[<] Intégrabilité et comportement asymptotique [>] Calcul d'intégrales comportant un paramètre
Calculer
Calculer
Solution
La fonction intégrée est définie et continue par morceaux sur . Elle y est intégrable car
Par décomposition en éléments simples,
Calculer
Solution
La fonction intégrée est définie et continue par morceaux sur . Celle-ci se prolonge par continuité en et l’intégrale est faussement généralisée. On obtient sa valeur par un calcul direct
Calculer
Calculer
Justifier et calculer
Solution
La fonction intégrée est définie et continue par morceaux sur et est dominée par quand , donc elle est intégrable et l’intégrale étudiée existe.
Par découpage et changement de variable
donc
Or
Une intégration par parties justifiée par deux convergences donne
et donc
Calculer
Solution
On a
Les pôles de cette fraction rationnelle sont les éléments de et ils sont simples.
On peut donc écrire en combinant les parties polaires conjuguées
avec , les et de parties imaginaires strictement positives.
Soit avec et . On a
la limite de l’arc tangente étant obtenue sachant .
Soit de plus .
Puisque la convergence de l’intégrale que nous étudions est assurée
et on en déduit
ce qui donne
Or
et finalement
Dans ce sujet, on étudie
Justifier l’existence de l’intégrale définissant .
En séparant cette dernière intégrale en deux, observer
Donner la valeur de .
Justifier l’existence de
Pour , on pose
On donne l’identité .
Établir que
En déduire la valeur de .
Solution
est définie et continue par morceaux sur .
Quand , et quand , .
On en déduit que est intégrable sur ce qui assure l’existence de .
On a donc
Par convergence des intégrales écrites, on a
Or
donc
On remarque . Lorsque devient petit, est l’intégrale sur un intervalle de plus en plus petit d’une fonction de plus en plus grande. Puisque au voisinage de , on peut présumer que se rapproche de
On étudie alors la différence
Or la fonction
se prolonge par continuité en et donc
On en déduit
Calculer
Solution
Soit . Par linéarité,
On procède à une translation de la variable dans la première intégrale puis on emploie la relation de Chasles pour écrire
Par intégration par parties,
Par croissance de la fonction ,
Par théorème d’encadrement,
On conclut
avec existence de l’intégrale.
Soit une fonction continue telle que
Justifier l’existence et donner la valeur de
Existence et valeur de
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
D’une part,
D’autre part,
Ainsi, est intégrable sur . Pour ,
avec convergence des deux nouvelles intégrales.
Par changement de variable sur la première,
Par la croissance de la fonction ,
Par théorème d’encradement,
Soient avec et admettant une limite finie en et telle que existe.
Justifier l’existence, puis calculer:
Solution
Puisque l’intégrale converge, il en est de même de
avec
On en déduit la convergence de l’intégrale suivante et sa valeur
D’autre part, on a par découpage et pour tout
Or
avec
car converge vers en .
On en déduit la convergence et la valeur de l’intégrale suivante
et finalement on obtient la convergence et la valeur de l’intégrale suivante
On pose
Discuter l’existence de selon la valeur du réel .
Calculer et .
Solution
Soit .
On pose .
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
D’une part,
La fonction est donc intégrable sur quelle que soit la valeur du réel .
D’autre part,
Par équivalence de fonctions positives, l’intégrale de sur converge11 1 Cf. intégrales de Bertrand. si, et seulement si, , c’est-à-dire .
En résumé, l’intégrale définissant existe si, et seulement si, .
Cas: . On réalise le changement de variable . La fonction est de classe strictement décroissante. Par ce changement de variable généralisé,
On en déduit .
Cas: . On réalise une intégration par parties sur avec22 2 Par commodité, on choisit la primitive qui s’annule en .
Les fonctions et sont de classe sur et l’on vérifie
Par le théorème d’intégration par parties généralisée, on obtient
On conclut
Justifier l’existence et calculer
Solution
La fonction est définie et continue par morceaux sur .
Pour , et donc . Ainsi est intégrable sur .
Pour , et donc . Ainsi est intégrable sur .
On a
Or
puis
Par décomposition en éléments simples
et après réorganisation
On en déduit
Existence et valeur de
(Calcul de l’intégrale de Dirichlet)
Pour , on pose
Montrer que la suite est constante égale à .
Justifier que tend vers .
En déduire la valeur de l’intégrale convergente11 1 L’existence de cette intégrale a déjà été acquise par intégration par parties dans le sujet 2383.
(Calcul de l’intégrale de Gauss)
Montrer que
En déduire
Soit . Établir l’existence des intégrales suivantes
puis établir
On pose
Établir
Trouver une relation de récurrence entre et .
En déduire la constance de la suite de terme général
Donner un équivalent de et en déduire la valeur de (intégrale de Gauss).
Solution
Il suffit d’étudier la variation de la fonction pour obtenir cette inégalité de convexité classique. On en déduit
La fonction est définie et continue par morceaux sur . Puisque , cette fonction est intégrable sur ce qui assure l’existence de .
La fonction est définie et continue par morceaux sur le segment , donc l’intégrale définissant existe.
La fonction est définie et continue par morceaux sur . Puisque avec , cette fonction est intégrable sur ce qui assure l’existence de .
On a
donc
et
Le changement de variable donne .
Le changement de variable donne .
Par intégration par parties
On en déduit donc la suite est constante égale à
Puisque
on obtient en intégrant
Or
donc par encadrement
On en déduit
puis
Par suite,
L’encadrement du b) donne alors
Soit un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive. Étudier
Soit une fraction rationnelle sans pôles réels et intégrable sur . Pour un pôle de , on note le coefficient de dans la décomposition en éléments simples de
Calculer la somme des pour parcourant l’ensemble des pôles de .
On note l’ensemble des pôles de de parties imaginaires strictement positives. Établir
Application : Soient et deux entiers naturels avec . Calculer
Soient et dans , où ne s’annule pas sur et .
Exprimer
à l’aide des coefficients intervenant dans la décomposition en éléments simples de .
Solution
La fonction est définie et continue sur . De plus, Pour ,
et l’intégrale converge.
Les pôles de la fraction sont complexes conjugués non réels et les parties polaires correspondantes sont deux à deux conjuguées. On en déduit que où est la fraction rationnelle obtenue en sommant les parties polaires relatives aux pôles de partie imaginaire strictement positive.
Considérons un pôle avec et .
Pour les éléments simples de la forme avec , on a
Pour les éléments simples de la forme on a
Quand , on obtient
Puisque
on obtient
avec la somme des coefficients facteurs des éléments simples pour de parties imaginaires strictement positive.
[<] Intégrabilité et comportement asymptotique [>] Calcul d'intégrales comportant un paramètre
Édité le 29-08-2023
Bootstrap 3 - LaTeXML - Powered by MathJax