ε

    donc

    |0+φ(t)cos(xt)dt|2ε

    ce qui permet de conclure.

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Édité le 08-11-2019

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