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Exercice 1  3794    CCP (PC)

Existence et valeur de

0+ln(1+1t2)dt.
 
Exercice 2  4710   

Calculer

01ln(x)(x+1)2dx.
 
Exercice 3  2555     CCP (MP)Correction  

On considère

f:tln(t)(1+t)2.
  • (a)

    Étudier l’intégrabilité de f sur ]0;1] et [1;+[.

  • (b)

    Calculer

    01ln(t)(1+t)2dtet1+ln(t)(1+t)2dt.

Solution

  • (a)

    La fonction f est continue par morceaux sur ]0;+[.
    Quand t0+, tf(t)0 et quand t+, t3/2f(t)0 donc f est intégrable sur ]0;1] et [1;+[.

  • (b)

    Par une intégration par parties où l’on choisit judicieusement une primitive s’annulant en 0

    01ln(t)(1+t)2dt=[ln(t)(1-11+t)]01-0111+tdt=-ln(2).

    Par le changement de variable u=1/t

    1+ln(t)(1+t)2dt=-01ln(u)(u+1)2du=ln(2).
 
Exercice 4  671   Correction  

Calculer

01ln(1-x2)x2dx.

Solution

Sous réserve de convergence, nous calculons l’intégrale en procédant par intégration par parties en intégrant 1x2 en x-1x qui s’annule en 1.

01ln(1-x2)x2dx=[ln(1-x2)x-1x]01+012x(1-x2)x-1xdx.

L’intégration par parties est licite car le crochet converge. L’intégrale en second membre est faussement généralisée car se résume à

01-dx1+x.

On en déduit que l’intégrale initiale converge et

01ln(1-x2)x2dx=-012(1+x)dx=-2ln(2).
 
Exercice 5  4190   Correction  

En réalisant une intégration par parties, calculer

0+e-t-e-2ttdt.

Solution

On réalise l’intégration par parties avec

u(t)=ln(t) et v(t)=e-t-e-2t.

Les fonctions u et v sont de classe 𝒞1 et le produit uv converge aux bornes d’intégration 0 et +:

u(t)v(t)t0+tln(t)t0+0 et u(t)v(t)t+ln(t)e-tt+0.

Sous réserve d’existence, la formule d’intégration par parties donne

0+e-t-e-2ttdt=0+ln(t)(e-t-2e-2t)dt.

La fonction tln(t)e-t est intégrable sur ]0;+[ car négligeable devant 1/t2 en + et devant 1/t en 0. De même, la fonction tln(t)e-2t est intégrable. On peut donc écrire la séparation

0+ln(t)(e-t-2e-2t)dt=0+ln(t)e-tdt-20+ln(t)e-2tdt.

Cette identité justifie l’existence de l’intégrale en premier membre et donc aussi (en vertu du théorème d’intégration par parties) l’existence de l’intégrale initiale.

Par le changement de variable u=2t

20+ln(t)e-2tdt =0+ln(u/2)e-udu
=0+ln(u)e-udu-ln(2)0+e-udu=1.

On en déduit par simplification

0+ln(t)(e-t-2e-2t)dt=ln(2).
 
Exercice 6  3629   Correction  

Soit f:[1;+[ continue et intégrable. Montrer que les fonctions u et v suivantes sont intégrables sur [1;+[ et que leurs intégrales y sont égales:

u(x)=1x21xf(t)dtetv(x)=f(x)x.

Solution

Les fonctions u et v sont définies et continues par morceaux sur [1;+[.
Puisque l’intégrale de f sur [1;+[ converge, on a

u(x)=O(1x2) quand x+

et donc u est intégrable sur [1;+[.
Puisque 1/xx+0, on a

v(x)=o(f(x)) quand x+

et donc v aussi est intégrable sur [1;+[.
Par intégration par parties,

1Au(x)dx=[-1x1xf(t)dt]1A+1Av(x)dx

et, quand A+, on obtient

1+u(x)dx=1+v(x)dx.
 
Exercice 7  665   Correction  

Soit u: une fonction de classe 𝒞1 telle que

-+((1+x2)u(x)2+u(x)2)dx<+.
  • (a)

    Déterminer les limites de xxu(x)2 en ±.

  • (b)

    Établir

    -+u(x)2dx-+x2u(x)2dx14(-+u(x)2dx)2.

Solution

  • (a)

    xu(x), xu(x) et xxu(x) sont de carrés intégrables donc x(xu(x)2)=u(x)2+xu(x)u(x) est intégrable sur . Par suite, xxu(x)2 admet des limites finies quand x±. Or cette fonction est elle-même intégrable sur donc ses limites en ± ne peuvent qu’être nulles.

  • (b)

    Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

    -+u(x)2dx-+x2u(x)2dx(-+xu(x)u(x)dx)2.

    Or par intégration par parties

    -nnxu(x)u(x)dx=[xu2(x)]-nn--nnu(x)(u(x)+xu(x))dx donc.

    Ainsi,

    -nnxu(x)u(x)dx=12[xu2(x)]-nn-12-nnu2(x)dx

    puis à la limite

    -+xu(x)u(x)dx=-12-+u2(x)dx

    et enfin l’inégalité voulue.

 
Exercice 8  5249    

Établir l’intégrabilité sur ]0;1] de

f:xx1ettdt

et calculer son intégrale.

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Édité le 08-11-2019

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